1ère Bac Sciences Math · Semestre 1

La rotation dans le plan

Une isométrie construite à partir de deux symétries axiales — avec un théorème central : composer deux rotations donne soit une rotation d'angle somme, soit une translation.

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symétries axiales composées

exercices corrigés

100%

corrigé

R_{(\Omega,\theta)}

01 · Les deux outils qui construisent tout

Rappels : symétrie axiale, angles orientés

La rotation se construit à partir de deux symétries axiales — il faut donc maîtriser leurs propriétés avant d'aller plus loin.

Symétrie axiale

Définition et propriétés

$S_{(D)}(M)=M'$ ssi $(D)$ est la médiatrice de $[MM']$ (ou $M'=M$ si $M\in(D)$ ). La symétrie axiale conserve les distances, le milieu (et plus généralement le barycentre), et les angles géométriques — mais elle inverse les angles orientés :

\big(\overrightarrow{A'B'},\overrightarrow{A'C'}\big)\equiv-\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\big)\ [2\pi]

$S_{(D)}$ est une bijection, et sa réciproque est elle-même : $S_{(D)}\circ S_{(D)}=\mathrm{Id}$ .

Angles orientés — propriétés utiles

À retenir

$\big(\vec v,\vec u\big)\equiv-\big(\vec u,\vec v\big)\ [2\pi]$

Si $hk>0$ : $\big(h\vec u,k\vec v\big)\equiv\big(\vec u,\vec v\big)\ [2\pi]$ . Si $hk<0$ : $\big(h\vec u,k\vec v\big)\equiv\pi+\big(\vec u,\vec v\big)\ [2\pi]$ .

Pour $(D)$ et $(\Delta)$ sécantes en $A$ , de directeurs $\vec u,\vec v$ , et $B\in(D)$ , $C\in(\Delta)$ :

2\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\big)\equiv2\big(\vec u,\vec v\big)\ [2\pi]

02 · Composer deux symétries

Définition de la rotation

Composer deux symétries axiales d'axes sécants produit exactement une rotation — c'est la construction fondatrice du chapitre.

III

La rotation comme composée de deux symétries axiales

Propriété fondatrice

Pour $(\Delta)$ et $(\Delta')$ sécantes en $O$ , de directeurs $\vec u,\vec v$ avec $(\vec u,\vec v)\equiv\alpha\,[2\pi]$ , l'application $S_{(\Delta')}\circ S_{(\Delta)}$ transforme $M$ en $M'$ tel que :

OM=OM'\qquad\text{et}\qquad\big(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OM'}\big)\equiv2\alpha\ [2\pi]

Définition de la rotation

Définition

La rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\theta$ , notée $R_{(\Omega,\theta)}$ , transforme $M$ en $M'$ tel que :

\Omega M=\Omega M'\qquad\text{et}\qquad\big(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\big)\equiv\theta\ [2\pi]

Trois cas particuliers

La symétrie centrale $S_\Omega$ est la rotation $R_{(\Omega,\pi)}$ .
L'identité est la rotation d'angle nul (n'importe quel point en est le centre).
Si $\theta\neq0$ (modulo $2\pi$ ), $\Omega$ est le seul point invariant.

03 · Ce qu'une rotation conserve

Propriétés de la rotation

Composée de deux isométries, la rotation hérite de toutes leurs propriétés de conservation — et regagne même les angles orientés.

Isométrie et bijection

Propriétés de conservation

La rotation conserve :

les distances (isométrie) : $A'B'=AB$ ;
le coefficient de colinéarité, donc l'alignement des points ;
le milieu et, plus généralement, le barycentre d'un système pondéré ;
les angles géométriques et, à la différence de la symétrie axiale (composée de deux symétries : les inversions s'annulent), les angles orientés.

Bijection réciproque

R_{(\Omega,\theta)}\text{ est une bijection, et }\big(R_{(\Omega,\theta)}\big)^{-1}=R_{(\Omega,-\theta)}

La propriété fondamentale

À utiliser dans presque tous les exercices

Si $R_{(\Omega,\theta)}(M)=M'$ et $R_{(\Omega,\theta)}(N)=N'$ , alors :

\big(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{M'N'}\big)\equiv\theta\ [2\pi]

(Combinée à $M'N'=MN$ , cette propriété montre que la rotation transforme toute figure en une figure superposable, tournée d'un angle $\theta$ .)

04 · Le théorème central du chapitre

Composition de deux rotations

Composer deux rotations donne toujours soit une rotation, soit une translation — jamais autre chose.

VII

Même centre : les angles s'additionnent

Propriété

R'_{(\Omega,\beta)}\circ R_{(\Omega,\alpha)}=R''_{(\Omega,\alpha+\beta)}

(En particulier, $R_{(\Omega,-\alpha)}\circ R_{(\Omega,\alpha)}=\mathrm{Id}$ , retrouvant la bijection réciproque.)

VIII

Centres différents : rotation ou translation

Idée de la démonstration

En décomposant chaque rotation en deux symétries axiales partageant l'axe commun $(\Delta)=(O\Omega)$ , la composée $R'\circ R$ se réduit à la composée de deux symétries axiales $S_{(\Delta_2)}\circ S_{(\Delta_1)}$ . Sa nature dépend de la position relative de $(\Delta_1)$ et $(\Delta_2)$ :

sécantes → rotation (d'angle $\alpha+\beta$ ) ;
parallèles → translation.

Théorème

Soient $R_{(O,\alpha)}$ et $R'_{(\Omega,\beta)}$ deux rotations avec $\Omega\neq O$ .

Si $\alpha+\beta\neq2k\pi$ : $R'\circ R$ est une rotation d'angle $\alpha+\beta$ (de centre à déterminer).
Si $\alpha+\beta=2k\pi$ : $R'\circ R$ est une translation.

05 · À toi de jouer

Exercices · La rotation dans le plan

6 exercices corrigés couvrant la définition, la propriété fondamentale, la bijection réciproque, et les deux cas de composition de deux rotations.

0 / 6 vérifiés

Exercice 1 · Rotation et carré direct

1 démonstration

$ABCD$ un carré direct de centre $O$ . Soit $R=R_{(O,\frac\pi2)}$ . Montrer que $R(A)=B$ , $R(B)=C$ , $R(C)=D$ et $R(D)=A$ .

Exercice 2 · Composition de deux rotations de même centre

1 calcul

Soient $R_1=R_{(\Omega,\frac\pi3)}$ et $R_2=R_{(\Omega,\frac\pi4)}$ . Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $R_2\circ R_1$ .

Exercice 3 · Composition, centres différents, cas rotation

1 identification

Soient $R=R_{\left(O,\frac{2\pi}3\right)}$ et $R'=R'_{\left(\Omega,\frac\pi3\right)}$ avec $\Omega\neq O$ . Déterminer la nature de $R'\circ R$ .

Exercice 4 · Composition, centres différents, cas translation

1 identification

Soient $R=R_{\left(O,\frac\pi2\right)}$ et $R'=R'_{\left(\Omega,-\frac\pi2\right)}$ avec $\Omega\neq O$ . Déterminer la nature de $R'\circ R$ .

Exercice 5 · Application de la propriété fondamentale

1 démonstration

Soit $R$ une rotation d'angle $\dfrac\pi3$ telle que $R(A)=B$ et $R(C)=D$ . Montrer que $AC=BD$ et que $(AC)$ et $(BD)$ font un angle de $\dfrac\pi3$ (au sens des angles orientés).

Exercice 6 · Bijection réciproque

1 démonstration

Montrer que si $R_{(\Omega,\theta)}(M)=M'$ , alors $R_{(\Omega,-\theta)}(M')=M$ .

La rotation dans le plan · Mathématiques, 1ère année Baccalauréat Sciences Math, semestre 1.