1ère Bac Sciences Math · Semestre 1

Les suites numériques

Deux familles de suites, deux formules de terme général, deux formules de somme — et la technique de la suite auxiliaire pour tout ramener à ces deux familles.

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familles de suites

exercices corrigés

100%

corrigé

(u_n)

01 · Le vocabulaire de base

Généralités : majoration, minoration, monotonie

Une suite est une fonction définie sur les entiers — les mêmes notions de bornes et de monotonie que pour les fonctions, avec un critère simplifié.

Définition et vocabulaire

Définition

Une suite numérique est une application $u:I\to\mathbb R$ ( $I\subset\mathbb N$ ), notée $(u_n)_{n\in I}$ . $u_n$ est le terme général, $u_{n_0}$ le premier terme.

Suite récurrente

Une suite définie par

u_{n+1}

en fonction de

u_n

(et

u_0

donné) est dite récurrente. C'est la forme la plus fréquente dans les exercices.

Suite majorée, minorée, bornée, monotone

Bornes

(u_n)\text{ majorée par }M\iff\forall n\ge n_0,\ u_n\le M

(u_n)\text{ minorée par }m\iff\forall n\ge n_0,\ m\le u_n

Bornée = majorée et minorée.

Critère de monotonie (le plus utile)

(u_n)\text{ croissante}\iff\forall n\ge n_0,\ u_{n+1}\ge u_n

(u_n)\text{ décroissante}\iff\forall n\ge n_0,\ u_{n+1}\le u_n

(On étudie donc le signe de $u_{n+1}-u_n$ , plutôt que de comparer $u_n$ et $u_{n'}$ pour $n,n'$ quelconques.)

02 · Une différence constante

Suite arithmétique

On ajoute toujours le même nombre pour passer d'un terme au suivant.

III

Définition, terme général, somme

Définition

$(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ ssi $\forall n\ge n_0,\ u_{n+1}=u_n+r$ .

Terme général et somme

u_n=u_{n_0}+(n-n_0)r,\qquad u_q=u_p+(q-p)r

S_n=u_p+u_{p+1}+\cdots+u_n=\dfrac{(u_p+u_n)}2\times(n-p+1)=\dfrac{(\text{1}^{\text{er}}\text{ terme})+(\text{dernier terme})}2\times(\text{nombre de termes})

03 · Un rapport constant

Suite géométrique

On multiplie toujours par le même nombre pour passer d'un terme au suivant.

Définition, terme général, somme

Définition

$(u_n)$ est géométrique de raison $q\neq0$ ssi $\forall n\ge n_0,\ u_{n+1}=q\times u_n$ .

Terme général et somme

u_n=u_{n_0}\times q^{(n-n_0)},\qquad u_q=u_p\times q^{(q-p)}

\text{Si }q\neq1:\ S_n=u_p+\cdots+u_n=u_p\times\dfrac{q^{(n-p+1)}-1}{q-1}

(Si $q=1$ , la suite est constante et $S_n=u_p\times(n-p+1)$ .)

La technique de la suite auxiliaire

Idée générale

Pour une suite récurrente $u_n$ qui n'est ni arithmétique ni géométrique, on introduit souvent une suite auxiliaire $v_n=f(u_n)$ (par exemple $v_n=u_n-\ell$ ou $v_n=\dfrac1{u_n-\ell}$ ) et on montre que $(v_n)$ est arithmétique ou géométrique — on en déduit ensuite $u_n$ en fonction de $n$ .

04 · Trois termes consécutifs

Moyenne arithmétique, moyenne géométrique

Deux relations simples qui caractérisent trois termes consécutifs d'une suite arithmétique ou géométrique.

Les deux propriétés

Moyenne arithmétique

Si $a,b,c$ sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique :

a+c=2b

Moyenne géométrique

Si $a,b,c$ sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique :

a\times c=b^2

05 · À toi de jouer

Exercices · Les suites numériques

6 exercices corrigés couvrant suite arithmétique, suite géométrique, la technique de la suite auxiliaire, et les deux moyennes.

0 / 6 vérifiés

Exercice 1 · Suite arithmétique récurrente

1 étude complète

Soit $(u_n)_{n\ge0}$ définie par $u_0=7$ et $u_{n+1}=u_n-4$ . Montrer que $(u_n)$ est arithmétique, donner $u_n$ en fonction de $n$ , et calculer $S=u_0+u_1+\cdots+u_{20}$ .

Exercice 2 · Suite géométrique récurrente

1 étude complète

Soit $(u_n)_{n\ge0}$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=2u_n$ . Montrer que $(u_n)$ est géométrique, donner $u_n$ en fonction de $n$ , et calculer $S=u_0+u_1+\cdots+u_7$ .

Exercice 3 · La technique de la suite auxiliaire

1 étude complète

Soit $(u_n)_{n\ge0}$ définie par $u_0=-3$ et $u_{n+1}=\dfrac9{6-u_n}$ . On pose $v_n=\dfrac1{u_n-3}$ . Montrer que $(v_n)$ est arithmétique, puis donner $u_n$ en fonction de $n$ .

Exercice 4 · Moyenne arithmétique

1 calcul

Déterminer $x\in\mathbb R$ tel que $5,\ x,\ 17$ soient trois termes consécutifs d'une suite arithmétique.

Exercice 5 · Moyenne géométrique

1 calcul

Déterminer $x>0$ tel que $4,\ x,\ 25$ soient trois termes consécutifs d'une suite géométrique.

Exercice 6 · Combiner les deux formules de somme

2 calculs

$(u_n)$ arithmétique avec $u_0=2$ , $r=5$ , et $(v_n)$ géométrique avec $v_0=3$ , $q=2$ . Calculer $S_u=\displaystyle\sum_{i=0}^{10}u_i$ et $S_v=\displaystyle\sum_{i=0}^{10}v_i$ .

Les suites numériques · Mathématiques, 1ère année Baccalauréat Sciences Math, semestre 1.