Logique mathématique · Cours et exercices | 1ère Bac Sciences Math

01 · Le langage des démonstrations

Proposition, fonction propositionnelle, quantificateurs

Avant de démontrer quoi que ce soit, il faut savoir ce qu'est un énoncé vrai ou faux, et comment le quantifier.

I

Proposition

Définition

Une proposition est un énoncé mathématique qui a un sens et qui est soit vrai, soit faux — jamais les deux à la fois. On la note souvent

P

,

Q

ou

R

. Si

P

est vraie on écrit

V

(ou

1

), si elle est fausse on écrit

F

(ou

0

).

Exemples

$P$ : « 2 est un nombre pair » — vraie.
$Q$ : « $2+3=6$ » — fausse.

II

Fonction propositionnelle

Définition

Une fonction propositionnelle est un énoncé contenant une ou plusieurs variables (

x

,

x,y

, …). On la note

P(x)

ou

P(x,y)

. Dès qu'on remplace la variable par un élément précis, elle devient une proposition (vraie ou fausse).

Exemple

A(x)

: « pour tout

x

de

\mathbb R

,

\sqrt{x^2}=x

» est une fonction propositionnelle : si

x=2

, la proposition obtenue est vraie ; si

x=-3

, elle est fausse.

III

Les quantificateurs

Quantificateur universel ∀

\forall x\in E,\ Q(x)

se lit « pour tout

x

de

E

,

Q(x)

». Exemple :

\forall x\in\mathbb R:\sqrt{x^2}=|x|

.

Quantificateur existentiel ∃

\exists x\in E,\ Q(x)

se lit « il existe

x

de

E

tel que

Q(x)

». Exemple :

\exists x\in\mathbb R: x+4\le3

.

Le symbole ∃!

\exists!\,x\in E,\ Q(x)

signifie qu'il existe un unique

x

de

E

vérifiant

Q(x)

. Exemple :

\exists!\,x\in\mathbb R: x+4=3

.

À retenir absolument

L'ordre de deux quantificateurs identiques ne change pas le sens : $\forall x,\forall y$ ou $\forall y,\forall x$ — même chose.
L'ordre de deux quantificateurs différents change tout le sens de la phrase : $\exists x\in\mathbb R,\forall y\in\mathbb R, x+y>0$ (faux) n'est pas la même chose que $\forall y\in\mathbb R,\exists x\in\mathbb R, x+y>0$ (vrai).
La négation de $\forall$ est $\exists$ , et la négation de $\exists$ est $\forall$ .

02 · Combiner des propositions

Négation, conjonction, disjonction, implication, équivalence

Cinq opérations, cinq tables de vérité — puis les lois logiques qui en découlent.

IV

Négation, conjonction (∧), disjonction (∨)

Négation

La négation de

P

, notée

\overline P

ou

\lnot P

, a une valeur de vérité opposée à celle de

P

. Propriété :

\overline{\overline P}=P

.

$P$	$\overline P$
$1$	$0$
$0$	$1$

Conjonction P ∧ Q (« et »)

Vraie seulement si

P

et

Q

sont toutes les deux vraies.

Disjonction P ∨ Q (« ou »)

Fausse seulement si

P

et

Q

sont toutes les deux fausses.

$P$	$Q$	$P\wedge Q$
$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$0$	$0$	$0$

$P$	$Q$	$P\vee Q$
$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$
$0$	$0$	$0$

Propriétés (∧ et ∨)

Commutativité : $P\wedge Q=Q\wedge P$ ; $P\vee Q=Q\vee P$ .
Associativité : $(P\wedge Q)\wedge R=P\wedge(Q\wedge R)$ (idem pour $\vee$ ).
Lois de De Morgan : $\overline{P\wedge Q}=\overline P\vee\overline Q$ et $\overline{P\vee Q}=\overline P\wedge\overline Q$ .
Distributivité : $P\wedge(Q\vee R)=(P\wedge Q)\vee(P\wedge R)$ , et de même pour $\vee$ sur $\wedge$ .

V

Implication et équivalence

Implication P ⇒ Q

La proposition

P\Rightarrow Q

vaut

\overline P\vee Q

; elle est fausse uniquement dans le cas où

P

est vraie et

Q

est fausse.

P

s'appelle l'hypothèse,

Q

la conclusion.

$P$	$Q$	$P\Rightarrow Q$
$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$0$	$0$	$1$

Vocabulaire à ne pas confondre

Réciproque de $P\Rightarrow Q$ : c'est $Q\Rightarrow P$ . Si $P\Rightarrow Q$ est vraie, la réciproque n'est pas forcément vraie.
Contraposée de $P\Rightarrow Q$ : c'est $\overline Q\Rightarrow\overline P$ , et elle est toujours équivalente à $P\Rightarrow Q$ .
Négation de l'implication : $\overline{P\Rightarrow Q}=P\wedge\overline Q$ .
Transitivité : $[(P\Rightarrow Q)\wedge(Q\Rightarrow R)]\Rightarrow(P\Rightarrow R)$ .

Équivalence P ⇔ Q

P\Leftrightarrow Q

signifie

(P\Rightarrow Q)\wedge(Q\Rightarrow P)

, on lit «

P

si et seulement si

Q

».

$P$	$Q$	$P\Leftrightarrow Q$
$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$0$	$0$	$1$

VI

Lois logiques

Définition

Une loi logique est une proposition qui est toujours vraie, quelles que soient les valeurs de vérité des propositions qui la composent.

Exemple — la preuve par équivalences

Montrons que $(P\wedge Q)\Rightarrow P$ est une loi logique :

\begin{gathered}(P\wedge Q)\Rightarrow P\iff\overline{P\wedge Q}\vee P\iff(\overline P\vee\overline Q)\vee P\\[2pt]\iff\underbrace{(\overline P\vee P)}_{\text{toujours vraie}}\vee\overline Q\end{gathered}

Une disjonction contenant une proposition toujours vraie est toujours vraie : donc $(P\wedge Q)\Rightarrow P$ est une loi logique.

03 · Sept techniques de démonstration

Les types de raisonnement

La boîte à outils qui servira toute l'année : à chaque énoncé son type de preuve adapté.

VII

Les sept raisonnements à connaître

1Par contre-exemple

Pour montrer que

\forall x\in E, P(x)

est fausse, il suffit de trouver un

x

de

E

qui ne vérifie pas

P(x)

.
Exemple :

\sqrt2

et

-\sqrt2

sont irrationnels, mais leur somme

0

ne l'est pas — donc « la somme de deux irrationnels est irrationnelle » est fausse.

2Par équivalences successives

Pour montrer

P\Leftrightarrow Q

, on enchaîne

P\Leftrightarrow Q_1\Leftrightarrow Q_2\Leftrightarrow\cdots\Leftrightarrow Q

.
Exemple :

a^2+b^2=2ab\Leftrightarrow(a-b)^2=0\Leftrightarrow a=b

.

3Déductif (direct)

Si

P\Rightarrow Q

est vraie et que

P

est donnée, alors

Q

est vraie : on l'applique directement.

4Par contraposée

Pour montrer

P\Rightarrow Q

, on montre

\overline Q\Rightarrow\overline P

— souvent plus simple quand la conclusion est une négation («

\neq

», « n'est pas… »).

5Par disjonction des cas

On découpe

E

en plusieurs sous-ensembles et on traite chaque cas séparément — typique pour les équations avec valeur absolue.

6Par l'absurde

Pour montrer

Q

, on suppose

\overline Q

vraie, et on aboutit à une contradiction avec une donnée

P

(on obtient

P

et

\overline P

vraies en même temps, ce qui est impossible).

7Par récurrence

Pour montrer

P(n)

vraie pour tout

n\ge n_0

: on vérifie

P(n_0)

, on suppose

P(n)

vraie (hypothèse de récurrence), puis on montre

P(n+1)

.

04 · Notations condensées

Les symboles Σ et Π

Deux notations qui reviendront constamment pour écrire des sommes et des produits sans les étaler.

VIII

Somme Σ et produit Π

Symbole Σ (somme)

\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i=a_1+a_2+\cdots+a_n

Exemple : $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}2i=2+4+6+\cdots+2n$ .

Symbole Π (produit)

\displaystyle\prod_{j=1}^{n}a_j=a_1\times a_2\times\cdots\times a_n

Trois formules à connaître par cœur

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i=1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^3=\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2$

05 · À toi de jouer

Exercices · Logique mathématique

6 exercices corrigés, au niveau Sciences Math : négations quantifiées, contraposée, raisonnement direct, récurrence, inégalité et équation par injectivité.

0 / 6 vérifiés

1

Exercice 1 · Négations de propositions quantifiées

2 négations

a. Déterminer la négation de $\exists m\in\mathbb R,\ \forall x\in\mathbb R^+,\ \dfrac{1+\sqrt x}{2}\le m$ .

b. Déterminer la négation de $\forall a\in\mathbb R,\ \exists b\in\mathbb R,\ a^2+b^2=1$ .

2

Exercice 2 · Raisonnement par contraposée

1 démonstration

Montrer que $\forall(a,b)\in[2,+\infty[^2,\ a\neq b\Rightarrow\sqrt{1-\dfrac4{a^2}}\neq\sqrt{1-\dfrac4{b^2}}$ .

3

Exercice 3 · Raisonnement direct — somme de termes positifs

1 démonstration

Montrer que $\forall x\ge1,\ \forall y\ge1$ , $x^2+y^2+xy-x-y-1=0\Rightarrow x=y=1$ .

4

Exercice 4 · Raisonnement par récurrence

1 démonstration

Soit $h$ définie sur $\mathbb N$ par $h(0)=3$ et $h(n+1)=2h(n)+5$ . Montrer par récurrence que $\forall n\in\mathbb N,\ h(n)=2^{n+3}-5$ .

5

Exercice 5 · Une inégalité par chaîne d'AM-GM

1 démonstration

Montrer que $\forall(a,b)\in(\mathbb R_+^*)^2,\ \dfrac{a^2+1}{b}+\dfrac{b^2+1}{a}\ge4$ .

6

Exercice 6 · Résoudre une équation par injectivité

1 démonstration + 1 résolution

a. Montrer que $\forall x\in\mathbb R^+,\ \forall y\in\mathbb R^+,\ \big(\sqrt{x+1}-\sqrt x=\sqrt{y+1}-\sqrt y\big)\Rightarrow x=y$ .

b. En déduire la résolution dans $\mathbb R^+$ de $\sqrt{x+1}+\sqrt5=\sqrt6+\sqrt x$ .