1ère Bac Sciences · Semestre 1

Calcul trigonométrique

Toutes les formules de transformation trigonométrique réunies, et la méthode complète pour résoudre n'importe quelle équation trigonométrique du programme.

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\cos(a\!+\!b)

01 · Les formules fondatrices

Formules d'addition, de duplication, de tan(a+b)

Ces formules se démontrent avec le produit scalaire sur le cercle trigonométrique — et elles servent de base à absolument tout le reste du chapitre.

cos(a±b) et sin(a±b)

Les quatre formules d'addition

$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$

$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$

$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$

$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$

Application — calculer cos(7π/12)

\cos\dfrac{7\pi}{12}=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\dfrac{\pi}{4}\cos\dfrac{\pi}{3}-\sin\dfrac{\pi}{4}\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}

Formules de duplication et de linéarisation

Le cas a = b

$\sin2a=2\sin a\cos a$

$\cos2a=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a$

$\sin^2a=\dfrac{1-\cos2a}{2}$ et $\cos^2a=\dfrac{1+\cos2a}{2}$

Application — calculer cos(π/8)

On applique $\cos2a=2\cos^2a-1$ à $a=\dfrac\pi8$ :

\cos\dfrac{\pi}{4}=2\cos^2\dfrac{\pi}{8}-1 \Rightarrow \cos\dfrac{\pi}{8}=\sqrt{\dfrac{1+\cos\frac\pi4}{2}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}

(le signe $+$ est choisi car $0<\dfrac\pi8<\dfrac\pi2$ , donc $\cos\dfrac\pi8>0$ .)

III

Formule de tan(a+b)

Propriété

Pour $a,b,a+b,a-b\neq\dfrac\pi2+k\pi$ :

\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b},\qquad \tan(a-b)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b},\qquad \tan2a=\dfrac{2\tan a}{1-\tan^2a}

02 · Transformer une somme en produit (et vice versa)

Transformations sommes ↔ produits, et a cos x + b sin x

Ces formules découlent directement des formules d'addition — elles sont indispensables pour résoudre certaines équations et identités.

Sommes ↔ produits

Somme → produit	Produit → somme
$\cos a+\cos b=2\cos\frac{a+b}2\cos\frac{a-b}2$	$\cos a\cos b=\frac12[\cos(a+b)+\cos(a-b)]$
$\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2$	$\sin a\sin b=-\frac12[\cos(a+b)-\cos(a-b)]$
$\sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}2\cos\frac{a-b}2$	$\sin a\cos b=\frac12[\sin(a+b)+\sin(a-b)]$
$\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2$

Application

\cos\dfrac{5\pi}{12}+\cos\dfrac{\pi}{12}=2\cos\dfrac{\pi}{4}\cos\dfrac{\pi}{6}=2\times\dfrac{\sqrt2}{2}\times\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt6}{2}

Transformation de a cos x + b sin x

Propriété

Pour $a,b\in\mathbb R^*$ :

a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x+\alpha)\quad\left(\sin\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\ \cos\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)

a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\,\cos(x-\alpha)\quad\left(\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\ \sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)

Application

\sqrt3\sin2x+\cos2x=2\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\sin2x+\dfrac12\cos2x\right)=2\left(\cos\dfrac\pi6\sin2x+\sin\dfrac\pi6\cos2x\right)=2\sin\!\left(2x+\dfrac\pi6\right)

03 · Le point de tout ce chapitre

Résoudre des équations trigonométriques

Quatre formes classiques, une méthode systématique à chaque fois.

cos x = a, sin x = a, tan x = a

Méthode et solutions

Si $a\notin[-1,1]$ , les équations $\cos x=a$ et $\sin x=a$ n'ont pas de solution.
$\cos x=a=\cos\alpha \iff x=\alpha+2k\pi$ ou $x=-\alpha+2k\pi$ ( $k\in\mathbb Z$ ).
$\sin x=a=\sin\alpha \iff x=\alpha+2k\pi$ ou $x=\pi-\alpha+2k\pi$ .
$\tan x=a=\tan\alpha \iff x=\alpha+k\pi$ .

Application — cos x = 1/2

\cos x=\dfrac12=\cos\dfrac\pi3 \iff x=\dfrac\pi3+2k\pi\ \text{ou}\ x=-\dfrac\pi3+2k\pi

VII

a cos x + b sin x = c

Méthode en trois étapes

1. Transformer $a\cos x+b\sin x$ en $\sqrt{a^2+b^2}\cos(x-\alpha)$ (ou $\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)$ ), ce qui ramène l'équation à $\cos(x-\alpha)=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ .

2. Si $\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\notin[-1,1]$ , pas de solution. Sinon on résout normalement.

3. On revient à $x$ en ajoutant $\alpha$ .

Application — cos3x + sin3x = 1

\begin{gathered} \cos3x+\sin3x=1 \iff \sqrt2\cos\!\left(3x-\dfrac\pi4\right)=1 \\ \iff \cos\!\left(3x-\dfrac\pi4\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}=\cos\dfrac\pi4 \end{gathered}

d'où $3x-\dfrac\pi4=\pm\dfrac\pi4+2k\pi$ , soit $x=\dfrac\pi6-\dfrac{2k\pi}{3}$ ou $x=-\dfrac{2k\pi}{3}$ .

04 · À toi de jouer

Exercices · Calcul trigonométrique

6 exercices corrigés, calqués sur les techniques du cours.

0 / 6 vérifiés

Exercice 1 · À partir des valeurs de π/12

1 calcul

Sachant que $\cos\dfrac\pi{12}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$ et $\sin\dfrac\pi{12}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$ , calculer $\cos\dfrac{11\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{11\pi}{12}$ .

Exercice 2 · Produit → somme

1 calcul

Calculer $\cos\dfrac{7\pi}{12}\times\cos\dfrac{5\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{7\pi}{12}\times\cos\dfrac{5\pi}{12}$ .

Exercice 3 · Une tangente remarquable

1 identité

Montrer que $\tan\dfrac\pi{12}=2-\sqrt3$ .

Exercice 4 · Résoudre a cos x + b sin x = c

1 équation

Résoudre dans $[0,2\pi]$ l'équation $\sqrt3\cos x+\sin x=\sqrt3$ .

Exercice 5 · Équation du type cos(u) = cos(v)

1 équation

Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $\cos(2x)=\cos\!\left(x-\dfrac\pi3\right)$ .

Exercice 6 · D'une équation du second degré à tan(π/8)

1 étude

a. Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $x^2+2x-1=0$ .

b. En déduire $\tan\dfrac\pi8$ .

Calcul trigonométrique · Mathématiques, 1ère année Baccalauréat, semestre 1.