La Géométrie dans l'Espace · Cours et exercices | 3AC

01 · Se repérer dans l'espace

Parallélisme et orthogonalité

Avant de calculer un volume, il faut savoir situer les droites et les plans les uns par rapport aux autres.

a) Parallélisme d'une droite à un plan

1. Définition

Définition

Une droite $(D)$ est parallèle à un plan $(P)$ si :

la droite $(D)$ est incluse dans le plan $(P)$ : $(D)\subset(P)$ ;
ou bien il n'existe aucun point commun entre $(P)$ et $(D)$ : $(D)\cap(P)=\varnothing$ .

Ici, $(D)\cap(P)=\varnothing$ : la droite $(D)$ ne coupe jamais le plan $(P)$ , donc $(D)\parallel(P)$

2. Propriété

Propriété

Une droite $(D)$ est parallèle à un plan $(P)$ s'il existe une droite $(\Delta)$ incluse dans $(P)$ telle que $(\Delta)$ est parallèle à $(D)$ :

(\Delta)\subset(P) \;\text{ et }\; (\Delta)\parallel(D) \quad\Longrightarrow\quad (D)\parallel(P)

3. Exemple

Parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ .

En rouge : la face-plan (BFG) · en bleu : la droite (AE)

On a : $(AE)\parallel(BF)$ et $(BF)\subset(BFG)$

donc $(AE)\parallel(BFG)$

1

Applique

$ABCDEFGH$ est un cube. On sait que $(AC)\parallel(EG)$ et que $(EG)\subset(EFG)$ . Que peut-on en déduire pour la droite $(AC)$ et le plan $(EFG)$ ?

b) Orthogonalité d'une droite à un plan

1. Définition

Définition

On dit qu'une droite $(D)$ est orthogonale à un plan $(P)$ en un point $A$ si elle est orthogonale à deux droites sécantes en $A$ et incluses dans $(P)$ .

$(\Delta)\perp(D)$ et $(\Delta)\perp(L)$ , avec $(D),(L)\subset(P)$ sécantes en $A$

Ici, $(D)$ et $(L)$ sont deux droites sécantes en $A$ , incluses dans $(P)$ . Alors :

$(\Delta)\perp(D) \;\text{ et }\; (\Delta)\perp(L) \quad\Longrightarrow\quad (\Delta)\perp(P)$

2. Propriété

Propriété

Si la droite $(D)$ est orthogonale au plan $(P)$ , alors $(D)$ est orthogonale à toutes les droites incluses dans $(P)$ :

(D)\perp(P) \quad\Longrightarrow\quad \forall\,(L)\subset(P), \;\; (D)\perp(L)

$(\Delta)$ est orthogonale à chacune des droites du plan (P) passant par A

2

Applique

$SABC$ est un tétraèdre tel que $(SA)\perp(AB)$ et $(SA)\perp(AC)$ , $(AB)$ et $(AC)$ étant deux droites sécantes en $A$ et incluses dans le plan $(ABC)$ . Que peut-on dire de la droite $(SA)$ et du plan $(ABC)$ ?

Tétraèdre $SABC$ : $(SA)\perp(AB)$ et $(SA)\perp(AC)$ , avec $(AB),(AC)\subset(ABC)$ sécantes en $A$

02 · Formules à connaître

Aires et volumes

B désigne l'aire de la base du solide.

a) Aires des figures usuelles

Périmètre et aire des six figures planes de base.

Carré

Périm. $4a$

Aire $a^2$

Rectangle

Périm. $2(a{+}b)$

Aire $a\times b$

Parallélogramme

Périm. $2(a{+}b)$

Aire $a\times h$

Losange

Périm. $4a$

Aire $\dfrac{d_1 d_2}{2}$

Trapèze

Périm. $a{+}b{+}c{+}d$

Aire $\dfrac{(a+b)h}{2}$

Triangle

Périm. $a{+}b{+}c$

Aire $\dfrac{a\times h}{2}$

À retenir

Pour toutes les figures faisant intervenir un cercle (disque, cylindre, cône...), on utilise la valeur approchée $\pi\approx3,14$ .

b) Volumes des solides usuels

$B$ désigne l'aire de la base du solide.

Cube

Volume

V=c^3

Pavé droit

Volume

V=L\times l\times h

Prisme droit

Volume

V=B\times h

Cylindre

Volume

V=\pi r^2h

Cône de révolution

Volume

V=\dfrac{\pi r^2h}{3}

Pyramide

Volume

V=\dfrac{B\times h}{3}

03 · L'effet du coefficient k

Agrandissement et réduction

Multiplier toutes les dimensions par k : ce qui change, et ce qui ne change pas.

1. Définition

Définition

Multiplier toutes les dimensions d'une figure ou d'un solide (longueurs des côtés, des arêtes, rayons) par un nombre $k$ , c'est en faire :

un agrandissement si $k>1$ ;
une réduction si $k<1$ .

Remarque : les mesures des angles de la figure restent inchangées.

2. Exemple

Deux solides A et B semblables.

Le solide A est un agrandissement du solide B de coefficient $4$ .

Le solide B est une réduction du solide A de coefficient $\dfrac14$ .

3. Propriété

Propriété

Quand on agrandit ou on réduit une figure, si les dimensions (longueurs) sont multipliées par $k$ , alors :

les aires sont multipliées par $k^2$ ;
les volumes sont multipliés par $k^3$ .

4. Exemples résolus

Exemple 1 · Volume

Un pavé a un volume $V=125\text{ cm}^3$ . Ses dimensions sont multipliées par 2. Quel est le volume du pavé agrandi ?

$V'=125\times2^3=125\times8=1\,000\text{ cm}^3$

Le volume du pavé agrandi est 1 000 cm³.

Exemple 2 · Échelle

Un terrain d'aire $A=900\text{ m}^2$ est représenté sur un plan à l'échelle $\dfrac{1}{2\,000}$ . Quelle est l'aire du terrain sur le plan ?

$A'=900\times\left(\dfrac{1}{2\,000}\right)^{2}=\dfrac{900}{4\,000\,000}=0,000225\text{ m}^2$

Sur le plan, l'aire du terrain est 2,25 cm².

Exemple 3 · Longueur

Une pyramide $SBCD$ est une réduction d'une pyramide $SEFG$ de coefficient $\dfrac13$ . La hauteur de $SEFG$ mesure 3 cm. Calcule la hauteur de $SBCD$ .

$h=\dfrac13\times3=1$

D'où : la hauteur de SBCD est 1 cm.

04 · Révision express

Points clés à retenir

Les trois fiches formulaires du chapitre, en un coup d'œil.

Droites & plans

✔ $(D)\parallel(P)$ si $(D)\subset(P)$ ou si $(D)\cap(P)=\varnothing$
✔ $(D)\parallel(P)$ s'il existe $(\Delta)\subset(P)$ avec $(\Delta)\parallel(D)$
✔ $(D)\perp(P)$ en A si (D) est orthogonale à 2 droites sécantes en A incluses dans (P)
✔ $(D)\perp(P)\Rightarrow(D)\perp$ toute droite incluse dans (P)

Aires & volumes

✔ Carré $a^2$ · Rectangle $a{\times}b$ · Triangle $\dfrac{ah}{2}$
✔ Losange $\dfrac{d_1d_2}{2}$ · Trapèze $\dfrac{(a+b)h}{2}$
✔ Prisme $B{\times}h$ · Pyramide $\dfrac{B\times h}{3}$ (B = aire base)
✔ Cylindre $\pi r^2h$ · Cône $\dfrac{\pi r^2h}{3}$ · Cube $c^3$

Agrandissement & réduction

✔ Coefficient $k>1$ : agrandissement
✔ Coefficient $k<1$ : réduction
✔ Longueurs ×k · angles inchangés
✔ Aires ×k² · Volumes ×k³

Astuce

Pour trouver le rapport de réduction entre deux solides emboîtés (section parallèle à la base d'une pyramide, par exemple), compare deux longueurs correspondantes le long du même sommet : $k=\dfrac{\text{nouvelle longueur}}{\text{longueur d'origine}}$ . Élève ensuite ce rapport au carré pour les aires, au cube pour les volumes.

À toi de jouer

3 exercices corrigés

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0 / 3 vérifiés

1

Volume et réduction

Pour la pyramide $SABCD$ ci-contre : la base est le rectangle $ABCD$ de centre $O$ . $AB=3\text{ cm}$ et $BD=5\text{ cm}$ . La hauteur $[SO]$ mesure 6 cm.

Montre que $AD=4\text{ cm}$ .
Calcule le volume de la pyramide $SABCD$ en cm³.
Soit $O'$ le milieu de $[SO]$ . On coupe la pyramide par un plan passant par $O'$ et parallèle à sa base.
1. Quelle est la nature de la section $A'B'C'D'$ obtenue ?
2. La pyramide $SA'B'C'D'$ est une réduction de la pyramide $SABCD$ . Donne le rapport de cette réduction.
3. Calcule le volume de la pyramide $SA'B'C'D'$ .

2

Droites de l'espace

$ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle. On donne $AE=3\text{ m}$ , $AD=4\text{ m}$ , $AB=6\text{ m}$ .

1. Que peut-on dire des droites $(AE)$ et $(AB)$ ? Justifie.
2. Les droites $(EH)$ et $(AB)$ sont-elles sécantes ?
1. Calcule $EG$ . On donnera la valeur exacte.
2. En considérant le triangle $EGC$ rectangle en $G$ , calcule la valeur exacte de $[EC]$ .
Montre que le volume de $ABCDEFGH$ est égal à 72 m³.
Montre que l'aire totale de $ABCDEFGH$ est égale à 108 m².

3

Section parallèle et réduction

Sur la figure ci-dessous, $SABCD$ est une pyramide à base carrée de hauteur $[SA]$ telle que $AB=9\text{ cm}$ et $SA=12\text{ cm}$ . Le triangle $SAB$ est rectangle en $A$ . $EFGH$ est la section de la pyramide $SABCD$ par le plan parallèle à la base et telle que $SE=3\text{ cm}$ .

1. Calcule $EF$ .
2. Calcule $SB$ .
1. Calcule le volume de la pyramide $SABCD$ .
2. Donne le coefficient de réduction permettant de passer de $SABCD$ à $SEFGH$ .
3. Déduis-en le volume de $SEFGH$ . On donnera une valeur arrondie à l'unité.