1ère Bac Sciences Math · Semestre 2

Dénombrement

Compter sans énumérer : la bonne question à se poser — l'ordre compte-t-il ? peut-on répéter ? — mène directement à la bonne formule.

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exercices corrigés

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corrigé

C_n^p

01 · Compter les éléments d'un ensemble

Cardinal d'un ensemble fini, formule de Poincaré

Additionner deux cardinaux compte deux fois l'intersection — il faut la retrancher.

Cardinal, réunion, complémentaire

Définitions

$\mathrm{card}(E)$ est le nombre d'éléments de $E$ ; $\mathrm{card}(\varnothing)=0$ .

Propriétés fondamentales

\mathrm{card}(E\cup F)=\mathrm{card}(E)+\mathrm{card}(F)-\mathrm{card}(E\cap F)

Si $E\cap F=\varnothing$ : $\mathrm{card}(E\cup F)=\mathrm{card}(E)+\mathrm{card}(F)$ . Si $E\subset F$ : $\mathrm{card}(F\setminus E)=\mathrm{card}(F)-\mathrm{card}(E)$ .

Formule de Poincaré à trois ensembles

\mathrm{card}(A\cup B\cup C)=\mathrm{card}A+\mathrm{card}B+\mathrm{card}C-\mathrm{card}(A\cap B)-\mathrm{card}(A\cap C)-\mathrm{card}(B\cap C)+\mathrm{card}(A\cap B\cap C)

02 · Compter les possibilités successives

Principe multiplicatif

Le résultat central du chapitre : si chaque étape offre un choix indépendant, on multiplie les nombres de possibilités.

Le théorème fondamental du dénombrement

Propriété

Si un événement $C_1$ peut se produire de $n_1$ façons, ..., $C_p$ de $n_p$ façons, tous indépendants, le nombre total de possibilités de l'événement combiné est :

n=n_1\times n_2\times\cdots\times n_p

Nombre d'applications de N dans M

Si $\mathrm{card}(N)=n$ et $\mathrm{card}(M)=m$ , le nombre d'applications de $N$ dans $M$ est $m^n$ . Le nombre de parties d'un ensemble à $n$ éléments est $2^n$ .

03 · Quand l'ordre compte

Arrangements et permutations

Un arrangement est une liste ordonnée d'éléments distincts d'un ensemble ; une permutation utilise tous les éléments.

III

Arrangements avec et sans répétition

Définitions et formules

Avec répétition (p-liste) : le nombre d'arrangements de $p$ éléments (non nécessairement distincts) d'un ensemble à $n$ éléments est $n^p$ .
Sans répétition ( $p\le n$ ) : le nombre d'arrangements de $p$ éléments distincts est :
$A_n^p=n\times(n-1)\times\cdots\times(n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}$

Permutations

Propriétés

Le nombre de permutations (arrangements sans répétition de $n$ éléments parmi $n$ ) est $A_n^n=n!$ .

Si $n$ éléments comportent des répétitions ( $n_1$ fois le premier, ..., $n_k$ fois le dernier, avec $n_1+\cdots+n_k=n$ ), le nombre de permutations avec répétitions (par exemple d'anagrammes) est :

P_n=\dfrac{n!}{n_1!\,n_2!\,\cdots\,n_k!}

04 · Quand l'ordre ne compte pas

Combinaisons, triangle de Pascal, binôme de Newton

Choisir un sous-ensemble : c'est le concept qui structure toute la fin du chapitre.

Combinaisons

Définition et formule

Une combinaison de $p$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments est un sous-ensemble à $p$ éléments (l'ordre n'importe pas). Leur nombre se note $C_n^p$ :

C_n^p=\dfrac{A_n^p}{p!}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}

Propriétés et triangle de Pascal

C_n^0=1,\qquad C_n^1=n,\qquad C_n^n=1,\qquad C_n^p=C_n^{n-p}

C_n^p=C_{n-1}^{p-1}+C_{n-1}^p\quad(\text{relation de Pascal})

Formule du binôme de Newton

Propriété

(a+b)^n=\sum_{p=0}^{n}C_n^p\,a^{n-p}b^p=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+\cdots+C_n^{n-1}ab^{n-1}+C_n^nb^n

05 · À toi de jouer

Exercices · Dénombrement

6 exercices corrigés couvrant Poincaré, principe multiplicatif, arrangement, permutation avec répétition, combinaison et binôme de Newton.

0 / 6 vérifiés

Exercice 1 · Formule de Poincaré

1 étude

Dans une classe de $40$ élèves, $25$ aiment les mathématiques, $18$ aiment la physique, et $10$ aiment les deux. Combien d'élèves aiment au moins une des deux matières ? Combien n'aiment ni l'une ni l'autre ?

Exercice 2 · Principe multiplicatif

1 calcul

Une plaque d'immatriculation est formée de $2$ lettres (parmi $26$ ) suivies de $4$ chiffres (parmi $10$ ), avec répétitions autorisées. Combien de plaques différentes peut-on former ?

Exercice 3 · Arrangement (podium)

1 calcul

Une course oppose $12$ coureurs. Combien de podiums (1ᵉʳ, 2ᵉ, 3ᵉ) différents peut-on constituer ?

Exercice 4 · Permutation avec répétition (anagrammes)

1 calcul

Combien d'anagrammes peut-on former avec les lettres du mot $\text{« ARRANGER »}$ ?

Exercice 5 · Combinaison

1 calcul

Un groupe compte $6$ hommes et $4$ femmes. Combien de comités de $4$ personnes comportant exactement $2$ hommes et $2$ femmes peut-on former ?

Exercice 6 · Binôme de Newton

1 calcul

Déterminer le coefficient de $x^3$ dans le développement de $(2x-1)^5$ .

Dénombrement · Mathématiques, 1ère année Baccalauréat Sciences Math, semestre 2.