1ère Bac Sciences · Semestre 1

Le produit scalaire et ses applications

L'outil analytique qui transforme la géométrie plane en calcul : orthogonalité, angles, droites définies par un vecteur normal, et l'étude complète du cercle.

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objets étudiés

exercices corrigés

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corrigé

01 · Calculer avec des coordonnées

Expression analytique du produit scalaire

Le plan est toujours muni d'un repère orthonormé (O, i, j) dans tout ce chapitre.

Produit scalaire, norme, distance

Produit scalaire

\vec u(x,y)

\vec v(x',y')

alors

\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'

Norme

\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}

Distance entre deux points

AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Orthogonalité, cosinus et sinus

Orthogonalité

\vec u(x,y)

\vec v(x',y')

sont orthogonaux ssi

\vec u\cdot\vec v=0

, c'est-à-dire

xx'+yy'=0

Cosinus et sinus d'un couple de vecteurs

Pour

\vec u,\vec v

non nuls :

\cos(\vec u,\vec v)=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}=\dfrac{xx'+yy'}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{x'^2+y'^2}}

\sin(\vec u,\vec v)=\dfrac{\det(\vec u,\vec v)}{\|\vec u\|\|\vec v\|}=\dfrac{xy'-x'y}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{x'^2+y'^2}}

Application

Soient $A(-3,-1)$ , $B(1,1)$ , $C(-5,3)$ . Montrer que $ABC$ est rectangle et isocèle en $A$ :

\overrightarrow{AB}(4,2),\quad \overrightarrow{AC}(-2,4) \Rightarrow \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\times(-2)+2\times4=0

donc $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}$ , et $AB=\sqrt{20}=AC$ : le triangle est bien rectangle et isocèle en $A$ .

02 · Une nouvelle façon de définir une droite

Droite définie par un point et un vecteur normal

Jusqu'ici une droite était définie par un vecteur directeur ; le produit scalaire en offre une seconde définition, tout aussi puissante.

III

Vecteur normal

Définition

\vec n

est un vecteur normal à

(D)

ssi

\vec n\neq\vec0

\vec n\perp\vec u

(

\vec u

vecteur directeur de

(D)

), c'est-à-dire

\vec n\cdot\vec u=0

Remarques utiles

Si $\vec n$ est normal à $(D)$ , alors tout $k\vec n$ ( $k\neq0$ ) l'est aussi.
Si $(D):ax+by+c=0$ , alors $\vec u(-b,a)$ est un vecteur directeur et $\vec n(a,b)$ un vecteur normal de $(D)$ .

Équation cartésienne, distance d'un point à une droite

Équation cartésienne

La droite passant par

A(x_A,y_A)

et de vecteur normal

\vec n(\alpha,\beta)

a pour équation :

\alpha(x-x_A)+\beta(y-y_A)=0

Distance d'un point à une droite

Pour

(D):ax+by+c=0

A(x_A,y_A)

d(A,(D))=\dfrac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

03 · La courbe des points équidistants

Étude analytique du cercle

Trois écritures pour un cercle, une position relative à connaître, et une formule de tangente à retenir.

Équation cartésienne du cercle

Forme canonique

Le cercle de centre

\Omega(a,b)

et de rayon

r>0

a pour équation :

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Cercle de diamètre [AB]

L'ensemble des points

M

tels que

\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0

est le cercle de diamètre

[AB]

, d'équation :

(x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)=0

Forme développée

L'ensemble des points vérifiant $x^2+y^2+ax+by+c=0$ (avec $a^2+b^2-4c>0$ ) est le cercle de centre $\Omega\left(-\dfrac a2,-\dfrac b2\right)$ et de rayon $r=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2-4c}}{2}$ .

Si $a^2+b^2-4c=0$ , l'ensemble est réduit à un point ; si $a^2+b^2-4c<0$ , c'est l' ensemble vide.

Position relative droite / cercle, tangente

Position relative

Pour

(D)

et un cercle de centre

\Omega

et de rayon

r

$d(\Omega,(D))<r$ : $(D)$ coupe le cercle en deux points.
$d(\Omega,(D))=r$ : $(D)$ est tangente au cercle (un seul point).
$d(\Omega,(D))>r$ : $(D)$ ne coupe pas le cercle.

Équation de la tangente en un point du cercle

Pour le cercle

x^2+y^2+ax+by+c=0

et un point

A(x_A,y_A)

du cercle, la tangente en

A

a pour équation :

xx_A+yy_A+\dfrac12a(x+x_A)+\dfrac12b(y+y_A)+c=0

04 · À toi de jouer

Exercices · Le produit scalaire et ses applications

6 exercices corrigés : angles remarquables, droites et distances, et l'étude complète du cercle.

0 / 6 vérifiés

Exercice 1 · Un triangle rectangle et l'angle π/12

1 étude complète

$A(1,1)$ , $B(1,3)$ , $C(-1,1)$ , $D(0,1+\sqrt3)$ .

a. Montrer que $ABC$ est rectangle en $A$ .

b. Calculer $\cos(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD})$ et $\sin(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD})$ , en déduire $(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD})$ .

c. En déduire les valeurs exactes de $\cos\dfrac{\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{\pi}{12}$ .

Exercice 2 · Perpendiculaire, médiatrice et distance

1 étude complète

$A(1,1)$ , $B(1,3)$ , $C(-1,1)$ .

a. Déterminer l'équation de la droite $(\Delta)$ passant par $B$ et perpendiculaire à $(AC)$ , puis celle de $(AC)$ , puis les coordonnées de $H=(\Delta)\cap(AC)$ .

b. Déterminer l'équation de $(L)$ , médiatrice de $[AB]$ , puis calculer $d(B,(L))$ .

Exercice 3 · Trois équations, trois natures différentes

3 équations

Pour chacune des équations suivantes, écrire sous la forme $(x-a)^2+(y-b)^2=c$ et en déduire la nature de l'ensemble de points associé :

a. $x^2+y^2+6x-4y+9=0$

b. $x^2+y^2-2x+6y+10=0$

c. $x^2+y^2+4x-4y+9=0$

Exercice 4 · Construire un cercle à partir des données

2 constructions

a. Donner l'équation du cercle de centre $I(1,2)$ et de rayon $3$ .

b. Donner l'équation du cercle de diamètre $[AB]$ avec $A(-2,0)$ et $B(4,0)$ .

Exercice 5 · Un cercle et ses deux tangentes

1 étude complète

$(E):\ x^2+y^2-4x+6y+3=0$ .

a. Montrer que $(E)$ est un cercle $\mathcal C$ dont on précisera le centre et le rayon.

b. Vérifier que $A(3,0)$ et $B(-1,-2)$ appartiennent à $\mathcal C$ , et donner l'équation des tangentes $(d)$ en $A$ et $(d')$ en $B$ .

c. Déterminer les coordonnées de $M=(d)\cap(d')$ .

Exercice 6 · Intersection d'une droite et d'un cercle

1 étude complète

$(d)$ a pour vecteur directeur $(1,2)$ et passe par $A(0,-1)$ . $\mathcal C$ est le cercle de centre $I(1,1)$ et de rayon $3$ .

a. Donner l'équation cartésienne de $(d)$ et de $\mathcal C$ .

b. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $(d)$ et $\mathcal C$ .

Le produit scalaire et ses applications · Mathématiques, 1ère année Baccalauréat, semestre 1.