3ᵉ Année Collège · Chapitre 5

Système de deux équations

Deux équations à vérifier en même temps : il faut trouver le seul couple (x ; y) qui convient aux deux à la fois.

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méthodes de résolution

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01 · La définition

Système de deux équations à deux inconnues

Un système, c'est deux équations qu'on doit vérifier en même temps.
{ax+by+c=0a′x+b′y+c′=0\begin{cases}ax+by+c=0\\a'x+b'y+c'=0\end{cases}
a, b, c, a′, b′, c′ : réels donnés · x, y : inconnues

exemples

{2x+y−1=0−3x−4y=−2\begin{cases}2x+y-1=0\\-3x-4y=-2\end{cases}{12x−3y=23−3x+y+2=0\begin{cases}\dfrac12x-3y=\dfrac23\\-3x+y+2=0\end{cases}{x+2y2−1=03x+y=−4\begin{cases}\dfrac{x+2y}{2}-1=0\\3x+y=-4\end{cases}

Résoudre un système

Définition

Résoudre un système de deux équations à deux inconnues xx et yy, c'est trouver tous les couples (x ;y)(x\,;y), s'ils existent, pour lesquels les deux équations sont vraies simultanément.

Deux méthodes de résolution

Méthode par substitution

À utiliser quand…

l'une des deux inconnues a pour coefficient 11 ou −1-1 dans l'une des équations.

Exemple : résolvons

{(1)  3x−y=1(2)  2x+3y=19\begin{cases}(1)\ \ 3x-y=1\\(2)\ \ 2x+3y=19\end{cases}

Ici, y a pour coefficient −1 dans (1)

1

On exprime y en fonction de x dans (1)

3x−y=1  ⟹  −y=1−3x  ⟹  (3)  y=3x−13x-y=1 \;\Longrightarrow\; -y=1-3x \;\Longrightarrow\; (3)\ \ y=3x-1
2

On substitue y par 3x−1 dans (2), puis on calcule x

2x+3y=192x+3(3x−1)=192x+9x−3=1911x=22x=2\begin{aligned}2x+3y&=19\\2x+3(3x-1)&=19\\2x+9x-3&=19\\11x&=22\\x&=2\end{aligned}
3

On remplace x par 2 dans (3), puis on calcule y

y=3×2−1=5y=3\times2-1=5

D'où : le système admet pour unique solution le couple (2 ;5)(2\,;5).

Méthode par combinaison linéaire

À utiliser quand…

aucun coefficient n'est égal à 11 ou −1-1 : on utilise cette méthode dans tous les autres cas.

Exemple : résolvons

{(1)  −5x+4y=−1(2)  3x−2y=1\begin{cases}(1)\ \ {-5x}+4y=-1\\(2)\ \ 3x-2y=1\end{cases}

Aucun coefficient n'est égal à 1 ou −1

1

On multiplie (2) par 2, pour retrouver le coefficient de y de (1)

(2)×2  ⟹  (3)  6x−4y=2(2)\times2 \;\Longrightarrow\; (3)\ \ 6x-4y=2
2

On additionne (1) et (3) membre à membre, puis on calcule x

(−5x+4y)+(6x−4y)=−1+2x=1\begin{aligned}(-5x+4y)+(6x-4y)&=-1+2\\x&=1\end{aligned}
3

On remplace x par 1 dans (3), puis on calcule y

6×1−4y=2−4y=2−6=−4y=1\begin{aligned}6\times1-4y&=2\\-4y&=2-6=-4\\y&=1\end{aligned}

D'où : le système admet pour unique solution le couple (1 ;1)(1\,;1).

Résolution graphique d'un système

Chaque équation ax+by+c=0 représente une droite. Résoudre le système, c'est chercher les points communs à ces deux droites. Trois cas peuvent se présenter.

Exemple 1

{2x+y−1=04x+2y=2\begin{cases}2x+y-1=0\\4x+2y=2\end{cases}
(D): y=−2x+1(Δ): y=−2x+1\begin{aligned}(D)&:\ y=-2x+1\\(\Delta)&:\ y=-2x+1\end{aligned}
O
(D)(Δ)

Même équation réduite ⇒ droites confondues.

Infinité de solutions.

Exemple 2

{3x+y−5=06x+2y+1=0\begin{cases}3x+y-5=0\\6x+2y+1=0\end{cases}
(D): y=−3x+5(Δ): y=−3x−12\begin{aligned}(D)&:\ y=-3x+5\\(\Delta)&:\ y=-3x-\dfrac12\end{aligned}
O
(D)(Δ)

Même coefficient directeur, ordonnées différentes ⇒ droites strictement parallèles.

Aucune solution : S=∅S=\varnothing

Exemple 3

{2x−y−1=0−3x+y+2=0\begin{cases}2x-y-1=0\\-3x+y+2=0\end{cases}
(D): y=2x−1(Δ): y=3x−2\begin{aligned}(D)&:\ y=2x-1\\(\Delta)&:\ y=3x-2\end{aligned}
OM
(D)(Δ)

Coefficients directeurs différents ⇒ droites sécantes en un point MM.

Solution unique : M(1 ;1)M(1\,;1)

02 · Sur le terrain

Résolution de problèmes

On choisit deux inconnues, on traduit l'énoncé en système, on résout, puis on répond à la question posée.

Méthode

La résolution d'un problème se déroule en 4 étapes :

  1. Choisir des inconnues.
  2. Mise en système d'équations.
  3. Résolution du système.
  4. Retour au problème.

« Une usine fabrique deux sortes d'objets : A et B. L'objet A nécessite 2,4 kg d'acier et 3 heures de fabrication. L'objet B nécessite 4 kg d'acier et 2 heures de fabrication. Combien d'objets de chaque sorte a-t-on fabriqué en 67 heures de travail et en utilisant 80 kg d'acier ? »

1

Choix des inconnues

Soient xx le nombre d'objets A, et yy le nombre d'objets B fabriqués.

2

Mise en système d'équations

L'acier : 2,4x+4y=802{,}4x+4y=80. Les heures : 3x+2y=673x+2y=67. D'où le système :

{(1)  2,4x+4y=80(2)  3x+2y=67\begin{cases}(1)\ \ 2{,}4x+4y=80\\(2)\ \ 3x+2y=67\end{cases}
3

Résolution et vérification

On multiplie (2) par −2-2 pour obtenir le même coefficient de yy :

{(1)  2,4x+4y=80(3)  −6x−4y=−134\begin{cases}(1)\ \ 2{,}4x+4y=80\\(3)\ \ {-6x}-4y=-134\end{cases}

On additionne (1) et (3) :

2,4x+4y−6x−4y=80−134−3,6x=−54x=−54−3,6=15\begin{aligned}2{,}4x+4y-6x-4y&=80-134\\-3{,}6x&=-54\\x&=\dfrac{-54}{-3{,}6}=15\end{aligned}

On remplace xx par 1515 dans (2) :

3×15+2y=6745+2y=67y=11\begin{aligned}3\times15+2y&=67\\45+2y&=67\\y&=11\end{aligned}

Vérification : 2,4×15+4×11=36+44=802{,}4\times15+4\times11=36+44=80 ✓ et 3×15+2×11=45+22=673\times15+2\times11=45+22=67 ✓

✓

Retour au problème

15 objets

Objets A fabriqués

11 objets

Objets B fabriqués

03 · Fiche mémo

Points clés à retenir

Les réflexes indispensables avant d'attaquer les exercices.

Quelle méthode choisir ?

  • Un coefficient = 1 ou −1 Substitution
  • Sinon Combinaison linéaire

3 cas · lecture graphique

  • Droites sécantes 1 solution
  • Droites confondues Infinité
  • Droites // strictes Aucune

Toujours vérifier

Une fois le couple (x ;y)(x\,;y) trouvé, on le remplace dans les deux équations du système de départ.

ax0+by0+c=0  et  a′x0+b′y0+c′=0a x_0+by_0+c=0 \ \ \text{et}\ \ a'x_0+b'y_0+c'=0

Méthode pour un problème concret

1. Choix des inconnues
2. Mise en système
3. Résolution
4. Retour au problème

À toi de jouer

6 exercices corrigés

Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier.

0 / 6 vérifiés

1
Équation à deux inconnues
4 questions

On considère l'équation :

7x−3y=57x-3y=5
  1. Montrer que le couple (2 ;3)(2\,;3) est une solution de l'équation.
  2. Est-ce que les couples (−1 ;5)(-1\,;5), (12 ;−12)\left(\dfrac12\,;-\dfrac12\right), (5 ;10)(5\,;10) sont des solutions ?
  3. Donner 3 solutions de l'équation.
  4. Résoudre l'équation 7x−3y=57x-3y=5.
2
Reconnaître une solution
2 questions

1) Parmi ces systèmes, lesquels ont pour solution le couple (−1 ;2)(-1\,;2) ?

(S1){3x+2y=1x−y=4(S_1)\begin{cases}3x+2y=1\\x-y=4\end{cases}(S2){5x+3y=27x+4y=1(S_2)\begin{cases}5x+3y=2\\7x+4y=1\end{cases}(S3){9x+7y=5−4x+3y=10(S_3)\begin{cases}9x+7y=5\\-4x+3y=10\end{cases}(S4){x+y=36x+2y=3(S_4)\begin{cases}x+y=3\\6x+2y=3\end{cases}

2) Parmi ces couples, lesquels sont solutions de {2x+3y=73x−y=5\begin{cases}2x+3y=7\\3x-y=5\end{cases} ?

(−1 ;3)(-1\,;3)(2 ;1)(2\,;1)(0 ;0)(0\,;0)(3 ;−1)(3\,;-1)
3
Méthode par substitution
5 systèmes
(S1){x+y=5x−y=1(S_1)\begin{cases}x+y=5\\x-y=1\end{cases}(S2){x+y=152x+y=21(S_2)\begin{cases}x+y=15\\2x+y=21\end{cases}(S3){3x−4y=24x+5y=19(S_3)\begin{cases}3x-4y=24\\x+5y=19\end{cases}(S4){2x−y=45x−y=1(S_4)\begin{cases}2x-y=4\\5x-y=1\end{cases}(S5){3x+2y=1x+2y=3(S_5)\begin{cases}3x+2y=1\\x+2y=3\end{cases}
4
Méthode par combinaison linéaire
5 systèmes
(S1){2x+3y=55x−2y=3(S_1)\begin{cases}2x+3y=5\\5x-2y=3\end{cases}(S2){4x+3y=275x+4y=23(S_2)\begin{cases}4x+3y=27\\5x+4y=23\end{cases}(S3){6x−5y=37x−5y=−4(S_3)\begin{cases}6x-5y=3\\7x-5y=-4\end{cases}(S4){3x−5y=−2x+5y=4(S_4)\begin{cases}3x-5y=-2\\x+5y=4\end{cases}(S5){3x+2y=15x+3y=3(S_5)\begin{cases}3x+2y=1\\5x+3y=3\end{cases}
5
Méthode au choix
5 systèmes
(S1){3x+4y=485x+6y=75(S_1)\begin{cases}3x+4y=48\\5x+6y=75\end{cases}(S2){7x+3y=1x−3y=7(S_2)\begin{cases}7x+3y=1\\x-3y=7\end{cases}(S3){5x+3y−6=0−5x+2y−1=0(S_3)\begin{cases}5x+3y-6=0\\-5x+2y-1=0\end{cases}(S4){3x−y=−32x−3y=4(S_4)\begin{cases}3x-y=-3\\2x-3y=4\end{cases}(S5){3x+7y=55x−3y=−3(S_5)\begin{cases}3x+7y=5\\5x-3y=-3\end{cases}
6
Problème concret
2 questions

1) Résoudre le système d'équations :

{3x+y=15,502x+3y=20,60\begin{cases}3x+y=15{,}50\\2x+3y=20{,}60\end{cases}

2) Un client achète 3 baguettes et 4 pains au chocolat, il paye 14,50 dirhams. Un deuxième client achète 4 baguettes et 5 pains au chocolat, il paye 18,50 dirhams. Quel est le prix d'une baguette et le prix d'un pain au chocolat ?

Système de deux équations · Mathématiques, 3ème année collège, semestre 2.