Repère dans le Plan · Cours et exercices corrigés | 3AC

01 · Repère orthonormé

Le repère orthonormé du plan

Deux droites graduées, perpendiculaires, avec la même unité : c'est tout ce qu'il faut pour repérer un point.

Soient $(OI)$ et $(OJ)$ deux droites graduées, dont l'unité de graduation est respectivement $OI$ et $OJ$ , telles que :

\begin{cases} OI = OJ = 1 \\ (OI) \perp (OJ) \end{cases}

repère orthonormé

(O;I;J)

Repèreon dit que le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O;I;J)$ .
Abscissesla droite $(OI)$ est appelée l'axe des abscisses.
Ordonnéesla droite $(OJ)$ est appelée l'axe des ordonnées.
Originele point $O$ est appelé l'origine du repère.

02 · Coordonnées d'un point

Les coordonnées d'un point

Un point, un couple de nombres : c'est la base de tout ce chapitre.

a) Définition

définition

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé, pour tout point $M$ il existe un couple unique de nombres réels $(x_M\,;\,y_M)$ , appelé couple de coordonnées du point $M$ , et on écrit : $M(x_M\,;\,y_M)$ .

$x_M$ est appelé l'abscisse de $M$ . $y_M$ est appelé l'ordonnée de $M$ .

Remarque importante

Si le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O;I;J)$ , alors : $O(0;0)$ ; $I(1;0)$ ; $J(0;1)$ .

b) Exemple

On considère que le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O;I;J)$ . Plaçons les points :

$A(2;-3)$ ; $B(2;4)$ ; $C(-1;2)$ ; $D(-3;1)$ ; $E(0;-4)$ ; $F(3;0)$

03 · Milieu d'un segment

Le milieu d'un segment

La moyenne des abscisses, la moyenne des ordonnées. Rien de plus.

a) Définition

définition

Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan rapporté à un repère orthonormé $(O;I;J)$ . Les coordonnées du point $M$ milieu du segment $[AB]$ sont :

x_M = \dfrac{x_A+x_B}{2} \quad \text{et} \quad y_M = \dfrac{y_A+y_B}{2}

on écrit

M\!\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)

b) Exemple

Soient $A(-2;6)$ , $B(4;-8)$ et $E$ trois points du plan rapporté à un repère orthonormé tels que $E$ est le milieu du segment $[AB]$ . Déterminons les coordonnées du point $E$ .

On a : $\begin{cases} x_E = \dfrac{x_A+x_B}{2} = \dfrac{-2+4}{2} = \dfrac{2}{2} = 1 \\[6px] y_E = \dfrac{y_A+y_B}{2} = \dfrac{6-8}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1 \end{cases}$

D'où : $E(1;-1)$

Exercice d'application

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère les points $A(2;-4)$ ; $B(3;1)$ et $C(-2;2)$ .

Déterminer le couple des coordonnées du point $E$ le milieu du segment $[AB]$ .
Montrer (ou vérifier) que le point $F(0;-1)$ est le milieu du segment $[AC]$ .

1) Déterminons le couple des coordonnées du point $E$ :

$E$ le milieu du segment $[AB]$ signifie que : $\begin{cases} x_E = \dfrac{x_A+x_B}{2} = \dfrac{2+3}{2} = \dfrac{5}{2} \\[6px] y_E = \dfrac{y_A+y_B}{2} = \dfrac{-4+1}{2} = \dfrac{-3}{2} \end{cases}$

D'où : $E\!\left(\dfrac{5}{2}\,;\,\dfrac{-3}{2}\right)$ .

2) Montrons que $F(0;-1)$ est le milieu du segment $[AC]$ :

On calcule : $\dfrac{x_A+x_C}{2} = \dfrac{2-2}{2} = 0$ et $\dfrac{y_A+y_C}{2} = \dfrac{-4+2}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1$ .

Or $F(0;-1)$ , c'est-à-dire $x_F=0=\dfrac{x_A+x_C}{2}$ et $y_F=-1=\dfrac{y_A+y_C}{2}$ .

D'où : $F(0;-1)$ est bien le milieu du segment $[AC]$ .

04 · Définition d'un vecteur

Les coordonnées d'un vecteur

Un vecteur AB, ce sont deux soustractions : l'arrivée moins le départ, sur chaque axe.

définition

$A$ et $B$ deux points distincts du plan rapporté à un repère orthonormé $(O;I;J)$ . Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont : $x_B - x_A$ et $y_B - y_A$ .

On écrit : $\overrightarrow{AB}\big(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A\big)$ .

Exercice d'application

Soient $A(2;3)$ ; $B(-1;-4)$ et $C(3;2)$ trois points du plan rapporté à un repère orthonormé $(O;I;J)$ .

Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ .
Montrer que : $\overrightarrow{AC}(1;-1)$ .
Déterminer les coordonnées du point $E$ sachant que $\overrightarrow{AE}(1;1)$ .

1) Déterminons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ :

On a : $\begin{cases} x_B - x_A = -1-2 = -3 \\ y_B - y_A = -4-3 = -7 \end{cases}$ d'où : $\overrightarrow{AB}(-3;-7)$ .

2) Montrons que $\overrightarrow{AC}(1;-1)$ :

On a $\overrightarrow{AC}(x_C-x_A\,;\,y_C-y_A)$ , c'est-à-dire $\overrightarrow{AC}(3-2\,;\,2-3)$ , d'où $\overrightarrow{AC}(1;-1)$ .

3) Déterminons les coordonnées du point $E$ tel que $\overrightarrow{AE}(1;1)$ :

$\overrightarrow{AE}(1;1)$ signifie que : $\begin{cases} x_E - x_A = 1 \\ y_E - y_A = 1 \end{cases}$ c'est-à-dire $\begin{cases} x_E = 1+2 \\ y_E = 1+3 \end{cases}$

D'où : $E(3;4)$ .

05 · Égalité de deux vecteurs

Égalité de deux vecteurs

Deux vecteurs sont égaux quand leurs coordonnées le sont, terme à terme.

a) Propriété

propriété

$\overrightarrow{AB}(a;b)$ et $\overrightarrow{CD}(c;d)$ deux vecteurs non nuls.

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ est équivalent à $a=c$ et $b=d$ .

b) Exemple

Soient $A(2;3)$ ; $B(-2;4)$ ; $C(-1;2)$ et $D(3;1)$ des points du plan rapporté à un repère orthonormé. Comparons les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ :

On a : $\begin{cases} \overrightarrow{AB}(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A) \\ \overrightarrow{DC}(x_C-x_D\,;\,y_C-y_D) \end{cases}$

c'est-à-dire : $\begin{cases} \overrightarrow{AB}(-2-2\,;\,4-3) \\ \overrightarrow{DC}(-1-3\,;\,2-1) \end{cases}$

$\begin{cases} \overrightarrow{AB}(-4;3) \\ \overrightarrow{DC}(-4;3) \end{cases}$

D'où : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

Exercice d'application

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère les points : $A(2;-2)$ ; $B(4;-1)$ ; $C(-6;-2)$ et $D$ .

Déterminer le couple des coordonnées du point $D$ tel que : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ .

On a : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ signifie que : $\begin{cases} x_B - x_A = x_D - x_C \\ y_B - y_A = y_D - y_C \end{cases}$

c'est-à-dire : $\begin{cases} 4-2 = x_D + 6 \\ -1+2 = y_D + 2 \end{cases}$ $\begin{cases} 2 = x_D + 6 \\ 1 = y_D + 2 \end{cases}$ $\begin{cases} x_D = 2-6 \\ y_D = 1-2 \end{cases}$

D'où : $D(-4;-1)$ .

06 · Somme de deux vecteurs

Somme de deux vecteurs

On additionne les vecteurs coordonnée par coordonnée, exactement comme pour des points.

propriété

Si $\overrightarrow{AB}(a;b)$ et $\overrightarrow{CD}(c;d)$ sont deux vecteurs, alors :

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\,\big(a+c\,;\,b+d\big)

b) Exemple

Soient $\overrightarrow{AB}(-1;2)$ et $\overrightarrow{EF}(4;3)$ deux vecteurs. Cherchons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{EF}$ :

On a : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{EF}\,(-1+4\,;\,2+3)$ .

D'où : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{EF}\,(3;5)$

07 · Produit par un réel

Produit d'un vecteur par un nombre réel

On multiplie chaque coordonnée par le même nombre k.

propriété

Si $\overrightarrow{AB}(a;b)$ est un vecteur et $k$ un nombre réel, alors :

k\times\overrightarrow{AB}\,\big(k\times a\,;\,k\times b\big)

b) Exemple

Soit $\overrightarrow{AB}(-5;2)$ un vecteur. Cherchons les coordonnées du vecteur $-3\overrightarrow{AB}$ :

On a : $\overrightarrow{AB}(-5;2)$ , donc : $-3\times\overrightarrow{AB}\,\big(-3\times(-5)\,;\,-3\times 2\big)$

D'où : $-3\overrightarrow{AB}\,(15;-6)$

08 · Distance entre deux points

La distance entre deux points

Le théorème de Pythagore, appliqué aux coordonnées.

a) Propriété (1)

propriété

Si $A$ et $B$ sont deux points du plan rapporté à un repère orthonormé, alors :

AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Exemple

Soient $A(-1;4)$ et $B(6;2)$ deux points du plan rapporté à un repère orthonormé.

$AB=\sqrt{(6-(-1))^2+(2-4)^2}=\sqrt{7^2+(-2)^2}=\sqrt{49+4}$

D'où : $AB=\sqrt{53}$

b) Propriété (2)

propriété

Si $\overrightarrow{AB}(a;b)$ est un vecteur du plan rapporté à un repère orthonormé, alors :

AB=\sqrt{a^2+b^2}

Exemple

Soit $\overrightarrow{AB}(-1;4)$ un vecteur. On a : $AB=\sqrt{(-1)^2+4^2}=\sqrt{1+16}$

D'où : $AB=\sqrt{17}$

Exercice d'application

Soient $\overrightarrow{AB}(3;4)$ un vecteur, $E(3;1)$ et $F(0;-2)$ deux points.

Calculer $AB$ puis $EF$ .

Calculons $AB$ :

$AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}$

D'où : $AB=5$ .

Calculons $EF$ :

$EF=\sqrt{(x_F-x_E)^2+(y_F-y_E)^2}=\sqrt{(0-3)^2+(-2-1)^2}=\sqrt{(-3)^2+(-3)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}$

D'où : $EF=3\sqrt{2}$ .

Entraînement

Exercices N°9

11 exercices (dont des sujets d'examens régionaux) : cherche d'abord seul(e), puis clique pour vérifier.

0 / 11 vérifiés

1

Distances et milieux d'un triangle

On considère un repère orthonormé $(O;I;J)$ tel que : $A(2;2)$ ; $B(-1;-1)$ et $C(4;-1)$ .

Placer les points $A$ , $B$ et $C$ .
Déterminer la longueur $AB$ et la longueur $AC$ .
Déterminer les coordonnées des points $E$ , $F$ et $G$ les milieux respectifs des segments $[AB]$ , $[AC]$ et $[BC]$ .

2

Symétrique d'un point

Soit $A(-1;2)$ et $B(0;1)$ .

Placer les points $A$ et $B$ dans un repère orthonormé $(O;I;J)$ .
Déterminer les coordonnées du point $A'$ symétrique de $A$ par rapport à $B$ .

3

Milieu et symétrique

Soit $(O;I;J)$ un repère orthonormé, tel que : $A(1;1)$ ; $C(2;4)$ .

Placer les points $A$ et $C$ .
Soit $B$ le milieu du segment $[AC]$ .
1. Déterminer les coordonnées du point $B$ .
Déterminer les coordonnées du point $B'$ symétrique de $B$ par rapport à $A$ .
Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AB}$ .

4

Translation et losange

On considère un repère orthonormé $(O;I;J)$ . On donne : $A(-3;6)$ , $B(4;5)$ , $C(5;-2)$ et $D(-2;-1)$ .

Construire les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ .
Calculer les coordonnées du milieu $M$ de $[BD]$ .
Montrer que $C$ est l'image de $D$ par la translation qui transforme $A$ en $B$ .
Calculer $AB$ .
Démontrer que $ABCD$ est un losange.

5

Parallélogramme et rectangle

On considère un repère orthonormé $(O;I;J)$ . On donne : $A(-3;2)$ , $B(3;5)$ , $M\!\left(1;\dfrac32\right)$ et $D(-1;-2)$ .

Construire les points $A$ , $B$ , $M$ et $D$ .
Soit $M$ milieu de $[AC]$ ; calculer les coordonnées du point $C$ .
Montrer que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.
Calculer $BD$ .
Démontrer que $ABCD$ est un rectangle.

6

Construire un parallélogramme ABDC

$(O;I;J)$ est un repère orthonormé.

Placer les points : $A(2;1)$ ; $B(3;-2)$ et $C(-4;-1)$ .
Trouver les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AC}$ .
Calculer les distances $CB$ ; $AC$ et $AB$ .
Trouver les coordonnées du point $M$ milieu de $[BD]$ .
Déterminer les coordonnées du point $D$ pour que $ABDC$ soit un parallélogramme.

Remarque : la question 4 utilise le point $D$ , on commence donc naturellement par la question 5.

7

Triangle isocèle et alignement

Casablanca 2021

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O;E;F)$ , on considère les points : $A(2;2)$ ; $B(-2;-1)$ et $C(2;-3)$ .

Placer les points $A$ , $B$ et $C$ .
a) Calculer les distances $AB$ et $AC$ . b) En déduire que $ABC$ est un triangle isocèle.
$I$ et $J$ deux milieux respectifs de $[BC]$ et $[AC]$ . Soit $G$ un point tel que : $\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}$ .
a) Montrer que les points $B$ , $G$ et $J$ sont alignés.

8

Milieu, vecteurs et droites concourantes

Béni Mellal 2021

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O;I;J)$ . On considère les points : $A(1;3)$ ; $B(3;-1)$ et $C(4;2)$ .

Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AC}$ .
Calculer les distances $AC$ et $BC$ .
Soit $H$ le milieu du segment $[AB]$ . Montrer que le point $H$ a pour coordonnées $(2;1)$ .
a) Déterminer les coordonnées de $\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{HC}$ . b) Montrer que $H$ est le milieu de $[OC]$ .
Construire dans le même repère le point $H$ et les droites $(AB)$ et $(OC)$ .

9

Triangle rectangle et aire

Casablanca 2019

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O;I;J)$ , on considère les points : $A(0;2)$ ; $B(1;0)$ et $C(4;4)$ .

Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ ; puis calculer la distance $AB$ .
Montrer que $ABC$ est un triangle rectangle.
Calculer l'aire du triangle $ABC$ .

10

Vérifier une distance et un milieu

Marrakech 2019

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O;I;J)$ , on considère les points : $A(4;4)$ ; $B(1;5)$ et $C(3;1)$ .

Représenter les points $A$ , $B$ et $C$ dans le repère $(O;I;J)$ .
a) Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ . b) Vérifier que $AB=\sqrt{10}$ . c) Vérifier que $K(2;3)$ est le milieu de $[BC]$ .

11

Triangle isocèle et milieu

Casablanca 2018

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O;I;J)$ , on considère les points : $A(1;7)$ ; $B(-6;3)$ et $C(0;-1)$ .

Calculer la distance $AB$ .
Montrer que $ABC$ est un triangle isocèle en $A$ .
Déterminer le couple de coordonnées du point $L$ milieu de $[BC]$ .