1ère Bac Sciences Math · Semestre 2

Arithmétique dans Z

Diviser, décomposer, comparer des restes — les outils qui structurent tous les nombres entiers.

PGCD, PPCM

exercices corrigés

100%

corrigé

a\wedge b

01 · Le vocabulaire de base

Divisibilité, division euclidienne, nombres premiers

Une relation simple entre entiers structure tout le reste du chapitre.

Divisibilité

Définition

$b$ divise $a$ ( $b\mid a$ ) ssi il existe $k\in\mathbb Z$ tel que $a=kb$ .

Propriétés à connaître par cœur

$a\mid b$ et $b\mid a$ $\Rightarrow$ $|a|=|b|$ .
$a\mid b$ et $b\mid c$ $\Rightarrow$ $a\mid c$ (transitivité).
$a\mid m$ et $a\mid n$ $\Rightarrow$ $a\mid(\alpha m+\beta n)$ pour tous $\alpha,\beta\in\mathbb Z$ .
$b\mid a$ et $a\neq0$ $\Rightarrow$ $|b|\le|a|$ .

Division euclidienne

Propriété

Pour $a\in\mathbb Z$ et $b\in\mathbb Z^*$ , il existe un unique couple $(q,r)$ tel que :

a=bq+r,\qquad 0\le r<|b|

III

Nombres premiers

Définition et critère

$p$ est premier ssi $p\neq1$ et ses seuls diviseurs positifs sont $1$ et $|p|$ . Pour tester si $n$ est premier, il suffit de vérifier qu'aucun nombre premier $p\le\sqrt n$ ne le divise.

02 · Comparer deux entiers

PGCD, PPCM, algorithme d'Euclide

Le plus grand diviseur commun se calcule en une poignée de divisions successives — et révèle immédiatement une identité de Bézout.

PGCD et PPCM

Définitions

$a\wedge b$ (PGCD) est le plus grand diviseur commun de $a$ et $b$ ; $a\vee b$ (PPCM) est le plus petit multiple commun strictement positif.

Propriétés

(a\wedge b)\times(a\vee b)=|ab|

$a$ et $b$ sont premiers entre eux ssi $a\wedge b=1$ .

Algorithme d'Euclide et identité de Bézout

Théorème (algorithme d'Euclide)

Si $a=bq+r$ ( $0\le r<b$ ), alors $a\wedge b=b\wedge r$ . Le $a\wedge b$ est le dernier reste non nul des divisions euclidiennes successives.

Identité de Bézout

En remontant l'algorithme d'Euclide, on trouve $u,v\in\mathbb Z$ tels que :

au+bv=a\wedge b

03 · Comparer des restes

Congruence modulo n, décomposition en facteurs premiers

Deux entiers qui ont le même reste se comportent comme des égaux, aussi bien pour l'addition que pour la multiplication.

Congruence modulo n

Définition

$a\equiv b\,[n]$ ssi $n\mid(b-a)$ — équivalent à : $a$ et $b$ ont le même reste dans la division par $n$ .

Compatibilité avec + et ×

Si $a\equiv b\,[n]$ et $c\equiv d\,[n]$ :

a+c\equiv b+d\,[n],\qquad ac\equiv bd\,[n],\qquad a^k\equiv b^k\,[n]\ (k\in\mathbb N)

VII

Décomposition en facteurs premiers

Théorème

Tout entier $n\ge2$ s'écrit de façon unique $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$ ( $p_i$ premiers distincts). Le nombre de diviseurs positifs de $n$ est :

(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1)

04 · À toi de jouer

Exercices · Arithmétique dans Z

6 exercices corrigés couvrant divisibilité, algorithme d'Euclide et Bézout, congruence, équation diophantienne, et décomposition en facteurs premiers.

0 / 6 vérifiés

Exercice 1 · Divisibilité par 6

1 démonstration

Montrer que $\forall n\in\mathbb Z,\ 6\mid(n^3-n)$ .

Exercice 2 · Algorithme d'Euclide et identité de Bézout

1 calcul complet

Calculer $252\wedge180$ par l'algorithme d'Euclide, puis trouver $u,v\in\mathbb Z$ tels que $252u+180v=252\wedge180$ .

Exercice 3 · Reste d'une puissance par congruence

1 calcul

Déterminer le reste de la division euclidienne de $7^{100}$ par $13$ .

Exercice 4 · Équation diophantienne

1 résolution

Résoudre dans $\mathbb Z^2$ l'équation $15x+9y=6$ .

Exercice 5 · Diviseurs d'une expression affine

1 résolution

Déterminer les entiers relatifs $n$ tels que $(n+3)\mid(2n+7)$ .

Exercice 6 · Décomposition en facteurs premiers, PGCD, PPCM

2 calculs

Décomposer $360$ et $150$ en produit de facteurs premiers, puis en déduire $360\wedge150$ et $360\vee150$ .

Arithmétique dans Z · Mathématiques, 1ère année Baccalauréat Sciences Math, semestre 2.