3ᵉ Année Collège · Chapitre 2

Les Vecteurs et la Translation

Direction, sens, norme : ce qui définit un vecteur. Puis la translation, pour faire glisser une figure sans la déformer.

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notions & propriétés

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exercices corrigés

01 · Direction, sens, norme

Les vecteurs

Toutes les définitions et propriétés du chapitre, illustrées et accompagnées d'exercices d'application résolus.

1. Vecteur non nul

a) Définition

Définition

Chaque deux points différents AA et BB déterminent un vecteur non nul AB→\overrightarrow{AB}, d'origine AA et d'extrémité BB.

b) Exemple et caractéristiques

AB

Chaque vecteur possède trois caractéristiques : la direction, le sens et la norme. Pour AB→\overrightarrow{AB} ci-contre :

  • Direction : c'est la droite (AB)(AB).
  • Sens : c'est de AA vers BB.
  • Norme : c'est la distance ABAB.

2. Vecteur nul

a) Définition

Définition

Chaque point AA détermine un vecteur nul AA→\overrightarrow{AA} noté 0⃗\vec 0. On écrit : AA→=0⃗\overrightarrow{AA}=\vec 0.

b) Remarques

La norme d'un vecteur nul est zéro, mais la direction et le sens ne sont pas définis.

Si AB→=0⃗\overrightarrow{AB}=\vec 0, alors A=BA=B (les points AA et BB sont confondus).

3. Égalité de deux vecteurs

a) Propriété 1

Propriété

Dire que deux vecteurs sont égaux signifie qu'ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

Remarque importante : même direction signifie que leurs directions sont soit deux droites strictement parallèles, soit deux droites confondues.

Exemple : soient AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} deux vecteurs non nuls tels que AB→=CD→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}.

ABCD

Premier cas

ABCD

Deuxième cas (points alignés)

b) Propriété 2

Propriété

Soit AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} deux vecteurs non nuls. AB→=CD→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} équivaut à ABDC est un parallélogramme.

ABDC

Parallélogramme ABDC

ACBD

Parallélogramme aplati

1
Applique

Soit ABCABC un triangle.

  1. Construis le point EE tel que AE→=BC→\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BC}.
  2. Montre que AB→=EC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EC}.

4. L'opposé d'un vecteur non nul

Propriété

L'opposé d'un vecteur non nul AB→\overrightarrow{AB} est le vecteur −AB→-\overrightarrow{AB}, noté BA→\overrightarrow{BA}. On écrit : −AB→=BA→-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}.

5. Relation de Chasles

a) Propriété

Propriété

Si A,BA, B et CC sont trois points distincts, alors : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}

ABC

b) Exemples : simplifie les écritures suivantes

AB→+BC→+CA→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}

=(AB→+BC→)+CA→=AC→+CA→=AA→=0⃗=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AA}=\vec 0

AC→−BC→+BE→\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BE}

=(AC→+CB→)+BE→=AB→+BE→=AE→=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}

AB→+ED→+BE→+DC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DC}

=(AB→+BE→)+(ED→+DC→)=AE→+EC→=AC→=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE})+(\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DC})=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AC}

6. Somme de deux vecteurs

a) Propriété

Propriété

ABCDABCD est un parallélogramme équivaut à : AC→=AB→+AD→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.

ABDC

On a AC→=AB→+AD→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}, avec ABCDABCD un parallélogramme (diagonale AC→\overrightarrow{AC} en rouge).

2
Applique

Soit ABCABC un triangle.

  1. a) Construis EE tel que AC→=AE→+AB→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AB}.
    b) Construis MM et NN, symétriques respectifs de AA et CC par rapport à BB.
  2. Montre que NC→=NA→+NM→\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NM}.

7. Vecteur et milieu d'un segment

a) Propriété

Propriété

Soient [AB][AB] un segment et EE un point. EE milieu de [AB][AB] équivaut à AE→=EB→\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{EB}.

AEB
3
Applique

Soit ABCDABCD un parallélogramme, EE et FF tels que DC→=CE→\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CE} et BC→=FE→\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{FE}.

  1. Construis la figure.
  2. Montre que BB est le milieu du segment [AF][AF].

8. Produit d'un vecteur par un nombre réel

a) Définition

Définition

Soient AB→\overrightarrow{AB} un vecteur non nul, EE un point et kk un réel. On appelle AE→=k AB→\overrightarrow{AE}=k\,\overrightarrow{AB} le produit du vecteur AB→\overrightarrow{AB} par le réel kk, tel que :

Si k>0k>0

E∈(AB)E\in(AB)

AE→\overrightarrow{AE} et AB→\overrightarrow{AB} ont même sens

AE=k×ABAE=k\times AB

Si k<0k<0

E∈(AB)E\in(AB)

AE→\overrightarrow{AE} et AB→\overrightarrow{AB} ont des sens opposés

AE=−k×ABAE=-k\times AB

Si k=0k=0

EE et AA sont confondus.

b) Exemple

Soit ABCABC un triangle. Construisons EE et FF tels que AE→=2AB→\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AB} et BF→=−32BC→\overrightarrow{BF}=\dfrac{-3}{2}\overrightarrow{BC}.

AE→=2AB→\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AB} et 2>02>0, donc :

E∈(AB)E\in(AB) ; AE→\overrightarrow{AE} et AB→\overrightarrow{AB} ont même sens ; AE=2×ABAE=2\times AB.

BF→=−32BC→\overrightarrow{BF}=\dfrac{-3}{2}\overrightarrow{BC} et −32<0\dfrac{-3}{2}<0, donc :

F∈(BC)F\in(BC) ; BF→\overrightarrow{BF} et BC→\overrightarrow{BC} ont des sens opposés ; BF=32×BCBF=\dfrac{3}{2}\times BC.

ABCFE

9. Points alignés et droites parallèles

Propriété

Soient A,B,C,DA,B,C,D des points distincts et kk un réel non nul.

AB→=kAC→\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC} équivaut à A,B,CA,B,C alignés (on dit aussi B∈(AC)B\in(AC)).

AB→=kCD→\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{CD} équivaut à (AB)∥(CD)(AB)\parallel(CD).

4
Applique

Soit ABCDABCD un parallélogramme et EE tel que DE→=23AB→\overrightarrow{DE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}. Montre que D,C,ED,C,E sont alignés.

5
Applique

Soit ABCABC un triangle, E,FE,F tels que AE→=−75BC→\overrightarrow{AE}=\dfrac{-7}{5}\overrightarrow{BC} et CC milieu de [BF][BF]. Montre que (AE)∥(CF)(AE)\parallel(CF).

02 · Faire glisser une figure

La translation

Une translation déplace tous les points dans la même direction, le même sens, sur la même distance.

1. L'image d'un point par une translation

a) Exemple

Soient A,BA,B et MM trois points non alignés. Construisons M′M' tel que AB→=MM′→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MM'}.

ABMM'

On appelle M′M' l'image du point MM par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} (ou la translation qui transforme AA en BB).

b) Définition

Définition

Soient AB→\overrightarrow{AB} un vecteur non nul et MM un point. On appelle M′M' l'image de MM par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} (ou qui transforme AA en BB) telle que AB→=MM′→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MM'}, ce qui signifie que ABM′MABM'M est un parallélogramme.

2. Propriété caractéristique

Propriété

Si A′A' et B′B' sont les images respectives de AA et BB par une translation, alors : A′B′→=AB→\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{AB}.

6
Applique

Soit ABCABC un triangle. On considère la translation tt qui transforme BB en CC. Soient EE et FF les images respectives de AA et CC par tt. Montre que AEFCAEFC est un parallélogramme.

3. L'image de quelques figures par une translation

Propriété

  • Segment : l'image d'un segment est un segment de même longueur.
  • Droite : l'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle.
  • Angle : l'image d'un angle est un angle de même mesure.
7
Applique

Soit ABCABC un triangle tel que AB=4 cmAB=4\,cm et BAC^=70°\widehat{BAC}=70°. On considère la translation tt de vecteur AC→\overrightarrow{AC}. Soient EE et FF les images respectives de CC et BB par tt.

  1. Trace la figure.
  2. Montre que (BC)∥(EF)(BC)\parallel(EF).
  3. Calcule CFCF.
  4. Calcule FCE^\widehat{FCE}.

À toi de jouer

8 exercices corrigés

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0 / 8 vérifiés

1
Vecteurs égaux et construction

ABCABC est un triangle.

  1. Construis EE tel que : AE→=AB→+AC→\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.
  2. Construis FF tel que : AF→=2AB→\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AB}.
  3. Construis GG tel que : AG→=2AC→\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AC}.
  4. Détermine deux vecteurs égaux au vecteur BA→\overrightarrow{BA}.
  5. Détermine deux vecteurs égaux au vecteur CB→\overrightarrow{CB}.
  6. Écris GE→\overrightarrow{GE} en fonction de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.
2
Combinaison de vecteurs

ABCABC est un triangle.

Construis le point MM tel que : AM→=2AB→+32AC→\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}.

3
Démonstration : parallélogramme

ABCDABCD est un parallélogramme.

  1. Construis EE et FF tels que : BE→=AB→\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB} et DF→=CD→\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{CD}.
  2. Montre que le quadrilatère BEDFBEDF est un parallélogramme.
4
Calcul et relation de Chasles

1. Exprime le plus simplement possible :

AC→−BC→\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}
AD→−FD→+ED→−AF→+BE→+AB→\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{ED}-\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AB}
FE→−GE→−GF→+GH→+GF→\overrightarrow{FE}-\overrightarrow{GE}-\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{GF}
AB→−BD→+CA→−CB→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}
3(AB→−2DA→)−2(AB→−3DA→)3\big(\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{DA}\big)-2\big(\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{DA}\big)

2. Démontre les égalités suivantes :

AC→+BD→=AD→+BC→\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}
BE→+CB→−DE→=CD→\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{CD}
5
Translation : composition

ABCABC est un triangle.

  1. Construis EE, image de CC par la translation qui transforme BB en AA.
  2. Construis FF, image de EE par la translation qui transforme AA en CC.
  3. Montre que FF est l'image de CC (détermine le vecteur de la translation).
6
Translation et cercle

ABCDABCD est un parallélogramme.

  1. Construis EE tel que : AE→=AB→+AC→\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.
  2. Montre que CC est le milieu du segment [DE][DE].
  3. On considère la translation tt qui transforme DD en CC.
    1. Construis NN, image de BB par tt.
    2. Détermine l'image du cercle ξ(D ; DB)\xi(D\,;\,DB).
  4. Simplifie : DB→+NB→+AB→+EC→\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{EC}
7
Translation : triangle rectangle

ABCABC est un triangle rectangle en AA tel que AC=4 cmAC=4\,cm et EE le milieu de [BC][BC]. Soit tt la translation de vecteur AE→\overrightarrow{AE}.

  1. Construis FF, image de BB, et GG, image de CC, par tt.
  2. Calcule la distance EGEG (justifie).
  3. Montre que : (FG)∥(BC)(FG)\parallel(BC).
  4. Détermine la nature du triangle EFGEFG.
8
Translation d'un cercle

ABCDABCD est un parallélogramme. Soit (ξ)(\xi) le cercle de centre AA et passant par DD. Détermine l'image du cercle (ξ)(\xi) par la translation qui transforme DD en CC.

Vecteurs et translation · Mathématiques, 3ᵉ année collège, semestre 2.