3ᵉ Année Collège · Chapitre 7

Les Statistiques

Population, effectif, fréquence : le vocabulaire de base. Puis trois nombres pour résumer une série entière : moyenne, médiane et mode.

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01 · Le vocabulaire de base

Vocabulaire : rappel

Population, caractère, effectif, fréquence : les mots qu'il faut maîtriser avant de calculer quoi que ce soit.

Exemple 1 · fil rouge

Le tableau suivant présente les notes obtenues par des élèves d'une classe de $3APIC$ :

Notes	8	10	13	16
Nombre d'élèves	2	6	9	3

Population

C'est l'ensemble étudié dans l'enquête.

Ex. 1 : la population est une classe de 3APIC.

Caractère

C'est ce qui est étudié dans la population.

Ex. 1 : le caractère est la note.

Effectif

L'effectif d'une valeur est le nombre de fois qu'on la retrouve.

Ex. 1 : l'effectif de 10 est 6.

Effectif total

C'est le nombre d'individus de la population : la somme de tous les effectifs.

Ex. 1 : $2+6+9+3=20$ .

Effectif cumulé

Somme de l'effectif de cette valeur et des effectifs de toutes les valeurs précédentes.

Ex. 1 : effectifs cumulés 2, 8, 17, 20.

Fréquence

Quotient de l'effectif d'une valeur par l'effectif total.

Ex. 1 : fréquence de 10 = $\dfrac{6}{20}=0{,}3$ .

Fréquence cumulée

Somme de la fréquence de cette valeur et des fréquences de toutes les valeurs précédentes.

Ex. 1 : fréquences cumulées 0,1, 0,4, 0,85, 1.

Le tableau complet de l'exemple 1

Caractères	8	10	13	16
Effectifs	2	6	9	3
Effectifs cumulés	2	8	17	20
Fréquences	0,1	0,3	0,45	0,15
Fréquences cumulées	0,1	0,4	0,85	1

L'effectif total (20) est aussi la dernière valeur des effectifs cumulés ; 1 est toujours la dernière valeur des fréquences cumulées.

02 · Une valeur qui résume tout

Moyenne arithmétique

Le quotient de la somme pondérée des valeurs par l'effectif total.

Définition

La moyenne arithmétique d'une série statistique est le quotient de la somme des produits de chaque valeur du caractère par l'effectif correspondant, par l'effectif total de la série :

m=\dfrac{\text{somme des (valeur}\times\text{effectif)}}{\text{effectif total}}

Exemple 1 · série discrète (reprend l'exemple 1)

$m=\dfrac{8\times2+10\times6+13\times9+16\times3}{20}=\dfrac{241}{20}$

✓ $m=12{,}05$

Remarque

Pour une série regroupée en classes, la moyenne est le quotient de la somme des produits du centre de chaque classe par l'effectif de la classe, par l'effectif total. Si $a\leq x<b$ est une classe, son centre est $\dfrac{a+b}{2}$ .

Exemple 2 · série regroupée en classes (poids, en kg)

Classe de poids	$30\leq p<40$	$40\leq p<50$	$50\leq p<60$	$60\leq p<70$
Effectif	14	8	6	12
Centre	35,5	45,5	55,5	65,5

$m=\dfrac{14\times35{,}5+8\times45{,}5+6\times55{,}5+12\times65{,}5}{14+8+6+12}=\dfrac{1980}{40}$

✓ $m=49{,}5$

03 · Couper la série en deux

Médiane d'une série statistique

La valeur qui partage la population en deux groupes de même effectif.

Définition

La médiane d'une série statistique dont les valeurs sont classées par ordre croissant est la valeur du caractère qui partage la population en deux groupes de même effectif.

Méthode 1 · effectif réduit, valeurs triées

On classe toutes les valeurs par ordre croissant, puis :

Effectif total impair

La médiane est la valeur qui se trouve exactement au milieu.

6 ; 7 ; 7 ; 7 ; 7 ; 8 ; 9 ; 9 ; 10

4 valeurs · médiane · 4 valeurs

✓ médiane $=7$

Effectif total pair

La médiane est la moyenne des deux valeurs du milieu.

6 ; 6 ; 7 ; 7 ; 7 ; 8 ; 8 ; 9 ; 9 ; 10

4 valeurs · les 2 du milieu · 4 valeurs

$\text{médiane}=\dfrac{7+8}{2}=7{,}5$

Méthode 2 · grand effectif, effectifs cumulés

Règle

Si les valeurs sont classées par ordre croissant, la médiane est la plus petite valeur dont l'effectif cumulé croissant est supérieur ou égal à la moitié de l'effectif total.

Exemple · ventes journalières de voitures (31 jours)

Les ventes	0	5	7	9	10
Les jours	4	8	10	6	3
Effectifs cumulés	4	12	22	28	31

1 · Moitié de l'effectif total

$\dfrac{31}{2}=15{,}5$

2 · Plus petite valeur avec effectif cumulé ≥ 15,5

Effectifs cumulés : 4, 12, 22, 28, 31. Le premier ≥ 15,5 est 22, qui correspond à la valeur 7.

✓ Conclusion

La valeur médiane de cette série est $\boxed{7}$ .

04 · La valeur la plus fréquente

Mode d'une série statistique

La valeur (ou la classe) qui a le plus grand effectif.

Définition

Le mode d'une série statistique est la valeur (ou la classe) du caractère qui possède le plus grand effectif.

Caractère	4	5	7	10
Effectif	5	11	10	3

La valeur 5 possède le plus grand effectif (11).

✓ le mode de cette série est $5$

05 · Révision express

Points clés à retenir

Les six formules indispensables avant d'attaquer les exercices.

Effectif total

Somme de tous les effectifs de la série.

📊

Fréquence

$f=\dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$

🧮

Moyenne arithmétique

$m=\dfrac{\sum(\text{valeur}\times\text{effectif})}{\text{effectif total}}$

🎯

Médiane (petit effectif)

effectif impairvaleur du milieu
effectif pairmoyenne des 2 du milieu

📈

Médiane (grand effectif)

Plus petite valeur dont l'effectif cumulé croissant ≥ moitié de l'effectif total.

⭐

Mode

Valeur (ou classe) qui a le plus grand effectif.

À toi de jouer

6 exercices corrigés

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Série discrète et diagramme en bâtons

Après la correction d'un devoir d'expression écrite de français, le professeur a mis un tableau contenant les erreurs commises par les élèves.

Nombre d'erreurs	0	1	2	3	4
Nombre d'élèves	15	5	8	6	6

Construis le tableau des effectifs, effectifs cumulés, fréquences et fréquences cumulées.
Construis la représentation graphique (diagramme en bâtons) de cette série.
Calcule la moyenne arithmétique.
Calcule la médiane et le mode.

Classes et histogramme

Dans un club de sport, 25 adhérents ont parcouru une distance $d$ (en km) :

Distance	$0\leq d<2$	$2\leq d<4$	$4\leq d<6$	$6\leq d<8$
Effectif	2	12	7	4

Construis le tableau des effectifs, effectifs cumulés, fréquences et fréquences cumulées.
Calcule la moyenne arithmétique.
Calcule la médiane et le mode.
Représente les données par un histogramme.

Fréquence inconnue et diagramme demi-circulaire

Une enquête menée auprès de 40 jeunes sur le nombre d'heures de connexion à internet par jour a donné les résultats suivants :

Connexion (h)	1	2	3	4
Fréquence	$\frac{7}{20}$	$\frac{3}{10}$	x	$\frac{3}{20}$

Calcule la fréquence $x$ de la valeur 3.
Montre que 14 est l'effectif de la valeur 1.
Dresse le tableau des effectifs et des effectifs cumulés.
Calcule le nombre d'heures moyen.
Calcule la médiane et le mode.
Est-il vrai qu'au moins la moitié de ces jeunes se connectent 2h par jour ?
Représente les effectifs par un diagramme demi-circulaire.

Classes et histogramme

Le tableau suivant donne la répartition des âges des ouvriers dans une entreprise de construction de bâtiments :

Âge	$20\leq t<28$	$28\leq t<36$	$36\leq t<44$	$44\leq t<52$	$52\leq t<60$
Effectif	4	8	7	6	5

Dresse le tableau des effectifs cumulés.
Calcule l'âge moyen des ouvriers.
Quelle est la classe modale ?
Dans quelle classe se trouve la médiane ?
Détermine le pourcentage d'ouvriers dont l'âge est strictement inférieur à 36 ans.
Représente cette série par un histogramme.

Complète le tableau

Le tableau suivant représente la distribution du nombre de communications téléphoniques reçues par une personne durant le mois de juin :

Nb communications	0	4	5	6	7
Nombre de jours	4	5	7	?	10
Effectif cumulé	–	–	–	21	–

Complète le tableau.
Calcule la moyenne arithmétique.
Calcule la médiane et le mode.

Effectif inconnu via la moyenne

Le tableau suivant représente la répartition des âges des adhérents d'un club :

Âges	17	18	22	24	28	29	30	37	38
Adhérents	2	3	3	x	2	1	3	1	1

Sachant que la moyenne de l'âge de ce groupe est 25 :

Montre que le nombre des adhérents âgés de 24 ans est 4.
Détermine le pourcentage des adhérents âgés de plus de 23 ans.
Calcule la médiane et le mode.

Statistiques · Mathématiques, 3ᵉ année collège, semestre 2.