1ère Bac Sciences Math · Semestre 2

Étude des fonctions

La dérivée seconde révèle la forme locale de la courbe, et un système de limites précise entièrement son comportement à l'infini.

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types de branches infinies

exercices corrigés

100%

corrigé

f''(x)

01 · La forme locale de la courbe

Concavité, convexité, points d'inflexion

Le signe de la dérivée seconde décrit si la courbe est au-dessus ou en dessous de ses tangentes.

Position de la courbe par rapport à ses tangentes

Propriété et définition

Soit $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $\forall x\in I,\ f''(x)>0$ : $C_f$ est convexe (au-dessus de toutes ses tangentes), notée $\smile$ .
Si $\forall x\in I,\ f''(x)<0$ : $C_f$ est concave (au-dessous de toutes ses tangentes), notée $\frown$ .

Points d'inflexion

Propriété et définition

Si $f''$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe, alors $A(x_0,f(x_0))$ est un point d'inflexion de $C_f$ — la tangente en ce point traverse la courbe.

Exemple

$f(x)=x^3-6x^2+9x$ : $f''(x)=6x-6-...=6(x-2)$ , qui change de signe en $x=2$ . Donc $A(2,f(2))=A(2,2)$ est un point d'inflexion de $C_f$ .

02 · Diviser le travail par deux

Centre et axe de symétrie

Un axe ou un centre de symétrie réduit l'étude d'une fonction à la moitié de son domaine.

III

Centre de symétrie

Propriété

Le point $I(a,b)$ est centre de symétrie de $C_f$ ssi :

\begin{gathered}(\forall x\in D_f)\ 2a-x\in D_f \\ (\forall x\in D_f)\ f(2a-x)+f(x)=2b\end{gathered}

Axe de symétrie

Propriété

La droite $(D):x=a$ est axe de symétrie de $C_f$ ssi :

\begin{gathered}(\forall x\in D_f)\ 2a-x\in D_f \\ (\forall x\in D_f)\ f(2a-x)=f(x)\end{gathered}

03 · Le comportement de la courbe à l'infini

Branches infinies

Trois asymptotes possibles, plus trois cas particuliers de branches paraboliques quand aucune asymptote n'existe — un système de limites qui couvre tous les cas.

Les trois asymptotes

Verticale, horizontale, oblique

Verticale : si $\lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty$ ou $\lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty$ , alors $x=a$ est asymptote verticale.
Horizontale : si $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b$ , alors $y=b$ est asymptote horizontale.
Oblique : si $\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-(ax+b)\big)=0$ ( $a\neq0$ ), alors $y=ax+b$ est asymptote oblique.

Déterminer une asymptote oblique — et les trois cas particuliers

Méthode pratique

a=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x},\qquad b=\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-ax\big)

Trois cas particuliers (branche parabolique de direction — B.P.D) :

$a=\pm\infty$ : B.P.D l'axe des ordonnées (ex. $f(x)=x^3$ ).
$a=0$ : B.P.D l'axe des abscisses (ex. $f(x)=\sqrt x$ ).
$a\in\mathbb R^*$ et $b=\pm\infty$ : B.P.D la droite $y=ax$ (ex. $f(x)=x+\sqrt{x-3}$ ).

Position relative de Cf et de l'asymptote oblique

Le signe de $f(x)-(ax+b)$ donne la position : positif → $C_f$ au-dessus de $(D):y=ax+b$ ; négatif → en dessous.

04 · À toi de jouer

Exercices · Étude des fonctions

6 exercices corrigés couvrant concavité, symétrie, asymptote oblique avec position relative, branche parabolique, axe de symétrie et lien tangente-convexité.

0 / 6 vérifiés

Exercice 1 · Concavité et point d'inflexion

1 étude complète

Soit $f(x)=x^3-6x^2+9x$ . Calculer $f''(x)$ , étudier son signe, et en déduire la concavité de $C_f$ et ses points d'inflexion.

Exercice 2 · Centre de symétrie

1 démonstration

Soit $f(x)=\dfrac{2x-1}{x-1}$ ( $x\neq1$ ). Montrer que $I(1,2)$ est un centre de symétrie de $C_f$ .

Exercice 3 · Asymptote oblique et position relative

1 étude complète

Soit $f(x)=\dfrac{x^2-3x+5}{x+1}$ ( $x\neq-1$ ). Montrer que $C_f$ admet une asymptote oblique $(D)$ en $\pm\infty$ , et étudier la position relative de $C_f$ et $(D)$ .

Exercice 4 · Branche parabolique (cas particulier)

1 étude

Soit $f(x)=x+\sqrt{x-3}$ définie sur $[3,+\infty[$ . Étudier la branche infinie de $C_f$ au voisinage de $+\infty$ .

Exercice 5 · Axe de symétrie

1 démonstration

Soit $f(x)=(x-2)^2+3$ . Montrer que la droite $x=2$ est un axe de symétrie de $C_f$ .

Exercice 6 · Convexité et position par rapport à une tangente

1 démonstration

Soit $f(x)=x^2$ . Montrer que $f''(x)>0$ pour tout $x$ , puis montrer directement que $C_f$ est au-dessus de sa tangente au point d'abscisse $1$ .

Étude des fonctions · Mathématiques, 1ère année Baccalauréat Sciences Math, semestre 2.