1ère Bac Sciences Math · Semestre 2

Le produit scalaire dans l'espace

Un vecteur normal remplace deux vecteurs directeurs pour décrire un plan — et le produit scalaire donne accès à toute la géométrie de la sphère.

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vecteur normal suffit

exercices corrigés

100%

corrigé

\vec n\cdot\overrightarrow{AM}=0

01 · Prolonger le plan à l'espace

Produit scalaire dans l'espace

Même définition, mêmes propriétés qu'en géométrie plane — le produit scalaire se calcule dans le plan formé par les deux vecteurs.

Définition et expression analytique

Définition

Dans une base orthonormée

Pour $\vec u(x,y,z)$ et $\vec v(x',y',z')$ :

\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz',\qquad \|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0

02 · Un seul vecteur pour décrire un plan

Vecteur normal, équation cartésienne d'un plan

Le produit scalaire remplace la paire de vecteurs directeurs par un unique vecteur orthogonal à tout le plan.

Vecteur normal

Définition et propriété

$\vec n$ est normal au plan $P$ ssi $\vec n\neq\vec0$ et $\vec n\cdot\overrightarrow{AM}=0$ pour tous $A,M\in P$ . Il suffit que $\vec n$ soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de $P$ .

Équation cartésienne d'un plan

Le plan passant par $A(x_A,y_A,z_A)$ de vecteur normal $\vec n(a,b,c)$ a pour équation $ax+by+cz+d=0$ avec $d=-(ax_A+by_A+cz_A)$ . Réciproquement, toute équation $ax+by+cz+d=0$ ( $(a,b,c)\neq(0,0,0)$ ) définit un plan de vecteur normal $\vec n(a,b,c)$ .

III

Positions relatives, distance point-plan

Deux plans

Pour $(P):ax+by+cz+d=0$ et $(P'):a'x+b'y+c'z+d'=0$ , de normaux $\vec n,\vec n'$ :

$P\parallel P'$ ssi $\vec n,\vec n'$ colinéaires.
$P,P'$ sécants ssi $\vec n,\vec n'$ non colinéaires.
$P\perp P'$ ssi $\vec n\cdot\vec n'=0$ .

Distance d'un point à un plan

d(A,P)=\dfrac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

03 · Le cercle de l'espace

La sphère : équation, intersections

Une équation quadratique cache toujours une sphère, un point, ou l'ensemble vide — un simple calcul de signe tranche.

Équation cartésienne d'une sphère

Définition

La sphère $S(\Omega,R)$ de centre $\Omega(a,b,c)$ et de rayon $R$ a pour équation :

(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2

Discrimination d'une équation quadratique

L'ensemble $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ se ramène à $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=a^2+b^2+c^2-d$ , d'où :

$a^2+b^2+c^2-d>0$ : sphère de centre $\Omega(a,b,c)$ , rayon $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$ .
$a^2+b^2+c^2-d=0$ : réduit au seul point $\Omega(a,b,c)$ .
$a^2+b^2+c^2-d<0$ : ensemble vide.

Intersection d'une sphère avec une droite ou un plan

Sphère et droite

Soit $H$ le projeté orthogonal du centre $\Omega$ sur la droite $D$ et $d=\Omega H$ :

$d>R$ : intersection vide.
$d=R$ : $D$ tangente à la sphère en $H$ .
$d<R$ : $D$ sécante, en deux points symétriques par rapport à $H$ .

Sphère et plan

Soit $H$ le projeté orthogonal de $\Omega$ sur le plan $P$ et $d=\Omega H$ :

$d>R$ : intersection vide.
$d=R$ : $P$ tangent à la sphère en $H$ .
$d<R$ : intersection = cercle de centre $H$ , de rayon $r=\sqrt{R^2-d^2}$ .

04 · À toi de jouer

Exercices · Le produit scalaire dans l'espace

6 exercices corrigés couvrant produit scalaire analytique, équation de plan, distance point-plan, équation de sphère, et les deux types d'intersection.

0 / 6 vérifiés

Exercice 1 · Produit scalaire et orthogonalité

1 vérification

Soient $\vec u(1,2,-1)$ et $\vec v(1,1,3)$ . Calculer $\vec u\cdot\vec v$ et dire si $\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux.

Exercice 2 · Équation cartésienne d'un plan

1 calcul

Déterminer l'équation cartésienne du plan $P$ passant par $A(2,-1,3)$ et de vecteur normal $\vec n(1,-2,3)$ .

Exercice 3 · Distance d'un point à un plan

1 calcul

Calculer la distance de $B(0,2,-1)$ au plan $P:x-2y+3z-13=0$ (celui de l'exercice précédent).

Exercice 4 · Équation de sphère et discrimination

1 étude

Montrer que $x^2+y^2+z^2-4x+2y-6z+5=0$ est l'équation d'une sphère, et déterminer son centre et son rayon.

Exercice 5 · Intersection sphère-droite

1 étude complète

Soit la sphère $S$ de centre $\Omega(1,1,1)$ et de rayon $R=3$ , et la droite $D:\begin{cases}x=1\\y=1\\z=-2+t\end{cases}$ . Étudier la position relative de $S$ et $D$ .

Exercice 6 · Intersection sphère-plan

1 étude complète

Soit la sphère $S$ de centre $\Omega(1,2,-1)$ et de rayon $R=3$ , et le plan $P:x+2y-2z-3=0$ . Étudier la position relative de $S$ et $P$ , et préciser le rayon du cercle d'intersection le cas échéant.

Le produit scalaire dans l'espace · Mathématiques, 1ère année Baccalauréat Sciences Math, semestre 2.