1ère Bac Sciences Math · Semestre 1

Calcul trigonométrique

Les formules qui transforment n'importe quelle expression trigonométrique — et les méthodes pour résoudre toutes les équations qui en découlent.

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\cos(a+b)

01 · Les formules fondatrices

Formules d'addition et de duplication

Quatre formules d'addition (obtenues via le produit scalaire sur le cercle trigonométrique) engendrent absolument tout le reste du chapitre.

Formules d'addition

À connaître par cœur

$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$

$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$

$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$

$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$

$\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$ , $\tan(a-b)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$

Exemple

$\cos\dfrac{7\pi}{12}=\cos\!\left(\dfrac\pi4+\dfrac\pi3\right)=\cos\dfrac\pi4\cos\dfrac\pi3-\sin\dfrac\pi4\sin\dfrac\pi3=\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}4$

Formules de duplication (a = b)

Propriétés

\sin2a=2\sin a\cos a

\cos2a=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a

\tan2a=\dfrac{2\tan a}{1-\tan^2a}

Les formules de linéarisation

\cos^2a=\dfrac{1+\cos2a}2,\qquad \sin^2a=\dfrac{1-\cos2a}2

02 · Deux directions de transformation

Transformations somme ↔ produit

Les formules d'addition, combinées deux à deux, transforment un produit en somme — et réciproquement, une somme en produit.

III

Les deux tableaux à connaître

Somme → produit

$\cos a+\cos b=2\cos\dfrac{a+b}2\cos\dfrac{a-b}2$

$\cos a-\cos b=-2\sin\dfrac{a+b}2\sin\dfrac{a-b}2$

$\sin a+\sin b=2\sin\dfrac{a+b}2\cos\dfrac{a-b}2$

$\sin a-\sin b=2\cos\dfrac{a+b}2\sin\dfrac{a-b}2$

Produit → somme

$\cos a\cos b=\tfrac12[\cos(a+b)+\cos(a-b)]$

$\sin a\sin b=-\tfrac12[\cos(a+b)-\cos(a-b)]$

$\sin a\cos b=\tfrac12[\sin(a+b)+\sin(a-b)]$

03 · Deux techniques puissantes

Transformation de a cos x + b sin x, substitution t = tan(x/2)

Deux outils qui ramènent une expression compliquée à une seule fonction trigonométrique — indispensables pour les équations qui mêlent sinus et cosinus.

Transformation de a cos x + b sin x

Propriété

Pour $a,b\in\mathbb R^*$ :

a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x+\varphi),\quad \sin\varphi=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\ \cos\varphi=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}

ou de manière équivalente :

a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\,\cos(x-\alpha),\quad \cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\ \sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}

Résoudre a cos x + b sin x = c

On écrit l'équation sous la forme $\sqrt{a^2+b^2}\cos(x-\alpha)=c$ . Si $\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\notin[-1,1]$ , pas de solution. Sinon, on résout $\cos(x-\alpha)=\cos\beta$ comme une équation classique.

La substitution t = tan(x/2)

Formules

Pour $x\neq\pi+2k\pi$ , en posant $t=\tan\dfrac x2$ :

\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2},\qquad \sin x=\dfrac{2t}{1+t^2},\qquad \tan x=\dfrac{2t}{1-t^2}

Quand l'utiliser

Cette substitution ramène toute équation en

\sin x,\cos x

à une équation polynomiale en $t$ — particulièrement utile pour calculer

\tan

d'un angle non standard.

04 · Rappel indispensable

Équations trigonométriques de base

Trois formes à résoudre automatiquement — elles reviennent dans presque tous les exercices du chapitre.

cos x = a, sin x = a, tan x = a

Propriétés

Pour $a\in[-1,1]$ , on cherche $\alpha$ tel que $a=\cos\alpha$ (resp. $\sin\alpha$ ) :

\cos x=a\iff\cos x=\cos\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\ \text{ou}\ x=-\alpha+2k\pi

\sin x=a\iff\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\ \text{ou}\ x=\pi-\alpha+2k\pi

\tan x=a\iff\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi

(Si $a\notin[-1,1]$ , les équations $\cos x=a$ et $\sin x=a$ n'ont pas de solution.)

05 · À toi de jouer

Exercices · Calcul trigonométrique

6 exercices corrigés couvrant addition, la substitution t=tan(x/2), équations, transformation a cos x + b sin x, et somme-produit.

0 / 6 vérifiés

Exercice 1 · Formule d'addition

1 calcul

Calculer $\sin\dfrac{5\pi}{12}$ .

Exercice 2 · Calcul par la substitution t = tan(x/2)

1 calcul

Calculer $\tan\dfrac\pi{12}$ en utilisant $t=\tan\dfrac\pi{12}$ et la formule de $\sin\dfrac\pi6$ .

Exercice 3 · Équation trigonométrique à argument linéaire

1 résolution

Résoudre dans $[0,2\pi[$ l'équation $\cos\!\left(2x-\dfrac\pi3\right)=\dfrac12$ .

Exercice 4 · Transformation et résolution de a cos x + b sin x = c

1 transformation + 1 résolution

a. Écrire $\sqrt3\sin x+\cos x$ sous la forme $R\sin(x+\varphi)$ .

b. Résoudre $\sqrt3\sin x+\cos x=1$ dans $\mathbb R$ .

Exercice 5 · Somme → produit

1 calcul

Calculer $\cos\dfrac{5\pi}{12}+\cos\dfrac\pi{12}$ .

Exercice 6 · Méthode complète a cos x + b sin x = c

1 résolution

Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $\cos x+\sqrt3\sin x=\sqrt2$ .

Calcul trigonométrique · Mathématiques, 1ère année Baccalauréat Sciences Math, semestre 1.