1ère Bac Sciences Math · Semestre 1

Limites d'une fonction

La définition rigoureuse (ε-α) derrière l'intuition, et les techniques qui lèvent toutes les formes indéterminées : factorisation, quantité conjuguée, termes dominants, limites trigonométriques.

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limites trigonométriques

exercices corrigés

100%

corrigé

\lim_{x\to a}f(x)

01 · Rendre l'intuition rigoureuse

Définition formelle de la limite

Derrière « f(x) se rapproche de l se sert une formule précise avec ε et α — c'est elle qui permet de tout démontrer.

Limite finie en un point

Définition (ε-α)

Soit $f$ définie sur un intervalle pointé de centre $a$ , et $\ell\in\mathbb R$ . On dit que $f$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $a$ si :

(\forall\varepsilon>0)(\exists\alpha>0)(\forall x\in D_f)\big(0<|x-a|<\alpha\Rightarrow|f(x)-\ell|<\varepsilon\big)

On note $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell$ . (Cela équivaut à $\displaystyle\lim_{x\to a}\big(f(x)-\ell\big)=0$ .)

Propriétés utiles pour démontrer une limite

Si $|f(x)-\ell|\le u(x)$ au voisinage de $a$ et $\lim_{x\to a}u(x)=0$ , alors $\lim_{x\to a}f(x)=\ell$ .
Théorème des gendarmes : si $g(x)\le f(x)\le h(x)$ et $\lim g=\lim h=\ell$ au voisinage de $a$ , alors $\lim_{x\to a}f(x)=\ell$ .
Si $f$ admet une limite en $a$ , cette limite est unique.

Limite à droite / à gauche

\lim_{x\to a}f(x)=\ell\iff\lim_{x\to a^+}f(x)=\ell\ \text{et}\ \lim_{x\to a^-}f(x)=\ell

Limite infinie, limite à l'infini

Les quatre autres cas (schéma commun)

Chaque cas remplace la condition $|x-a|<\alpha$ ou $|f(x)-\ell|<\varepsilon$ par sa version « infinie » :

\lim_{x\to a}f(x)=+\infty\iff(\forall A>0)(\exists\alpha>0)(0<|x-a|<\alpha\Rightarrow f(x)>A)

\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\iff(\forall\varepsilon>0)(\exists B>0)(x>B\Rightarrow|f(x)-\ell|<\varepsilon)

\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\iff(\forall A>0)(\exists B>0)(x>B\Rightarrow f(x)>A)

(Et de même pour $-\infty$ , en adaptant les inégalités.)

02 · L'interprétation géométrique

Asymptotes verticale et horizontale

Chaque type de limite infinie ou à l'infini se lit directement sur la courbe.

III

Définitions

Asymptote verticale

Si $\lim_{x\to a^+}f(x)$ ou $\lim_{x\to a^-}f(x)$ vaut $\pm\infty$ , alors $x=a$ est asymptote verticale à $C_f$ .

Asymptote horizontale

Si $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell$ ou $\lim_{x\to-\infty}f(x)=\ell$ , alors $y=\ell$ est asymptote horizontale à $C_f$ .

Position de la courbe par rapport à l'asymptote horizontale

Le signe de

f(x)-\ell

donne la position : positif →

C_f

au-dessus, négatif → en dessous.

03 · Le tableau à retenir

Opérations sur les limites, formes indéterminées

Somme, produit, quotient se comportent presque toujours comme prévu — sauf dans quatre cas, les formes indéterminées, qu'il faut toujours lever par le calcul.

Les quatre formes indéterminées

À repérer immédiatement

$\infty-\infty$

$0\times\infty$

$\dfrac{\infty}{\infty}$

$\dfrac00$

Dans ces quatre cas, on ne peut rien conclure directement : il faut transformer l'expression (factoriser, mettre le terme dominant en facteur, multiplier par la quantité conjuguée…) avant de reprendre la limite.

Le reste des cas se traite sans ambiguïté

Par exemple $\ell+\infty=+\infty$ , $\ell\times(+\infty)=+\infty$ si $\ell>0$ , $\dfrac{\ell}{0^+}=+\infty$ si $\ell>0$ , etc. — ces règles se retrouvent en revenant à l'intuition (« un nombre fini plus l'infini reste infini »).

04 · Deux familles à connaître par cœur

Polynômes/fractions rationnelles à l'infini, limites trigonométriques

Un raccourci pour les polynômes et fractions rationnelles, et trois limites fondamentales prouvées géométriquement à partir des aires sur le cercle trigonométrique.

Limites en ±∞ d'un polynôme ou d'une fraction rationnelle

La règle du terme dominant

En $\pm\infty$ , la limite d'une fonction polynôme est celle de son terme de plus haut degré, et la limite d'une fraction rationnelle est celle du rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

\lim_{x\to+\infty}\big(a_nx^n+\cdots+a_0\big)=\lim_{x\to+\infty}a_nx^n

\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{a_nx^n+\cdots}{b_mx^m+\cdots}=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{a_nx^n}{b_mx^m}

Exemple

\lim_{x\to+\infty}\dfrac{7x^3+2x^2+8}{3x^4+2x^2-5x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{7x^3}{3x^4}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{7}{3x}=0

Limites trigonométriques fondamentales

Idée de la preuve géométrique

Pour $x\in\left]0,\dfrac\pi2\right[$ , en comparant les aires du triangle $OAB$ , du secteur circulaire, et du triangle $OAT$ (tangente en $A$ ) on obtient $\sin x\le x\le\tan x$ , d'où $|\sin x|\le|x|\le|\tan x|$ sur $\left]-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right[$ . Le théorème des gendarmes donne ensuite les trois limites.

Les trois limites à connaître par cœur

\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac12

VII

Introduction à la continuité

Définition

$f$ est continue en $a$ si elle admet en $a$ une limite finie égale à $f(a)$ :

f\text{ continue en }a\iff\lim_{x\to a}f(x)=f(a)

Toute fonction polynôme est continue partout ; toute fonction rationnelle est continue en tout point de son domaine ; $\sin$ et $\cos$ sont continues partout.

05 · À toi de jouer

Exercices · Limites d'une fonction

6 exercices corrigés couvrant les formes indéterminées 0/0, la quantité conjuguée, les fractions rationnelles à l'infini, les limites trigonométriques, un raccord de limites, et la forme ∞−∞.

0 / 6 vérifiés

Exercice 1 · Forme 0/0 par factorisation

1 calcul

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x^2-3x+2}$ .

Exercice 2 · Forme 0/0 par la quantité conjuguée

1 calcul

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}$ .

Exercice 3 · Fraction rationnelle à l'infini

1 calcul

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^3+2x^2+8}{2x^4+5x}$ .

Exercice 4 · Limite trigonométrique

1 calcul

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin5x}{\tan3x}$ .

Exercice 5 · Raccord de limites (fonction définie par morceaux)

1 démonstration

Soit $g(x)=2x^2-x+3$ si $x\ge1$ , et $g(x)=-x^2+x+\alpha$ si $x<1$ . Déterminer $\alpha$ pour que $g$ admette une limite en $1$ .

Exercice 6 · Forme ∞ − ∞ par la quantité conjuguée

1 calcul

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(\sqrt{x^2+x}-x\big)$ .

Limites d'une fonction · Mathématiques, 1ère année Baccalauréat Sciences Math, semestre 1.