Généralités sur les fonctions · Cours et exercices | 1ère Bac Sciences Math

01 · Ce qu'on suppose déjà connu

Parité, monotonie, extremums absolus et relatifs

La base sur laquelle s'appuient tous les outils plus fins de ce chapitre.

I

Parité et domaine d'étude

Fonction paire

\begin{gathered}\forall x\in D_f,\ -x\in D_f\\\forall x\in D_f,\ f(-x)=f(x)\end{gathered}

Fonction impaire

\begin{gathered}\forall x\in D_f,\ -x\in D_f\\\forall x\in D_f,\ f(-x)=-f(x)\end{gathered}

Domaine d'étude

Si $D_f=I\cup I'$ avec $I,I'$ symétriques par rapport à $0$ , et si $f$ est paire ou impaire, il suffit d'étudier $f$ sur $D_E=D_f\cap\mathbb R_+$ (le domaine d'étude) : si $f$ est paire, les variations sur $I'$ sont opposées à celles sur $I$ ; si $f$ est impaire, elles sont les mêmes.

II

Monotonie et extremums absolus

Monotonie sur un intervalle I

\begin{gathered}f\text{ croissante sur }I\iff\big(\forall x,x'\in I,\ x<x'\Rightarrow f(x)\le f(x')\big)\\f\text{ décroissante sur }I\iff\big(\forall x,x'\in I,\ x<x'\Rightarrow f(x)\ge f(x')\big)\end{gathered}

Extremum absolu en x₀

$f(x_0)$ est un maximum absolu ssi $\forall x\in D_f,\ f(x)\le f(x_0)$ — et de même pour un minimum absolu avec $\ge$ .

02 · Trois outils nouveaux

Extremum relatif, taux d'accroissement, fonction périodique

Le taux d'accroissement donne un critère de monotonie extrêmement pratique — il reviendra constamment en dérivation.

III

Extremum relatif

Définition

$f(x_0)$ est un maximum relatif de $f$ s'il existe un intervalle ouvert $I_{x_0}\subset D_f$ centré en $x_0$ tel que $\forall x\in I_{x_0},\ f(x)\le f(x_0)$ (et de même pour un minimum relatif, avec $\ge$ ).

IV

Taux d'accroissement

Définition

Pour $x\neq x'$ dans $I$ , le taux d'accroissement de $f$ entre $x$ et $x'$ est :

T_f(x,x')=\dfrac{f(x)-f(x')}{x-x'}

Le critère de monotonie par le taux d'accroissement

$T_f\ge0$ sur $I$ $\iff$ $f$ croissante sur $I$ ( $T_f>0\iff$ strictement croissante).

$T_f\le0$ sur $I$ $\iff$ $f$ décroissante sur $I$ ( $T_f<0\iff$ strictement décroissante).

V

Fonction périodique

Définition

$f$ est périodique de période $T>0$ sur $D_f$ ssi :

\begin{gathered}(\forall x\in D_f)\ x+T\in D_f\ \text{et}\ x-T\in D_f\\(\forall x\in D_f)\ f(x+T)=f(x)\end{gathered}

( $T$ est le plus petit réel strictement positif vérifiant cette égalité.)

Construire la courbe

Une fois

C_0

tracée sur un intervalle de longueur

T

, toute la courbe s'obtient par translations de vecteurs

kT\vec\imath

(

k\in\mathbb Z

). Exemples classiques :

\sin,\cos

ont pour période

2\pi

,

\tan

a pour période

\pi

.

03 · Encadrer une fonction

Fonction majorée, minorée, bornée

Trois définitions simples, mais qui reviendront dans presque tous les chapitres futurs (limites, suites...).

VI

Définitions

Sur un intervalle I

$f$ majorée par $M$ sur $I$ : $\forall x\in I,\ f(x)\le M$ .
$f$ minorée par $m$ sur $I$ : $\forall x\in I,\ m\le f(x)$ .
$f$ bornée sur $I$ : majorée et minorée.

Formulation équivalente avec la valeur absolue

f\ \text{bornée sur}\ I\iff \exists A\in\mathbb R_+,\ \forall x\in I,\ |f(x)|\le A

04 · Comparer, combiner, composer

Comparaison, composée, et leurs monotonies

La règle « même sens ⇒ croissante, sens opposés ⇒ décroissante » pour g∘f est l'un des outils les plus utilisés de l'année.

VII

Comparer deux fonctions

Définitions

Pour $f,g$ définies sur $I$ :

$f\le g$ sur $I$ : $\forall x\in I,\ f(x)\le g(x)$ ( $C_f$ en dessous de $C_g$ ).
$f>g$ sur $I$ : $\forall x\in I,\ f(x)>g(x)$ ( $C_f$ strictement au-dessus de $C_g$ ).

VIII

Composée de deux fonctions

Définition

Pour $f$ et $g$ avec $f(D_f)\subset D_g$ , la composée $g\circ f$ est définie sur $D_{g\circ f}=\{x\in D_f\ /\ f(x)\in D_g\}$ par :

(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)

IX

Monotonie de f+c, c·f, g∘f

Trois règles à retenir

$f$ et $f+c$ ( $c\in\mathbb R$ ) ont toujours le même sens de variation sur $I$ .
Si $c>0$ , $f$ et $c\cdot f$ ont le même sens ; si $c<0$ , elles ont des sens opposés.
Si $f$ et $g$ ont même monotonie (avec $f(D_f)\subset D_g$ ), $g\circ f$ est croissante. Si leurs monotonies sont opposées, $g\circ f$ est décroissante.

05 · Trois modèles à connaître par cœur

Trinôme, fonction homographique, partie entière

Ces trois familles reviendront sans cesse — leurs éléments caractéristiques doivent être automatiques.

X

Trinôme f(x) = ax² + bx + c

Forme canonique et sommet

f(x)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+f\!\left(-\dfrac{b}{2a}\right)

La courbe est une parabole de sommet $S\!\left(-\dfrac{b}{2a},f\!\left(-\dfrac b{2a}\right)\right)$ , d'axe de symétrie $x=-\dfrac b{2a}$ .

Le sens de la parabole

Si $a>0$ : parabole orientée vers le haut, $f\!\left(-\dfrac b{2a}\right)$ est le minimum absolu. Si $a<0$ : orientée vers le bas, maximum absolu.

XI

Fonction homographique

Éléments caractéristiques

Pour $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ ( $c\neq0$ ), on pose $\Delta=ad-bc$ . La courbe est une hyperbole :

centre de symétrie $\Omega\!\left(-\dfrac dc,\dfrac ac\right)$ ,
asymptote verticale $x=-\dfrac dc$ , asymptote horizontale $y=\dfrac ac$ ,
$\Delta>0\Rightarrow f$ strictement croissante sur chaque intervalle de $D_f$ ; $\Delta<0\Rightarrow f$ strictement décroissante.

XII

Fonction partie entière

Définition

$E(x)$ (ou $[x]$ ) est l'unique entier $p$ tel que $p\le x<p+1$ .

Propriétés à retenir

$E(x)\le x<E(x)+1$

$x-1<E(x)\le x$

$\forall k\in\mathbb Z,\ E(x+k)=E(x)+k$

$x\in\mathbb Z\iff E(x)=x$

06 · À toi de jouer

Exercices · Généralités sur les fonctions

6 exercices corrigés au niveau Sciences Math : taux d'accroissement, extremum, inégalité par AM-GM, fonction homographique, fonction minorée, monotonie de g∘f, et partie entière.

0 / 6 vérifiés

1

Exercice 1 · Taux d'accroissement et extremum

1 étude complète

Soit $m>0$ et $f_m$ définie sur $\mathbb R_+^*$ par $f_m(x)=x+\dfrac mx$ . $f_m$ est-elle impaire ? Calculer $T_{f_m}(x,y)$ , étudier ses variations sur $]0,\sqrt m[$ et $]\sqrt m,+\infty[$ , et en déduire son extremum.

2

Exercice 2 · Inégalité par la technique AM-GM

1 démonstration

Soient $a,b,c\in\mathbb R_+^*$ . Montrer que $\dfrac{a^2}b+\dfrac{b^2}c+\dfrac{c^2}a\ge a+b+c$ .

3

Exercice 3 · Fonction homographique

1 étude complète

Soit $f(x)=\dfrac{2x-1}{x-1}$ . Déterminer les éléments caractéristiques de la courbe de $f$ (centre de symétrie, asymptotes) et son sens de variation.

4

Exercice 4 · Fonction minorée

1 étude

Soit $f(x)=x+4-2\sqrt{x+2}$ . Déterminer $D_f$ , montrer que $f$ est minorée par $1$ , puis résoudre $f(x)=1$ .

5

Exercice 5 · Monotonie d'une composée g∘f

1 étude

Soient $f(x)=|x|+5$ et $g(x)=x^2$ . Étudier la monotonie de $g\circ f$ sur $\mathbb R_-$ puis sur $\mathbb R_+$ .

6

Exercice 6 · Fonction partie entière

1 calcul

Soit $f(x)=2x-E(x)$ . Pour $k\in\mathbb Z$ et $x\in I_k=[k,k+1[$ , exprimer $f(x)$ en fonction de $x$ et $k$ , puis donner les valeurs prises par $f$ aux bornes de $I_k$ .