3ᵉ Année Collège · Chapitre 1

Équations et inéquations

Une égalité se résout, une inégalité aussi, presque de la même façon, sauf un piège à ne jamais oublier.

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notions clés

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exercices corrigés

100%

corrigé

01 · Les équations

Équations du premier degré

Une équation compare deux expressions avec un signe = : on cherche les valeurs de x qui rendent cette égalité vraie.
ax+b=0ax+b=0
a, b, x : nombres réels

exemples

2x+11=02x+11=02 x−1=0\sqrt{2}\,x-1=0−3x+7=0-3x+\sqrt{7}=0

Résoudre une équation

Définition

Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs possibles de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie. Chacune de ces valeurs est appelée solution.

Résolution de ax+b=0ax+b=0 : quatre cas possibles

Cas 1 · solution unique

Si a≠0a\neq0 et b≠0b\neq0 :

ax+b=0  ⟺  ax=−b  ⟺  x=−baax+b=0 \iff ax=-b \iff x=\dfrac{-b}{a}

Solution unique −ba\dfrac{-b}{a}.

Cas 2 · solution unique

Si a≠0a\neq0 et b=0b=0 :

ax+b=0  ⟺  ax=0  ⟺  x=0ax+b=0 \iff ax=0 \iff x=0

Solution unique 00.

Cas 3 · aucune solution

Si a=0a=0 et b≠0b\neq0 :

ax+b=0  ⟺  0x=−b(impossible)ax+b=0 \iff 0x=-b \quad \text{(impossible)}

Pas de solution : S=∅S=\varnothing.

Cas 4 · infinité de solutions

Si a=0a=0 et b=0b=0 :

ax+b=0  ⟺  0x=0ax+b=0 \iff 0x=0

Tous les réels sont solutions : S=RS=\mathbb{R}.

Exemples résolus

exemple 1

2x+3=02x=−3x=−32\begin{aligned} 2x+\sqrt{3}&=0\\ 2x&=-\sqrt{3}\\ x&=\dfrac{-\sqrt{3}}{2} \end{aligned}

Solution unique : −32\dfrac{-\sqrt3}{2}

exemple 2

−3x−9=−3x+2−3x+3x=2+90x=11\begin{aligned} -3x-9&=-3x+2\\ -3x+3x&=2+9\\ 0x&=11 \end{aligned}

Impossible → pas de solution (S=∅S=\varnothing)

exemple 3

5x+6=2(x+3)5x+6=2x+65x−2x=6−63x=0x=0\begin{aligned} 5x+6&=2(x+3)\\ 5x+6&=2x+6\\ 5x-2x&=6-6\\ 3x&=0\\ x&=0 \end{aligned}

Solution unique : 00

exemple 4

6x2−2=3x−26x2−42=6x−426x−4=6x−40x=0\begin{aligned} \dfrac{6x}{2}-2&=3x-2\\ \dfrac{6x}{2}-\dfrac{4}{2}&=\dfrac{6x-4}{2}\\ 6x-4&=6x-4\\ 0x&=0 \end{aligned}

Tous les réels sont solutions (S=RS=\mathbb{R})

Résolution de (ax + b)(cx + d) = 0

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

Définition · règle du produit nul

aa, bb, cc, dd et xx sont des nombres réels. Les solutions de l'équation

(ax+b)(cx+d)=0(ax+b)(cx+d)=0

sont les solutions de ax+b=0ax+b=0 et de cx+d=0cx+d=0.

Exemples résolus

exemple 1

(2x+1)(x−3)=0(2x+1)(x-\sqrt3)=0
2x+1=0oux−3=0x=−12oux=3\begin{aligned} 2x+1=0 &\quad\text{ou}\quad x-\sqrt3=0\\ x=\dfrac{-1}{2} &\quad\text{ou}\quad x=\sqrt3 \end{aligned}

Deux solutions : −12\dfrac{-1}{2} et 3\sqrt3

exemple 2

7x(5+x)=07x(\sqrt5+x)=0
7x=0ou5+x=0x=0oux=−5\begin{aligned} 7x=0 &\quad\text{ou}\quad \sqrt5+x=0\\ x=0 &\quad\text{ou}\quad x=-\sqrt5 \end{aligned}

Deux solutions : 00 et −5-\sqrt5

exemple 3

4x2−9=0(2x)2−32=0(2x−3)(2x+3)=02x−3=0ou2x+3=0x=32oux=−32\begin{aligned} 4x^2-9&=0\\ (2x)^2-3^2&=0\\ (2x-3)(2x+3)&=0\\ 2x-3=0 &\quad\text{ou}\quad 2x+3=0\\ x=\dfrac32 &\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{-3}{2} \end{aligned}

Deux solutions : 32\dfrac32 et −32\dfrac{-3}{2}

exemple 4

2x(x−1)=4(x−1)2x(x−1)−4(x−1)=0(x−1)(2x−4)=0x=1oux=2\begin{aligned} 2x(x-1)&=4(x-1)\\ 2x(x-1)-4(x-1)&=0\\ (x-1)(2x-4)&=0\\ x=1 &\quad\text{ou}\quad x=2 \end{aligned}

Deux solutions : 11 et 22

Mise en équation de problèmes

Méthode

Pour résoudre un problème, on suit quatre étapes :

  1. Choix de l'inconnue.
  2. Mise en équation.
  3. Résolution de l'équation et vérification.
  4. Retour au problème.

« La somme des âges de Aziz, de sa mère et de sa grand-mère est 90 ans. La grand-mère a le double de l'âge de la mère et l'âge de Aziz est le tiers de celui de sa mère. Quel est l'âge de chacune ? »

1

Choix de l'inconnue

Soit xx l'âge de la mère.

2

Mise en équation

L'âge de la grand-mère est 2x2x et l'âge de Aziz est x3\dfrac{x}{3}. La somme des âges vaut 90 :

x+2x+x3=90x+2x+\dfrac{x}{3}=90
3

Résolution et vérification

3x+6x+x3=27033x+6x+x=27010x=270x=27\begin{aligned} \dfrac{3x+6x+x}{3}&=\dfrac{270}{3}\\ 3x+6x+x&=270\\ 10x&=270\\ x&=27 \end{aligned}

Vérification : 2×27+27+273=54+27+9=902\times27+27+\dfrac{27}{3}=54+27+9=90 ✓

✓

Retour au problème

27 ans

Âge de la mère

54 ans

Âge de la grand-mère

9 ans

Âge de Aziz

02 · Les inéquations

Inéquations du premier degré

Même principe, mais avec <, >, ≤ ou ≥ : la solution n'est plus une valeur unique, mais tout un intervalle.

Définition

Soient aa, bb et xx des nombres réels. Toute inégalité de la forme

ax+b>0ouax+b≥0ouax+b<0ouax+b≤0ax+b>0 \quad\text{ou}\quad ax+b\geq0 \quad\text{ou}\quad ax+b<0 \quad\text{ou}\quad ax+b\leq0

s'appelle inéquation du premier degré à une inconnue xx.

exemples

2x+2≥02x+\sqrt2\geq012x−7>0\dfrac12 x-7>0x3+1≤0x\sqrt3+1\leq0x+42<0\dfrac{x+4}{2}<0

Résoudre une inéquation

On isole x comme pour une équation. La solution est un intervalle, qu'on peut représenter sur une droite graduée.

exemple 1

2x−1>02x-1>0
2x>1x>12\begin{aligned} 2x&>1\\ x&>\dfrac12 \end{aligned}

Tous les réels strictement supérieurs à 12\dfrac12 sont solutions.

01/2solutions

exemple 2

3x−2≥2x−73x-2\geq2x-7
3x−2x≥−7+2x≥−5\begin{aligned} 3x-2x&\geq-7+2\\ x&\geq-5 \end{aligned}

Tous les réels supérieurs ou égaux à −5-5 sont solutions.

0-5solutions

exemple 3

x−5>3x−9x-5>3x-9
x−3x>−9+5−2x>−4−x>−42−x>−2x<2\begin{aligned} x-3x&>-9+5\\ -2x&>-4\\ -x&>\dfrac{-4}{2}\\ -x&>-2\\ x&<2 \end{aligned}

Tous les réels strictement inférieurs à 22 sont solutions.

À retenir

Pour passer de −x>−2-x>-2 à x<2x<2, on a multiplié les deux membres par −1-1 : en multipliant (ou divisant) par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse.

02solutions

exemple 4

3x−54≤−x−1\dfrac{3x-5}{4}\leq-x-1
3x−54≤−4x−443x−5≤−4x−43x+4x≤−4+57x≤1x≤17\begin{aligned} \dfrac{3x-5}{4}&\leq\dfrac{-4x-4}{4}\\ 3x-5&\leq-4x-4\\ 3x+4x&\leq-4+5\\ 7x&\leq1\\ x&\leq\dfrac17 \end{aligned}

Tous les réels inférieurs ou égaux à 17\dfrac17 sont solutions.

01/7solutions

03 · Fiche mémo

Points clés à retenir

Les cinq réflexes indispensables avant d'attaquer les exercices.

Règle du produit nul

A×B=0  ⟺  A=0 ou B=0A\times B=0 \iff A=0 \ \text{ou}\ B=0

Un produit est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.

La règle du signe

En multipliant ou divisant les deux membres d'une inéquation par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse.

−2x>−4  ⟺  x<2-2x>-4 \iff x<2

Identités remarquables

a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b)
(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Utiles pour factoriser certaines équations (exercices 4 et 5).

Les 4 cas de ax + b = 0

  • a≠0, b≠0a\neq0,\ b\neq0 x=−bax=\frac{-b}{a}
  • a≠0, b=0a\neq0,\ b=0 x=0x=0
  • a=0, b≠0a=0,\ b\neq0 S=∅S=\varnothing
  • a=0, b=0a=0,\ b=0 S=RS=\mathbb{R}

Méthode pour un problème

1. Choix de l'inconnue
2. Mise en équation
3. Résolution + vérification
4. Retour au problème

À toi de jouer

10 exercices corrigés

Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier.

0 / 10 vérifiés

1
Équations · premier degré
3 équations
a
5x−1=2x+75x-1=2x+7
b
7x−3(4x+2)=2−5(x−1)7x-3(4x+2)=2-5(x-1)
c
4x−7−2(4x+1)=−2(3+2x)−34x-7-2(4x+1)=-2(3+2x)-3
2
Équations · racines carrées
5 équations
a-b
2x+2=0;2 x+5=82x+\sqrt2=0 \qquad;\qquad \sqrt2\,x+5=8
c
2x+42=−2(32+x)2x+4\sqrt2=-2(3\sqrt2+x)
d
x3+2=x2+3x\sqrt3+\sqrt2=x\sqrt2+\sqrt3
e
7(x+1)−37=x−2\sqrt7(x+1)-3\sqrt7=x-2
3
Équations · fractions
4 équations
a
x+23−1−2x5=7x+115\dfrac{x+2}{3}-\dfrac{1-2x}{5}=\dfrac{7x+1}{15}
b
1−2x4+2x−13=4−8x\dfrac{1-2x}{4}+\dfrac{2x-1}{3}=4-8x
c
32 x−12−x+13=x−1\dfrac{3\sqrt2\,x-1}{2}-\dfrac{x+1}{3}=x-1
d
3(x−1)2−2(x+1)3=33+22\dfrac{\sqrt3(x-1)}{2}-\dfrac{\sqrt2(x+1)}{3}=3\sqrt3+2\sqrt2
4
Équations · produit nul
3 équations
a
(x−18)(x+13)=0(x-18)(x+13)=0
b
(3x+4)(−2x+5)=0(3x+4)(-2x+5)=0
c
7x(−3x−11)(25−x)=07x(-3x-11)(25-x)=0
5
Équations · identités remarquables
6 équations
a
4x2−9=2x+34x^2-9=2x+3
b
49x2=28x−449x^2=28x-4
c
9x2+24x+16=09x^2+24x+16=0
d
x2−25=0x^2-25=0
e
(x2+3)(x−2)+(2x+3)(x2+3)=0(x^2+3)(x-2)+(2x+3)(x^2+3)=0
f
(x+1)(x−3)=(x+1)(3x−4)(x+1)(x-3)=(x+1)(3x-4)
6
Inéquations · premier degré
6 inéquations
a
−x2+3x−4<2-\dfrac{x}{2}+3x-4<2
b
2x5−12>x3+13\dfrac{2x}{5}-\dfrac12>\dfrac{x}{3}+\dfrac13
c
3x−23≤10−x33x-\dfrac23\leq10-\dfrac{x}{3}
d
25x−15≥−14\dfrac25 x-\dfrac15\geq-\dfrac14
e
2x−15>x+13\dfrac{2x-1}{5}>\dfrac{x+1}{3}
f
7x−53≥5x−3\dfrac{7x-5}{3}\geq5x-3
7
Inéquations · racines carrées
6 inéquations
a
11(1−x)≤3(x−1)\sqrt{11}(1-x)\leq3(x-1)
b
2 x−12−x22<x2\dfrac{\sqrt2\,x-1}{\sqrt2}-\dfrac{x}{2\sqrt2}<\dfrac{x}{2}
c
7(x−5)+4x≥2(x+5)7(x-\sqrt5)+4x\geq2(x+\sqrt5)
d
x+32−2x4>23\dfrac{x+\sqrt3}{2}-\dfrac{2x}{4}>2\sqrt3
e
x2+1−x2−1≤5\dfrac{x}{\sqrt2+1}-\dfrac{x}{\sqrt2-1}\leq\sqrt5
f
2x+42≥−2(32+x)2x+4\sqrt2\geq-2(3\sqrt2+x)
8
Problème · nombres consécutifs

La somme de trois nombres entiers naturels consécutifs est 216. Quels sont ces nombres ?

9
Problème · âges

Actuellement, l'âge de Saïd est le double de celui de Mourad. Dans 7 ans, ils auront à eux deux 71 ans. Quel est l'âge de chacun ?

10
Problème · partage
2 questions

Quatre personnes partagent une somme d'argent. Le premier prend 16\dfrac16, le second les 25\dfrac25, le troisième le 310\dfrac{3}{10} ; il reste 240 dhs pour le quatrième.

  1. Quel est le montant de la somme à partager ?
  2. Quelle est la part de chacun ?

Équations et inéquations · Mathématiques, 3ème année collège, semestre 2.