Géométrie dans l'espace · Cours et exercices | 1ère Bac Sciences Math

01 · Nommer les points par des nombres

Repère et base de l'espace

Un repère de l'espace se construit avec un point et trois vecteurs non coplanaires — tout point, tout vecteur, s'écrit alors de façon unique.

I

Base et repère de l'espace

Définition

Soient $\vec\imath,\vec\jmath,\vec k$ trois vecteurs non coplanaires. Pour tout vecteur $\vec u$ (resp. tout point $M$ ), il existe un unique triplet $(x,y,z)\in\mathbb R^3$ tel que :

\vec u=x\vec\imath+y\vec\jmath+z\vec k\qquad\big(\text{resp. }\overrightarrow{OM}=x\vec\imath+y\vec\jmath+z\vec k\big)

$B(\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$ est une base de l'espace vectoriel, et $R(O,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$ un repère de l'espace. On note $M(x,y,z)$ et $\vec u(x,y,z)$ .

Opérations et formules usuelles

\vec u+\vec v(x+x',y+y',z+z'),\qquad k\vec u(kx,ky,kz)

\overrightarrow{AB}(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A),\qquad AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}

02 · Le nombre qui décide de tout

Déterminant de trois vecteurs

Un seul calcul remplace toutes les vérifications géométriques : colinéarité et coplanarité deviennent des égalités à zéro.

II

Colinéarité analytique

Propriété

$\vec u(x,y,z)$ et $\vec v(x',y',z')$ non nuls sont colinéaires ssi les trois déterminants extraits sont nuls :

\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}=0,\qquad \begin{vmatrix}x&x'\\z&z'\end{vmatrix}=0,\qquad \begin{vmatrix}y&y'\\z&z'\end{vmatrix}=0

où $\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$ . Il suffit qu'un seul de ces déterminants soit non nul pour conclure que $\vec u,\vec v$ ne sont pas colinéaires.

III

Déterminant de trois vecteurs, coplanarité

Définition

Pour $\vec u(x,y,z)$ , $\vec v(x',y',z')$ , $\vec w(x'',y'',z'')$ (développement suivant la première colonne) :

\det(\vec u,\vec v,\vec w)=\begin{vmatrix}x&x'&x''\\y&y'&y''\\z&z'&z''\end{vmatrix}=x\begin{vmatrix}y'&y''\\z'&z''\end{vmatrix}-y\begin{vmatrix}x'&x''\\z'&z''\end{vmatrix}+z\begin{vmatrix}x'&x''\\y'&y''\end{vmatrix}

Le critère de coplanarité

\vec u,\vec v,\vec w\ \text{coplanaires}\iff \det(\vec u,\vec v,\vec w)=0

03 · Décrire une droite par des équations

Représentation paramétrique et équations cartésiennes d'une droite

Deux écritures pour le même objet : l'une décrit comment le parcourir, l'autre comment tester si un point y appartient.

IV

Représentation paramétrique d'une droite

Définition

Soit $A(x_A,y_A,z_A)$ et $\vec u(a,b,c)\neq\vec0$ . Un point $M(x,y,z)$ appartient à $\mathcal D(A,\vec u)$ ssi il existe $k\in\mathbb R$ tel que $\overrightarrow{AM}=k\vec u$ :

\begin{cases}x=x_A+ka\\y=y_A+kb\\z=z_A+kc\end{cases}\quad(k\in\mathbb R)

V

Deux équations cartésiennes d'une droite

Propriété

Si $abc\neq0$ , la droite $\mathcal D(A,\vec u)$ admet pour équations cartésiennes :

\dfrac{x-x_A}{a}=\dfrac{y-y_A}{b}=\dfrac{z-z_A}{c}

(Si l'une des composantes de $\vec u$ est nulle, par exemple $c=0$ , on écrit $\dfrac{x-x_A}a=\dfrac{y-y_A}b$ et $z=z_A$ séparément.)

04 · Décrire un plan par une seule équation

Représentation paramétrique et équation cartésienne d'un plan

Un plan a besoin de deux paramètres pour être parcouru — mais d'une seule équation pour être testé.

VI

Représentation paramétrique d'un plan

Définition

Soit $A(x_A,y_A,z_A)$ , $\vec u(a,b,c)$ et $\vec v(a',b',c')$ non colinéaires. Le plan $P(A,\vec u,\vec v)$ a pour représentation paramétrique :

\begin{cases}x=x_A+ka+k'a'\\y=y_A+kb+k'b'\\z=z_A+kc+k'c'\end{cases}\quad(k,k')\in\mathbb R^2

VII

Équation cartésienne d'un plan

Le lien avec le déterminant

Un point $M(x,y,z)$ appartient au plan $P(A,\vec u,\vec v)$ ssi $\overrightarrow{AM}$ , $\vec u$ , $\vec v$ sont coplanaires :

M\in P(A,\vec u,\vec v)\iff \det\big(\overrightarrow{AM},\vec u,\vec v\big)=0

En développant ce déterminant, on obtient une équation de la forme $ax+by+cz+d=0$ avec $(a,b,c)\neq(0,0,0)$ .

05 · Deux objets, quelle relation ?

Positions relatives — droites, plans

Colinéarité et coplanarité, réunies, tranchent entièrement la question.

VIII

Deux droites

Critère

$\mathcal D(A,\vec u)$ et $\Delta(B,\vec v)$ :

$\vec u,\vec v$ colinéaires et $A\in\Delta$ : droites confondues.
$\vec u,\vec v$ colinéaires et $A\notin\Delta$ : strictement parallèles.
$\vec u,\vec v$ non colinéaires et $\det(\overrightarrow{AB},\vec u,\vec v)=0$ : sécantes.
$\vec u,\vec v$ non colinéaires et $\det(\overrightarrow{AB},\vec u,\vec v)\neq0$ : non coplanaires.

IX

Une droite et un plan

Critère

$\mathcal D(A,\vec u)$ et le plan $P$ d'équation $ax+by+cz+d=0$ , avec $\vec u(\alpha,\beta,\gamma)$ :

$a\alpha+b\beta+c\gamma=0$ et $A\in P$ : $\mathcal D\subset P$ .
$a\alpha+b\beta+c\gamma=0$ et $A\notin P$ : strictement parallèles.
$a\alpha+b\beta+c\gamma\neq0$ : $\mathcal D$ perce $P$ en un point unique.

X

Deux plans

Avec les équations cartésiennes

$(P):ax+by+cz+d=0$ et $(P'):a'x+b'y+c'z+d'=0$ :

Se coupent suivant une droite ssi $ab'-ba'\neq0$ ou $ac'-ca'\neq0$ ou $bc'-cb'\neq0$ .
Parallèles ssi $\exists k\neq0$ , $a'=ka,\ b'=kb,\ c'=kc$ .
Confondus ssi en plus $d'=kd$ .

06 · À toi de jouer

Exercices · Géométrie dans l'espace

6 exercices corrigés couvrant colinéarité, coplanarité, équation de plan, et les trois positions relatives.

0 / 6 vérifiés

1

Exercice 1 · Colinéarité analytique

2 vérifications

Soient $\vec u(2,-1,3)$ , $\vec v(-4,2,-6)$ et $\vec w(1,2,-1)$ . Étudier la colinéarité de $\vec u,\vec v$ , puis de $\vec u,\vec w$ .

2

Exercice 2 · Coplanarité par déterminant

1 calcul

Soient $\vec u(1,2,-1)$ , $\vec v(2,1,1)$ et $\vec w(-1,4,-5)$ . Les vecteurs $\vec u,\vec v,\vec w$ sont-ils coplanaires ?

3

Exercice 3 · Équation cartésienne d'un plan (ABC)

1 calcul

Déterminer l'équation cartésienne du plan $(ABC)$ avec $A(1,0,-2)$ , $B(2,1,0)$ , $C(0,3,1)$ .

4

Exercice 4 · Position relative de deux droites

1 étude complète

Étudier la position relative de $\mathcal D_1(A_1(1,1,0),\vec u_1(1,0,1))$ et $\mathcal D_2(A_2(2,1,1),\vec u_2(0,1,-1))$ .

5

Exercice 5 · Position relative d'une droite et d'un plan

1 étude complète

Étudier la position relative de $\mathcal D(A(1,2,0),\vec u(1,-1,2))$ et du plan $(P):2x+y-z-3=0$ .

6

Exercice 6 · Position relative de deux plans

1 étude complète

Étudier la position relative de $(P):x+y-z-1=0$ et $(Q):2x-y+z-2=0$ , et déterminer, le cas échéant, une représentation paramétrique de leur intersection.