Fonction Linéaire et Fonction Affine · Cours et exercices | 3AC

01 · Cas particulier : b = 0

Fonction linéaire

La fonction qui multiplie x par un nombre fixe a. Sa droite passe toujours par l'origine du repère.

1. Définition

Définition

Soit $a$ un nombre réel donné. La relation $f$ qui, à tout réel $x$ , fait correspondre le réel $ax$ s'appelle fonction linéaire de coefficient $a$ , notée $f: x\to ax$ . On dit que $ax$ est l'image de $x$ par $f$ , et on écrit $f(x)=ax$ .

Remarque : une fonction linéaire peut aussi se noter g, h, l…

2. Exemple

On considère $f$ telle que $f(x)=2x$ . Son coefficient est $2$ .

image de −2

$f(-2)=2\times(-2)=-4$

calcul de f(√3)

$f(\sqrt3)=2\times\sqrt3=2\sqrt3$

antécédent de −4

$f(x)=-4 \iff 2x=-4 \iff x=\dfrac{-4}{2}=-2$

Le nombre qui a pour image −4 par f est −2.

3. Propriété du coefficient

Propriété

Soit $a$ un nombre réel donné et $x$ un réel quelconque. Si $f$ est une fonction linéaire de coefficient $a$ , alors :

a=\dfrac{f(x)}{x} \quad \text{et} \quad x\neq0

1

Applique

Soit $g$ une fonction linéaire telle que $g(2)=-4$ . Définis $g$ .

4. Représentation graphique

a) Définition

Définition

Dans un plan muni d'un repère orthonormé, la représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repère, d'équation réduite :

y=ax

a

est le coefficient directeur de la droite

b) Exemple

La droite $(D)$ est la représentation graphique d'une fonction linéaire : elle passe par l'origine $O$ .

La droite (D) passe par l'origine O du repère (O,I,J)

c) Propriété

Propriété

Soient $A$ un point et $(D)$ la représentation graphique d'une fonction linéaire $f$ :

A\in(D) \iff A\big(x_A\,;\,f(x_A)\big) \iff y_A=ax_A

1

Applique

Le plan est muni d'un repère orthonormé. Soit $f$ une fonction linéaire définie par $f(x)=-2x$ et $(D)$ sa représentation graphique. Les points $A(-1\,;5)$ et $B(3\,;-6)$ appartiennent-ils à $(D)$ ?

2

Applique

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O,I,J)$ . Soit $g$ une fonction linéaire définie par $g(x)=-\dfrac12x$ . Trace $(\Delta)$ , la représentation graphique de $g$ .

02 · Le cas général

Fonction affine

On ajoute une constante b à ax. La droite ne passe plus forcément par l'origine, mais tout le reste marche pareil.

1. Définition

Définition

Soient $a$ et $b$ deux réels donnés. La relation $f$ qui, à tout réel $x$ , fait correspondre le réel $ax+b$ s'appelle fonction affine de coefficient $a$ , notée $f: x\to ax+b$ . On dit que $ax+b$ est l'image de $x$ par $f$ , et on écrit $f(x)=ax+b$ .

Remarque : une fonction affine peut aussi se noter g, h, l…

2. Exemple

On considère $f$ telle que $f(x)=-\dfrac12x+3$ . Son coefficient est $-\dfrac12$ .

image de −2

$f(-2)=\dfrac{-1}{2}\times(-2)+3=1+3=4$

calcul de f(2/5)

$f\!\left(\dfrac25\right)=\dfrac{-1}{2}\times\dfrac25+3=\dfrac{-1}{5}+\dfrac{15}{5}=\dfrac{14}{5}$

antécédent de 2/3

$\dfrac{-1}{2}x+3=\dfrac23 \iff \dfrac{-1}{2}x=\dfrac23-3=\dfrac{-7}{3} \iff x=\dfrac{-7}{3}\times\dfrac{2}{-1}=\dfrac{14}{3}$

Le nombre qui a pour image 2/3 par f est 14/3.

3. Propriété du coefficient

Propriété

Soit $a$ un réel donné et $x$ , $x'$ deux réels quelconques. Si $f$ est une fonction affine de coefficient $a$ , alors :

a=\dfrac{f(x)-f(x')}{x-x'} \quad \text{et} \quad x\neq x'

1

Applique

Soit $g$ une fonction affine telle que $g(-3)=9$ et $g(0)=-6$ . Définis $g$ .

4. Représentation graphique

a) Définition

Définition

Dans un plan muni d'un repère orthonormé, la représentation graphique d'une fonction affine est une droite d'équation réduite :

y=ax+b

a

: coefficient directeur ·

b

: ordonnée à l'origine

b) Exemple

Soit $f$ une fonction affine définie par $f(x)=2x+1$ . Traçons $(D)$ dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ .

$x$	$1$	$-2$
$f(x)$	$3$	$-3$
$M(x\,;f(x))$	$A(1\,;3)$	$B(-2\,;-3)$

Donc $(D)=(AB)$

1

Applique

Soit $g$ une fonction affine telle que sa représentation graphique $(\Delta)$ passe par les points $A(1\,;2)$ et $B(-1\,;-4)$ .

Montre que $g(x)=3x-1$ .
Détermine les coordonnées de $E$ , intersection de $(\Delta)$ et l'axe des abscisses.
Détermine les coordonnées de $F$ , intersection de $(\Delta)$ et l'axe des ordonnées.

2

Applique

Soient $f$ une fonction linéaire de représentation graphique $(D)$ , et $g$ une fonction affine de représentation graphique $(\Delta)$ , telles que $f(x)=-4x$ et $g(x)=2x+2$ . Détermine les coordonnées de $E$ , point d'intersection de $(D)$ et $(\Delta)$ .

03 · Révision express

Points clés à retenir

Le comparatif pour ne plus jamais confondre les deux fonctions.

Fonction linéaire

✔ Expression : $f(x)=ax$
✔ Coefficient : $a=\dfrac{f(x)}{x}$ , $x\neq0$
✔ Droite passant par l'origine O
✔ Un seul point (hors O) suffit pour la tracer

Fonction affine

✔ Expression : $f(x)=ax+b$
✔ Coefficient : $a=\dfrac{f(x)-f(x')}{x-x'}$ , $x\neq x'$
✔ Droite quelconque (ordonnée à l'origine b)
✔ Deux points sont nécessaires pour la tracer

Astuce

Pour déterminer une fonction affine $f(x)=ax+b$ à partir de deux images : calcule d'abord $a$ avec la formule du coefficient, remplace-le dans $f(x)=ax+b$ , puis utilise une des deux images connues pour isoler $b$ .

À toi de jouer

5 exercices corrigés

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0 / 5 vérifiés

1

Calcul et construction

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O,I,J)$ .

Soit $f$ la fonction linéaire dont la représentation graphique passe par $K(2,3)$ .
1. Vérifie que $f(x)=\dfrac32x$ .
2. Calcule $f(-4)$ .
3. Détermine le nombre qui a pour image 6 par $f$ .
On considère la fonction affine $g$ telle que $g(0)=6$ et $g(4)=0$ . Détermine l'expression de $g(x)$ .
Construis les représentations graphiques de $f$ et $g$ dans un même repère $(O,I,J)$ .

2

Calcul et lecture graphique

On considère la fonction linéaire $g$ telle que $g(x)=\dfrac12x$ .
1. Calcule l'image de −4 par $g$ .
2. Quel est le nombre qui a pour image 6 par $g$ ?
3. Construis la représentation graphique de $g$ dans un repère $(O,I,J)$ .
Dans la figure ci-dessous, la droite $(D)$ est la représentation graphique de la fonction affine $f$ .
1. Détermine l'image de 2 par $f$ .
2. Quel est le nombre qui a pour image 1 par $f$ ?
3. Détermine $f(x)$ en fonction de $x$ .

Lis les coordonnées de deux points de (D) sur la grille

3

Calcul et construction

$f$ et $g$ sont deux fonctions définies par $f:x\to2x$ et $g:x\to4x-1$ .

Calcule $f(2)$ , $g(2)$ , $g(0)$ et $g(1)$ .
Détermine $a$ , l'antécédent de −20 par $f$ , et $b$ , l'antécédent de −10 par $g$ .
Dans un repère orthogonal, trace $(C_f)$ et $(C_g)$ .

4

Calcul et appartenance

$f$ est une fonction linéaire telle que $f(-2)=8$ , et $g$ est une fonction affine telle que $g(2)=3$ et $g(3)=9$ .

Détermine $f(x)$ et $g(x)$ .
Calcule le nombre qui a pour image 15 par $g$ .
Le point $A\!\left(\dfrac54,5\right)$ appartient-il à $(C_f)$ ?

5

Lecture graphique

Le graphique ci-dessous représente deux fonctions $f$ et $g$ :

Droite rouge : $f$ · Droite bleue : $g$

Fonction f

Quelle est la nature de $f$ ?
Calcule $f(-3)$ .
Quel est l'antécédent de 1 par $f$ ?
Trouve l'expression de $f$ .

Fonction g

Quelle est la nature de $g$ ?
Calcule $g(3)$ .
Quel est l'antécédent de −2 par $g$ ?
Trouve l'expression de $g$ .

Fonction Linéaire & Fonction Affine