1ère Bac Sciences Math · Semestre 1

Ensembles et applications

Le vocabulaire précis des fonctions : image directe, image réciproque, injectivité, surjectivité, bijectivité et composée — la base de toute l'étude de fonctions à venir.

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3

injective / surjective / bijective

6

exercices corrigés

100%

corrigé

01 · Le vocabulaire précis

Application : définition et égalité

Toute fonction est une application ; le vocabulaire (antécédent, image, ensemble de départ/d'arrivée) sert pour tout le reste du chapitre.
I

Application

Définition

Soient EE et FF deux ensembles non vides. Une application ff de EE vers FF associe à chaque élément xx de EE un unique élément y=f(x)y=f(x) de FF. On note :

f:E→Fx↦f(x)\begin{gathered}f:E\to F\\x\mapsto f(x)\end{gathered}

EE est l'ensemble de départ, FF l'ensemble d'arrivée, xx l'antécédent, y=f(x)y=f(x) l'image.

Égalité de deux applications

f=g  ⟺  (E=E′)∧(F=F′)∧(∀x∈E, f(x)=g(x))f=g\iff \big(E=E'\big)\wedge\big(F=F'\big)\wedge\big(\forall x\in E,\ f(x)=g(x)\big)

02 · Transporter des sous-ensembles

Image directe et image réciproque

Deux opérations qui transportent un sous-ensemble d'un côté à l'autre de l'application, avec des propriétés à connaître par cœur.
II

Définitions

Image directe

Pour A⊂EA\subset E :

f(A)={f(x) / x∈A}⊂Ff(A)=\{f(x)\ /\ x\in A\}\subset F

y∈f(A)  ⟺  ∃x∈A, y=f(x)y\in f(A)\iff \exists x\in A,\ y=f(x).

Image réciproque

Pour B⊂FB\subset F :

f−1(B)={x∈E / f(x)∈B}⊂Ef^{-1}(B)=\{x\in E\ /\ f(x)\in B\}\subset E

x∈f−1(B)  ⟺  f(x)∈Bx\in f^{-1}(B)\iff f(x)\in B.

III

Propriétés (à connaître par cœur)

Six propriétés

A⊂B⇒f(A)⊂f(B)A\subset B\Rightarrow f(A)\subset f(B)

f(A∪B)=f(A)∪f(B)f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)

f(A∩B)⊂f(A)∩f(B)f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B) (inclusion seulement — pas toujours l'égalité !)

C⊂D⇒f−1(C)⊂f−1(D)C\subset D\Rightarrow f^{-1}(C)\subset f^{-1}(D)

f−1(C∩D)=f−1(C)∩f−1(D)f^{-1}(C\cap D)=f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D)

f−1(C∪D)=f−1(C)∪f−1(D)f^{-1}(C\cup D)=f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D)

Remarque essentielle

L'image directe d'une intersection n'est en général qu'une inclusion, pas une égalité — contrairement à l'image réciproque, où les deux opérations ∪\cup et ∩\cap se comportent parfaitement.
IV

Restriction et prolongement

Restriction

Si A⊂EA\subset E, la restriction de ff à AA est l'application g:A→Fg:A\to F avec g(x)=f(x)g(x)=f(x) pour tout x∈Ax\in A.

Prolongement

Si E⊂BE\subset B, un prolongement de ff à BB est une application h:B→Fh:B\to F telle que h(x)=f(x)h(x)=f(x) pour tout x∈Ex\in E (et hh libre ailleurs sur B∖EB\setminus E).

Attention

Un prolongement n'est pas unique — il existe une infinité de façons de prolonger une application sur un ensemble plus grand.

03 · Le cœur du chapitre

Application injective, surjective, bijective

Trois propriétés qui décrivent combien d'antécédents peut avoir chaque élément de l'ensemble d'arrivée.
V

Injective, surjective

Injective — au plus un antécédent

f injective  ⟺  ∀x,x′∈E, f(x)=f(x′)⇒x=x′f\ \text{injective}\iff \forall x,x'\in E,\ f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'

Surjective — au moins un antécédent

f surjective  ⟺  ∀y∈F, ∃x∈E, y=f(x)  ⟺  f(E)=Ff\ \text{surjective}\iff \forall y\in F,\ \exists x\in E,\ y=f(x)\iff f(E)=F

En pratique : ff est surjective ssi l'équation f(x)=yf(x)=y admet au moins une solution x∈Ex\in E, pour tout y∈Fy\in F.

VI

Bijective et application réciproque

Bijective — exactement un antécédent

f bijective  ⟺  ∀y∈F, ∃! x∈E, y=f(x)  ⟺  f injective et surjectivef\ \text{bijective}\iff \forall y\in F,\ \exists!\,x\in E,\ y=f(x)\iff f\ \text{injective et surjective}

Dans ce cas, l'application f−1:F→Ef^{-1}:F\to E qui associe à chaque yy son unique antécédent est l'application réciproque de ff.

Relation fondamentale

x=f(x) (x∈E)  ⟺  f−1(y)=x (y∈F)x=f(x)\ (x\in E)\iff f^{-1}(y)=x\ (y\in F)

et f∘f−1=IdFf\circ f^{-1}=\mathrm{Id}_F, f−1∘f=IdEf^{-1}\circ f=\mathrm{Id}_E.

04 · Enchaîner deux applications

Composée de deux applications

Une opération non commutative, mais associative — elle enchaîne deux applications en une seule.
VII

Définition et propriétés

Définition

Pour f:E→Ff:E\to F et g:F→Gg:F\to G, la composée g∘f:E→Gg\circ f:E\to G est définie par :

(g∘f)(x)=g(f(x))(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)

À retenir

  • En général, f∘g≠g∘ff\circ g\neq g\circ f (non commutative).
  • (f∘g)∘h=f∘(g∘h)(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h) (associative).

05 · À toi de jouer

Exercices · Ensembles et applications

6 exercices corrigés, au niveau Sciences Math : restriction, propriétés de l'image, injectivité/surjectivité, et trois bijections classiques avec leur réciproque.

0 / 6 vérifiés

1
Exercice 1 · Restriction d'une application
1 vérification

On considère f:R→R, f(x)=∣x∣−5xf:\mathbb R\to\mathbb R,\ f(x)=|x|-5x et g:[0,+∞[→R, g(x)=−4xg:[0,+\infty[\to\mathbb R,\ g(x)=-4x. Montrer que gg est la restriction de ff sur [0,+∞[[0,+\infty[.

2
Exercice 2 · Image d'une intersection
3 questions

a. Soit f:E→Ff:E\to F, A,B⊂EA,B\subset E. Montrer que f(A∩B)⊂f(A)∩f(B)f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B).

b. Donner un exemple où l'inclusion est stricte.

c. Montrer que si ff est injective, alors f(A∩B)=f(A)∩f(B)f(A\cap B)=f(A)\cap f(B).

3
Exercice 3 · Injectivité et surjectivité
1 étude

Soit f:N×N→Nf:\mathbb N\times\mathbb N\to\mathbb N définie par f(a,b)=af(a,b)=a. ff est-elle injective ? surjective ?

4
Exercice 4 · Bijection ℝ → ]−1,1[
1 étude complète

Soit f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=x∣x∣+1f(x)=\dfrac{x}{|x|+1}. Montrer que ff est injective, puis que ff réalise une bijection de R\mathbb R vers ]−1,1[]-1,1[, et déterminer f−1f^{-1}.

5
Exercice 5 · Bijection ℝ → ℝ₊*
1 étude complète

Soit f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=x2+1−xf(x)=\sqrt{x^2+1}-x. Montrer que ff est injective, que ff réalise une bijection de R\mathbb R vers R+∗\mathbb R_+^*, et déterminer f−1f^{-1}.

6
Exercice 6 · Une application égale à sa propre réciproque
1 étude complète

Soit f:[0,2]→[0,2]f:[0,2]\to[0,2], f(x)=(2−x)2f(x)=(\sqrt2-\sqrt x)^2. Montrer que ff est bijective, calculer f∘f(x)f\circ f(x), et en déduire f−1f^{-1}.

Ensembles et applications · Mathématiques, 1ère année Baccalauréat Sciences Math, semestre 1.