Le produit scalaire et ses applications · Cours et exercices | 1ère Bac Sciences Math

01 · L'outil de base

Rappels : définition, propriétés, expression analytique

Trois façons d'écrire le même produit scalaire — projection, trigonométrique, analytique — et il faut savoir choisir la bonne selon la situation.

I

Définition et propriétés

Définition (par projection)

Pour $\vec u=\overrightarrow{AB}$ , $\vec v=\overrightarrow{AC}$ , et $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ :

\vec u\cdot\vec v=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}=\begin{cases}+AB\times AH&\text{si }\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AH}\text{ même sens}\\-AB\times AH&\text{si sens opposés}\end{cases}

Propriétés à connaître par cœur

Trigonométrique : $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\vec u,\vec v)$

Symétrie : $\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u$

Linéarité : $(\vec u+\vec v)\cdot\vec w=\vec u\cdot\vec w+\vec v\cdot\vec w$ , $(\alpha\vec u)\cdot\vec v=\alpha(\vec u\cdot\vec v)$

Orthogonalité : $\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0$

II

Expression analytique

Dans un repère orthonormé

Pour $\vec u(x,y)$ et $\vec v(x',y')$ :

\vec u\cdot\vec v=xx'+yy',\qquad \|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}

AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2},\qquad \vec u\perp\vec v\iff xx'+yy'=0

02 · Deux inégalités universelles

Inégalités de Cauchy-Schwarz et triangulaire

Deux résultats vrais pour tous vecteurs, avec des cas d'égalité qui caractérisent la colinéarité.

III

Les deux inégalités

Propriétés

Inégalité triangulaire : $\|\vec u+\vec v\|\le\|\vec u\|+\|\vec v\|$ .

Idée de la démonstration (Cauchy-Schwarz)

\|\vec u\|\,\|\vec v\||\cos(\vec u,\vec v)|\le\|\vec u\|\,\|\vec v\|\iff|\vec u\cdot\vec v|\le\|\vec u\|\,\|\vec v\|

03 · Sinus, déterminant, aire

Formules de sin, cos et l'aire d'un triangle

Le déterminant de deux vecteurs donne à la fois le sinus de leur angle et l'aire du triangle qu'ils forment — un raccourci redoutable.

IV

Formules de sin et cos par déterminant

Propriété

Pour $\vec u(x,y)$ , $\vec v(x',y')$ non nuls, $\det(\vec u,\vec v)=xy'-yx'$ :

\cos(\vec u,\vec v)=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}=\dfrac{xx'+yy'}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{x'^2+y'^2}}

\sin(\vec u,\vec v)=\dfrac{\det(\vec u,\vec v)}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}=\dfrac{xy'-yx'}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{x'^2+y'^2}}

V

Aire d'un triangle et d'un parallélogramme

Propriété

S_{ABC}=\dfrac12\big|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\big|,\qquad S_{ABCD}=\big|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\big|

04 · Décrire une droite par un vecteur normal

La droite dans le plan — étude analytique

Le vecteur normal remplace le vecteur directeur comme outil principal — il rend l'orthogonalité et la distance immédiates.

VI

Vecteur normal et équation cartésienne

Définitions

$\vec n$ est un vecteur normal à $\mathcal D(A,\vec u)$ s'il est non nul et orthogonal à $\vec u$ . Pour $\vec n(a,b)$ , un vecteur directeur associé est $\vec u(-b,a)$ .

Équation cartésienne

La droite passant par $A(x_A,y_A)$ de vecteur normal $\vec n(a,b)$ a pour équation :

ax+by+c=0,\qquad c=-ax_A-by_A

Réciproquement, toute équation $ax+by+c=0$ ( $(a,b)\neq(0,0)$ ) est une droite de vecteur normal $\vec n(a,b)$ .

VII

Orthogonalité et distance point-droite

Deux droites perpendiculaires

Pour $(D):ax+by+c=0$ et $(D'):a'x+b'y+c'=0$ :

D\perp D'\iff aa'+bb'=0

Distance d'un point à une droite

d(A,\mathcal D)=\dfrac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

05 · Le second objet analytique

Le cercle — équation, tangente, positions relatives

Trois formes d'équation, un critère de tangence, et le lien entre position relative et distance au centre.

VIII

Équations cartésiennes du cercle

Forme centre-rayon et forme développée

\mathcal C(\Omega(a,b),r):\ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2\ \iff\ x^2+y^2-2ax-2by+c=0,\ c=a^2+b^2-r^2

Cercle de diamètre [AB]

M\in\mathcal C_{[AB]}\iff\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}=0\iff(x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)=0

Étude de x² + y² + ax + by + c = 0

Avec $\Delta=a^2+b^2-4c$ :

$\Delta<0$ : ensemble vide.
$\Delta=0$ : un point unique $\Omega\!\left(-\dfrac a2,-\dfrac b2\right)$ .
$\Delta>0$ : un cercle de centre $\Omega\!\left(-\dfrac a2,-\dfrac b2\right)$ et de rayon $\dfrac{\sqrt\Delta}2$ .

IX

Positions relatives et tangente

Droite et cercle

Pour $\mathcal C(\Omega,r)$ et une droite $\mathcal D$ : $d(\Omega,\mathcal D)>r$ (disjoints), $d(\Omega,\mathcal D)=r$ (tangente), $d(\Omega,\mathcal D)<r$ (sécante en deux points).

Équation de la tangente en un point A du cercle

\overrightarrow{\Omega A}\cdot\vec u=0\quad\text{où }\vec u\text{ est le vecteur directeur de la tangente}

Autrement dit : la tangente en $A$ passe par $A$ et a pour vecteur normal $\overrightarrow{\Omega A}$ .

06 · À toi de jouer

Exercices · Le produit scalaire et ses applications

6 exercices corrigés couvrant aire par déterminant, droite perpendiculaire, cercle de diamètre, tangente, et deux ensembles de points classiques.

0 / 6 vérifiés

1

Exercice 1 · Aire d'un triangle par déterminant

1 calcul

Dans un repère orthonormé, soient $A(1,1)$ , $B(4,1)$ , $C(2,5)$ . Calculer l'aire du triangle $ABC$ .

2

Exercice 2 · Droite perpendiculaire

1 calcul

Soit $(d):3x-y+5=0$ . Trouver l'équation de la droite $(\Delta)$ passant par $A(1,2)$ et perpendiculaire à $(d)$ .

3

Exercice 3 · Reconnaître un cercle de diamètre

1 identification

Montrer que $(x-2)(x+5)+(y-1)(y-4)=0$ est l'équation d'un cercle, et déterminer son centre et son rayon.

4

Exercice 4 · Tangente à un cercle en un point

1 démonstration

Soient $I(4,-1)$ et $A(1,5)$ , et $\mathcal C$ le cercle de centre $I$ passant par $A$ . Montrer que la droite $(d):x-2y+9=0$ est tangente à $\mathcal C$ en $A$ .

5

Exercice 5 · Ensemble de points MA² + MB² = k

1 démonstration

$A,B$ tels que $AB=6$ , $I$ le milieu de $[AB]$ . Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $MA^2+MB^2=68$ .

6

Exercice 6 · Ensemble de points MA² − MB² = k

1 démonstration

$A,B$ deux points distincts et $I$ le milieu de $[AB]$ . Montrer que $MA^2-MB^2=2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{IM}$ , et en déduire la nature de l'ensemble des points $M$ tels que $MA^2-MB^2=k$ ( $k$ fixé).