La dérivation · Cours et exercices | 1ère Bac Sciences Math

01 · La pente d'une courbe en un point

Nombre dérivé et tangente

Le nombre dérivé est une limite — et cette limite est exactement le coefficient directeur de la tangente.

I

Nombre dérivé en un point

Définition

f

est dérivable en

x_0

s'il existe

\ell\in\mathbb R

tel que :

\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\ell

On note $\ell=f'(x_0)$ , le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ .

Exemple

Pour $f(x)=x^2+2x-1$ en $a=2$ :

\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{x^2+2x-1-7}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+4)}{x-2}=x+4\xrightarrow[x\to2]{}6

Donc $f$ est dérivable en $2$ et $f'(2)=6$ .

II

Interprétation géométrique — la tangente

Propriété

Si

f

est dérivable en

x_0

, la courbe

C_f

admet en

A(x_0,f(x_0))

une tangente

(T)

d'équation :

(T):\ y=(x-x_0)f'(x_0)+f(x_0)

02 · Remplacer une courbe par sa tangente

Approximation affine

Au voisinage du point de contact, la tangente est presque indiscernable de la courbe — ce qui permet d'estimer f(x) sans calculatrice.

III

Définition et formule

Définition

Si $f$ est dérivable en $a$ , alors pour $x$ proche de $a$ (ou $h$ proche de $0$ , avec $x=a+h$ ) :

f(x)\approx f(a)+(x-a)f'(a)\qquad\text{ou de façon équivalente}\qquad f(a+h)\approx f(a)+hf'(a)

La fonction $x\mapsto f(a)+(x-a)f'(a)$ s'appelle la fonction affine tangente à $f$ en $a$ .

Exemple — estimer une racine carrée sans calculatrice

Pour $f(x)=\sqrt x$ en $a=9$ : $f'(x)=\dfrac1{2\sqrt x}$ , donc $f'(9)=\dfrac16$ . Ainsi :

\sqrt{9{,}002}=f(9+0{,}002)\approx f(9)+0{,}002\times f'(9)=3+0{,}002\times\dfrac16\approx3{,}000333

(La valeur exacte est $3{,}000333315\ldots$ — l'approximation est excellente.)

03 · De la valeur en un point à la fonction entière

Dérivabilité à gauche et à droite, fonction dérivée

Quand les deux demi-tangentes n'ont pas la même pente, la courbe présente un point anguleux — et le tableau des dérivées usuelles permet de dériver toute fonction du programme.

IV

Dérivabilité à gauche et à droite

Définitions

f_d'(x_0)=\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

et

f_g'(x_0)=\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

.

Point anguleux

$f$ est dérivable en $x_0$ ssi elle est dérivable à gauche et à droite de $x_0$ et $f_d'(x_0)=f_g'(x_0)$ . Sinon, $A(x_0,f(x_0))$ est un point anguleux, avec deux demi-tangentes distinctes d'équations $y=(x-x_0)f_d'(x_0)+f(x_0)$ (pour $x\ge x_0$ ) et $y=(x-x_0)f_g'(x_0)+f(x_0)$ (pour $x\le x_0$ ).

V

Tableau des dérivées usuelles et opérations

f(x)	f'(x)
$a\ (a\in\mathbb R)$	$0$
$x$	$1$
$x^n\ (n\in\mathbb Z^*)$	$nx^{n-1}$
$\sqrt x$	$\dfrac{1}{2\sqrt x}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$1+\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}$

Opérations et composées

$(f+g)'=f'+g'$ , $(fg)'=f'g+fg'$ , $\left(\dfrac1g\right)'=-\dfrac{g'}{g^2}$ , $\left(\dfrac fg\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$

$(f^n)'=nf'f^{n-1}$ , $\big(\sqrt f\,\big)'=\dfrac{f'}{2\sqrt f}$ , $\big(f(ax+b)\big)'=af'(ax+b)$

$\big(\cos(ax+b)\big)'=-a\sin(ax+b)$ , $\big(\sin(ax+b)\big)'=a\cos(ax+b)$

04 · À quoi ça sert

Monotonie, extremums, équation différentielle

Le signe de f' pilote entièrement les variations — et une équation différentielle classique clôt le chapitre.

VI

Signe de f′ et sens de variation

Le résultat central de l'analyse

Si $f'(x)>0$ sur $I$ (sauf en un nombre fini de points) : $f$ strictement croissante.
Si $f'(x)<0$ sur $I$ (sauf en un nombre fini de points) : $f$ strictement décroissante.
Si $f'(x)=0$ partout sur $I$ : $f$ constante.

VII

Extremum

Propriété

Si $f$ admet un extremum en $a$ , alors $f'(a)=0$ . Réciproquement, si $f'(a)=0$ et $f'$ change de signe en $a$ , alors $f$ admet un extremum en $a$ .

Attention — la réciproque seule ne suffit pas

f'(a)=0

ne garantit pas un extremum si

f'

ne change pas de signe (exemple :

f(x)=2x^3

en

0

:

f'(x)=6x^2\ge0

toujours, pas de changement de signe).

Optimisation

De nombreux problèmes concrets (aire maximale, coût minimal…) se ramènent à modéliser une quantité par une fonction, puis à chercher son extremum grâce à cette même méthode : calculer

f'

, étudier son signe, et conclure.

VIII

Équation différentielle y″ + ω²y = 0

Solution générale

Les solutions de $y''+\omega^2y=0$ ( $\omega\in\mathbb R$ ) sont exactement les fonctions :

y:x\mapsto\alpha\cos(\omega x)+\beta\sin(\omega x),\qquad \alpha,\beta\in\mathbb R

Exemple avec conditions initiales

$y''+9y=0$ a pour solution générale $y(x)=\alpha\cos(3x)+\beta\sin(3x)$ . Si on impose $f(0)$ et une deuxième condition, on obtient un système linéaire en $\alpha,\beta$ .

05 · À toi de jouer

Exercices · La dérivation

6 exercices corrigés couvrant nombre dérivé et tangente, approximation affine, point anguleux, dérivée d'une composée, extremums, et équation différentielle avec conditions initiales.

0 / 6 vérifiés

1

Exercice 1 · Nombre dérivé et équation de la tangente

1 calcul complet

Soit $f(x)=x^2+2x-1$ . Montrer que $f$ est dérivable en $a=2$ , calculer $f'(2)$ , et donner l'équation de la tangente à $C_f$ en $a=2$ .

2

Exercice 2 · Approximation affine d'une racine carrée

1 calcul

Trouver une approximation affine de $\sqrt{16{,}02}$ , sans calculatrice.

3

Exercice 3 · Point anguleux

1 étude complète

Soit $f(x)=|x^2-4|$ . Étudier la dérivabilité de $f$ en $x_0=2$ .

4

Exercice 4 · Dériver un produit avec une racine

1 calcul

Calculer la dérivée de $f(x)=\sqrt{3x^2+1}\,(2x-5)$ .

5

Exercice 5 · Extremums locaux

1 étude complète

Étudier les variations de $f(x)=x^3-3x+2$ sur $\mathbb R$ et donner ses extremums éventuels, avec justification.

6

Exercice 6 · Équation différentielle avec conditions initiales

1 résolution

Résoudre $y''+4y=0$ sachant que $f(0)=2$ et $f\!\left(\dfrac\pi4\right)=-3$ .