1ère Bac Sciences Math · Semestre 1

Barycentre dans le plan

Le point d'équilibre d'un système de points pondérés — et l'outil d'associativité qui transforme presque tout problème de points alignés ou de droites concourantes.

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propriétés clés

exercices corrigés

100%

corrigé

a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}=\vec0

01 · Le point d'équilibre de deux points

Barycentre de deux points pondérés

Un point unique défini par une relation vectorielle — dont les propriétés le rendent immédiatement utile pour caractériser des ensembles de points.

Définition et existence

Vocabulaire

Dans $a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}=\vec0$ , $a$ est le poids de $A$ , le couple $(A,a)$ un point pondéré, et $\{(A,a),(B,b)\}$ un système pondéré.

Théorème d'existence et unicité

Si $A\neq B$ et $a+b\neq0$ , il existe un unique point $G$ , le barycentre de $\{(A,a),(B,b)\}$ , tel que :

a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}=\vec0,\qquad \overrightarrow{AG}=\dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}

(Si $a=b\neq0$ , $G$ est l'isobarycentre, le milieu de $[AB]$ .)

Trois propriétés fondamentales

1. Invariance

Le barycentre ne change pas si on multiplie tous les poids par un même réel

k\neq0

\{(A,a),(B,b)\}

\{(A,ka),(B,kb)\}

ont le même barycentre.

2. Propriété caractéristique

$G$ est barycentre de $\{(A,a),(B,b)\}$ (avec $a+b\neq0$ ) ssi, pour tout point $M$ :

a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}=(a+b)\overrightarrow{MG}

C'est l'outil le plus utilisé du chapitre : il transforme une combinaison de vecteurs en un multiple d'un seul vecteur $\overrightarrow{MG}$ .

3. Coordonnées

Dans un repère, pour $A(x_A,y_A)$ , $B(x_B,y_B)$ :

x_G=\dfrac{ax_A+bx_B}{a+b},\qquad y_G=\dfrac{ay_A+by_B}{a+b}

02 · L'outil qui débloque presque tout

Barycentre de trois points pondérés — associativité

La propriété d'associativité (barycentre partiel) permet de ramener un système à trois points à une simple combinaison de deux points, en cascade.

III

Définition et propriétés

Définition

Si $a+b+c\neq0$ , il existe un unique $G$ tel que $a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}=\vec0$ — barycentre de $\{(A,a),(B,b),(C,c)\}$ . Si $a=b=c\neq0$ , $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$ .

Propriété caractéristique (identique au cas à deux points)

G=\mathrm{Bar}\{(A,a),(B,b),(C,c)\}\iff a+b+c\neq0\ \text{et}\ \forall M,\ a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}+c\overrightarrow{MC}=(a+b+c)\overrightarrow{MG}

Associativité — le barycentre partiel

Le théorème clé

Le barycentre ne change pas si on remplace deux des points du système par leur barycentre partiel, affecté de la somme de leurs poids : si $G_2=\mathrm{Bar}\{(A,a),(B,b)\}$ (avec $a+b\neq0$ ) et $G=\mathrm{Bar}\{(A,a),(B,b),(C,c)\}$ , alors :

G=\mathrm{Bar}\{(G_2,a+b),(C,c)\}

Exemple de référence — le centre de gravité

$G$ centre de gravité de $ABC$ (isobarycentre), $A'$ milieu de $[BC]$ : comme $A'=\mathrm{Bar}\{(B,1),(C,1)\}$ , l'associativité donne $G=\mathrm{Bar}\{(A,1),(A',2)\}$ , d'où :

\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{1+2}\overrightarrow{AA'}=\dfrac23\overrightarrow{AA'}

— la propriété classique du centre de gravité, retrouvée en une ligne.

03 · Généraliser sans effort

Barycentre de quatre points pondérés

Toutes les propriétés se généralisent sans surprise — seule la formule des coordonnées s'allonge d'un terme.

Définition, coordonnées, associativité

Définition et coordonnées

Si $a+b+c+d\neq0$ , il existe un unique $G=\mathrm{Bar}\{(A,a),(B,b),(C,c),(D,d)\}$ vérifiant $a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}+d\overrightarrow{GD}=\vec0$ , avec :

x_G=\dfrac{ax_A+bx_B+cx_C+dx_D}{a+b+c+d},\qquad y_G=\dfrac{ay_A+by_B+cy_C+dy_D}{a+b+c+d}

Associativité, encore et toujours

On peut remplacer deux ou trois points du système par leur barycentre partiel (affecté de la somme de leurs poids) — exactement comme pour trois points. C'est ce qui permet de démontrer des alignements et des concours de droites en cascade.

04 · À toi de jouer

Exercices · Barycentre dans le plan

6 exercices corrigés couvrant coordonnées, propriété caractéristique, associativité et alignement — le cœur des techniques du chapitre.

0 / 6 vérifiés

Exercice 1 · Coordonnées d'un barycentre

1 calcul

Dans un repère, soient $A(3,2)$ et $B(4,1)$ . Déterminer les coordonnées de $G=\mathrm{Bar}\{(A,1),(B,-5)\}$ .

Exercice 2 · Propriété caractéristique et cercle

1 démonstration

Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\|=6$ .

Exercice 3 · Centre de gravité et associativité

1 démonstration

$ABC$ un triangle, $G$ son centre de gravité, $I$ le milieu de $[BC]$ . Montrer que $G$ est le barycentre de $\{(A,1),(I,2)\}$ .

Exercice 4 · Identifier un barycentre à partir d'une relation vectorielle

1 démonstration

$ABC$ un triangle et $G$ un point tel que $2\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{GB}$ . Montrer que $G=\mathrm{Bar}\{(A,1),(B,1),(C,2)\}$ .

Exercice 5 · Barycentre de quatre points pondérés

1 calcul

Dans un repère, soient $A(-1,1)$ , $B(0,2)$ , $C(1,-1)$ , $D(1,0)$ . Déterminer les coordonnées du barycentre de $\{(A,2),(B,3),(C,1),(D,-1)\}$ .

Exercice 6 · Alignement de trois points par barycentre

1 démonstration

$ABC$ un triangle, $I$ tel que $\overrightarrow{AI}=\dfrac23\overrightarrow{AB}$ , $J$ le milieu de $[BC]$ , $K$ le symétrique de $A$ par rapport à $C$ . Montrer que $I,J,K$ sont alignés.

Barycentre dans le plan · Mathématiques, 1ère année Baccalauréat Sciences Math, semestre 1.