Les limites d'une fonction · Cours et exercices | 1ère Bac Sciences

01 · Ce qui se passe très loin

Limites en +∞ et en −∞

On distingue les limites infinies (f(x) explose) des limites finies (f(x) se stabilise près d'une valeur).

I

Limite infinie en ±∞

Définitions

Si

f(x)

tend vers

+\infty

(ou

-\infty

) quand

x

tend vers

+\infty

, on écrit

\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

(ou

-\infty

) — et de même en

-\infty

.

Limites usuelles (n entier naturel non nul, k réel)

$\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty$ , $\lim_{x\to+\infty}\sqrt x=+\infty$

$\lim_{x\to-\infty}x^{2n}=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty}x^{2n+1}=-\infty$ (pair vs impair)

$\lim_{x\to\pm\infty}k\cdot x^n$ : signe de $+\infty$ si $k>0$ , de $-\infty$ si $k<0$ (attention au signe de $x^n$ en $-\infty$ ).

II

Limite finie en ±∞

Définitions et méthode

\lim_{x\to+\infty}f(x)=l \iff \lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-l\big)=0

(idem en

-\infty

).

Limites usuelles

\lim_{x\to+\infty}\dfrac{k}{x^n}=0

,

\lim_{x\to-\infty}\dfrac{k}{x^n}=0

,

\lim_{x\to+\infty}\dfrac{k}{\sqrt x}=0

.

Application

\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2x^3+x}{x^3}=\lim_{x\to-\infty}\left(2+\dfrac{1}{x^2}\right)=2

02 · Ce qui se passe tout près d'un point

Limite finie et infinie en un point, limites latérales

En un point a, une limite peut être finie, infinie, ou même ne pas exister si les limites à gauche et à droite diffèrent.

III

Limite finie en un point, unicité

Définition et propriété

Si

f(x)\to l

quand

x\to a

, on écrit

\lim_{x\to a}f(x)=l

. Si elle existe, cette limite est unique.

Méthode pratique — on remplace x par a

Si $f(a)$ est bien défini : $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ .
Si on obtient $\dfrac00$ , il faut factoriser par $(x-a)$ ou multiplier par le conjugué.
Les formes indéterminées à retenir : $\dfrac00,\ \dfrac{\infty}{\infty},\ 0\times\infty,\ \infty-\infty$ .

IV

Limite infinie, limites à gauche et à droite

Limite infinie en a

\lim_{x\to a}f(x)=+\infty

(ou

-\infty

) si

f(x)

tend vers

+\infty

(ou

-\infty

) quand

x\to a

.

Limites à gauche / à droite

\lim_{x\to a^+}f(x)

(limite quand

x\to a

avec

x>a

) et

\lim_{x\to a^-}f(x)

(avec

x<a

).

Le lien entre les deux — la propriété la plus utile pour les fonctions par morceaux

\lim_{x\to a}f(x)=l \iff \lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^-}f(x)=l

Limites usuelles en 0

$\lim_{x\to0^+}\dfrac1x=+\infty$ , $\lim_{x\to0^-}\dfrac1x=-\infty$

$\lim_{x\to0^+}\dfrac{1}{\sqrt x}=+\infty$ , $\lim_{x\to0^+}\dfrac1{x^n}=+\infty$

$\lim_{x\to0^-}\dfrac1{x^n}$ vaut $+\infty$ si $n$ est pair, $-\infty$ si $n$ est impair.

03 · Combiner et comparer

Opérations sur les limites, limites et ordre

Les résultats se combinent presque toujours naturellement — sauf dans quatre cas de forme indéterminée (F.I.) qu'il faut lever avant de conclure.

V

Somme, produit, quotient

Les quatre formes indéterminées

Une somme $(+\infty)+(-\infty)$ , un produit $0\times(\pm\infty)$ , un quotient $\dfrac{\pm\infty}{\pm\infty}$ ou $\dfrac00$ sont des F.I. : le résultat dépend de la fonction précise, il faut transformer l'écriture (factoriser, mettre le terme dominant en facteur, multiplier par le conjugué…) avant de conclure.

lim f	$l$	$l>0$	$l<0$	$+\infty$	$0$
lim g	$l'$	$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$	$\pm\infty$
lim (f×g)	$l\times l'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	F.I.

(extrait du tableau du produit — le cours complet couvre aussi la somme et le quotient, avec la même logique : tout se combine sauf les quatre cas F.I. ci-dessus.)

VI

Fonctions polynômes et rationnelles

Deux résultats à retenir par cœur

En un point $a$ : $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ pour une fonction polynôme, et $\lim_{x\to a}\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{P(a)}{Q(a)}$ pour une fonction rationnelle (si $Q(a)\neq0$ ).
En $\pm\infty$ : la limite d'un polynôme est celle de son terme de plus haut degré ; la limite d'une fraction rationnelle est celle du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

Exemple

\lim_{x\to-\infty}5x^2+3x-4=\lim_{x\to-\infty}5x^2=+\infty

VII

Limites et ordre — les théorèmes de comparaison

Trois théorèmes indispensables

Si $f(x)\le g(x)$ au voisinage de $a$ et $\lim_{x\to a}g(x)=-\infty$ , alors $\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$ (et symétriquement pour $+\infty$ ).
Théorème des gendarmes : si $g(x)\le f(x)\le h(x)$ au voisinage de $a$ et $\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=l$ , alors $\lim_{x\to a}f(x)=l$ .
Si $|f(x)-l|\le g(x)$ au voisinage de $a$ et $\lim_{x\to a}g(x)=0$ , alors $\lim_{x\to a}f(x)=l$ .

Exemple

Calculons $\lim_{x\to+\infty}x^2+\cos x$ . On a $-1\le\cos x\le1 \Rightarrow x^2-1\le x^2+\cos x\le x^2+1$ , et $\lim_{x\to+\infty}(x^2\pm1)=+\infty$ , donc par le théorème des gendarmes (côté minorant) : $\lim_{x\to+\infty}x^2+\cos x=+\infty$ .

04 · Trois limites de référence

Limites trigonométriques usuelles

Ces trois limites en 0 sont des résultats fondamentaux, réutilisés dans tout le calcul différentiel à venir.

VIII

sin(x)/x, tan(x)/x, (1−cos x)/x²

À connaître par cœur

$\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$

$\lim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}=1$

$\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac12$

Généralisation (a réel non nul)

\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(ax)}{ax}=1,\qquad \lim_{x\to0}\dfrac{\tan(ax)}{ax}=1,\qquad \lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos(ax)}{(ax)^2}=\dfrac12

Le piège classique — bien réécrire le rapport

Pour calculer

\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(3x)}{4x}

, on réécrit :

\dfrac{\sin(3x)}{4x}=\dfrac34\times\dfrac{\sin(3x)}{3x}\xrightarrow[x\to0]{}\dfrac34\times1=\dfrac34

05 · À toi de jouer

Exercices · Les limites d'une fonction

6 exercices corrigés, calqués sur les techniques essentielles du cours.

0 / 6 vérifiés

1

Exercice 1 · Limites en un point avec signe (gauche/droite)

1 fonction, 2 points

Déterminer les limites à gauche et à droite de $f(x)=\dfrac{x}{(x+1)(x-2)}$ en $x=2$ et en $x=-1$ .

2

Exercice 2 · Forme 0/0 par factorisation

1 limite

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-x-2}{x-2}$ .

3

Exercice 3 · Forme ∞−∞ par le conjugué

1 limite

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x+3}-\sqrt x$ .

4

Exercice 4 · Théorème des gendarmes par encadrement

1 étude complète

Soit $f$ définie sur $D=[0,+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x+2}-\sqrt x$ .

a. Montrer que $f(x)=\dfrac{2}{\sqrt{x+2}+\sqrt x}$ .

b. Montrer que, pour $x>0$ : $0\le f(x)\le\dfrac{2}{\sqrt x}$ , et en déduire $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ .

5

Exercice 5 · Limite trigonométrique en 0

1 limite

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(5x)}{2x}$ .

6

Exercice 6 · Trouver une asymptote oblique

1 étude

Montrer que la droite d'équation $y=2x$ est asymptote à la courbe de $f(x)=x+\sqrt{x^2-1}$ quand $x\to+\infty$ .