3ᵉ Année Collège · Chapitre 4

L'équation d'une droite

Chaque droite du plan porte sa propre carte d'identité : une équation. Coefficient directeur, ordonnée à l'origine, parallèles et perpendiculaires.

Découvrir le cours S'entraîner

propriétés clés

exercices corrigés

100%

corrigé

= mx + p

01 · La définition

L'équation réduite d'une droite

Dans un repère orthonormé, chaque droite non verticale possède une équation unique de cette forme.

y = mx + p

m : coefficient directeur · p : ordonnée à l'origine

le coefficient directeur

$m$ est aussi appelé la pente de la droite.

l'ordonnée à l'origine

$p$ est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des $y$ .

exemple

Soit $(D)$ une droite d'équation réduite $y=-3x+\dfrac12$ .

Coefficient directeur de

(D)

-3

Ordonnée à l'origine de

(D)

\dfrac12

Remarques importantes

Toute droite d'équation réduite $y=m$ ( $m\neq0$ ) est parallèle à l'axe des abscisses et passe par le point $(0\,;\,m)$ .

Figure 1 · droite $y=m$

Toute droite d'équation réduite $x=n$ ( $n\neq0$ ) est parallèle à l'axe des ordonnées et passe par le point $(n\,;\,0)$ .

Figure 2 · droite $x=n$

Condition d'appartenance d'un point à une droite

Règle

Soient $(\Delta)$ une droite d'équation réduite $y=mx+p$ et $A$ un point.

y_A = mx_A + p \iff A \in (\Delta)

Soit $(D)$ la droite d'équation réduite $y=-2x+1$ . Vérifions si $A(2\,;-3)$ et $B(-1\,;4)$ appartiennent à $(D)$ .

$y_A=-3$ et $-2x_A+1=-2\times2+1=-3$

Donc $y_A=-2x_A+1$

✓ $A \in (D)$

$y_B=4$ et $-2x_B+1=-2\times(-1)+1=3$

Donc $y_B\neq-2x_B+1$

✗ $B \notin (D)$

Tracer une droite à partir de son équation

Traçons la droite $(\Delta)$ d'équation réduite $y=2x-1$ , à l'aide d'un tableau de valeurs :

$(\Delta)$	$x$	$y$	$M(x\,;y)$
A	$1$	$1$	$A(1\,;1)$
B	$-1$	$-3$	$B(-1\,;-3)$

Donc : $(\Delta)=(AB)$

02 · La méthode

Trouver m et p

Deux façons classiques de retrouver l'équation réduite d'une droite.

1. Une droite qui passe par deux points connus

Il suffit de connaître deux points de la droite.

Propriété

Si $y=mx+p$ est une équation réduite d'une droite $(AB)$ , alors :

m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \qquad \text{avec}\quad x_B\neq x_A

Dans un repère orthonormé $(O;I;J)$ , on considère $A(2\,;1)$ et $B(3\,;-2)$ . Déterminons l'équation réduite de $(AB)$ .

Cherchons m

m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-2-1}{3-2}=\dfrac{-3}{1}=-3

Donc : $y=-3x+p$

Cherchons p

On a $A\in(AB)$ , donc $y_A=-3x_A+p$ :

1=-3\times2+p \;\Rightarrow\; 1=-6+p \;\Rightarrow\; p=7

✓

Conclusion

\boxed{y=-3x+7}

2. Une droite dont on connaît le coefficient directeur et un point

Le coefficient directeur est déjà donné : il ne reste qu'à trouver p.

On considère $A(2\,;-4)$ . Déterminons l'équation réduite de $(L)$ , passant par $A$ et de coefficient directeur $\dfrac{-1}{2}$ .

Forme de départ

L'équation réduite de $(L)$ est de la forme $y=\dfrac{-1}{2}x+p$ .

Cherchons p

On a $A\in(L)$ , donc $y_A=\dfrac{-1}{2}x_A+p$ :

-4=\dfrac{-1}{2}\times2+p \;\Rightarrow\; -4=-1+p \;\Rightarrow\; p=-3

✓

Conclusion

\boxed{y=\dfrac{-1}{2}x-3}

03 · Positions relatives

Droites parallèles et perpendiculaires

Tout se joue sur le coefficient directeur : même valeur pour le parallélisme, produit égal à −1 pour la perpendicularité.

1. Droites parallèles

Propriété

Soient $m$ et $m'$ les coefficients directeurs de $(D)$ et $(\Delta)$ .

(D)\parallel(\Delta) \iff m=m'

Exemple · vérifier un parallélisme

$(D)$ : $y=-2x+1$ et $A(1\,;1)$ , $B(2\,;-1)$ . Vérifions si $(D)\parallel(AB)$ .

m=-2 \qquad m'=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-1-1}{2-1}=\dfrac{-2}{1}=-2

✓ $m=m'$ donc $(D)\parallel(AB)$

Exemple · construire une parallèle

$(D)$ : $y=3x-1$ . Déterminons $(\Delta)$ , passant par $E(2\,;-1)$ , parallèle à $(D)$ .

Cherchons m

$(D)\parallel(\Delta)$ donc $m=m'=3$ : $y=3x+p$

Cherchons p

-1=3\times2+p \;\Rightarrow\; -1=6+p \;\Rightarrow\; p=-7

✓

Conclusion

\boxed{y=3x-7}

2. Droites perpendiculaires

Propriété

Soient $m$ et $m'$ les coefficients directeurs de $(D)$ et $(\Delta)$ .

(D)\perp(\Delta) \iff m\times m'=-1

Exemple · vérifier une perpendicularité

$(D)$ : $y=2x-3$ et $A(4\,;-1)$ , $B(2\,;0)$ . Vérifions si $(D)\perp(AB)$ .

m=2 \qquad m'=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{0-(-1)}{2-4}=\dfrac{1}{-2}=\dfrac{-1}{2}

$m\times m'=2\times\dfrac{-1}{2}=-1$

✓ $m\times m'=-1$ donc $(D)\perp(AB)$

Exemple · construire une perpendiculaire

$(D)$ : $y=-3x+1$ . Déterminons $(\Delta)$ , passant par $E(2\,;1)$ , perpendiculaire à $(D)$ .

Cherchons m

m\times(-3)=-1 \;\Rightarrow\; m=\dfrac{-1}{-3}=\dfrac13

D'où : $y=\dfrac13x+p$

Cherchons p

1=\dfrac13\times2+p \;\Rightarrow\; 1=\dfrac23+p \;\Rightarrow\; p=\dfrac13

✓

Conclusion

\boxed{y=\dfrac13x+\dfrac13}

04 · Fiche mémo

Points clés à retenir

Les six formules indispensables avant d'attaquer les exercices.

Équation réduite

y=mx+p

$m$ : coefficient directeur (pente) · $p$ : ordonnée à l'origine.

Coefficient directeur

m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}

Valable pour une droite $(AB)$ , à condition que $x_B\neq x_A$ .

Appartenance

y_A=mx_A+p \iff A\in(\Delta)

On remplace les coordonnées de $A$ dans l'équation.

Droites parallèles

(D)\parallel(\Delta) \iff m=m'

Même coefficient directeur.

Droites perpendiculaires

(D)\perp(\Delta) \iff m\times m'=-1

Le produit des coefficients directeurs vaut $-1$ .

Cas particuliers

$y=m\ (m\neq0)$ ∥ axe des x
$x=n\ (n\neq0)$ ∥ axe des y

À toi de jouer

7 exercices corrigés

Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier.

0 / 7 vérifiés

Équation réduite de (AB)

5 questions

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;I;J)$ . On considère $A(-1\,;-4)$ et $B(3\,;4)$ .

Tracer la droite $(AB)$ .
Donner le coefficient directeur de $(AB)$ .
Donner l'ordonnée à l'origine de $(AB)$ .
Donner l'équation réduite de $(AB)$ .
Le point $C(7\,;12)$ appartient-il à $(AB)$ ?

Forme réduite

6 équations

(D): 5x=2-y

(D'): y-\dfrac34=2x

(\Delta): 2y=4x+6

Δ'

(\Delta'): 3y-5x=9

(M): 3y-6x+12=0

(M'): y-7=5(x-2)

Construire une équation

4 droites

$(\Delta)$ de coefficient directeur $3$ , passant par $A(0\,;-3)$ .
$(\Delta')$ de pente $\dfrac23$ , passant par $B(2\,;5)$ .
$(D)$ d'ordonnée à l'origine $4$ , passant par $C(5\,;0)$ .
$(D')$ de coefficient directeur $\sqrt3$ , passant par l'origine $(O;I;J)$ .

Appartenance et inconnues

2 questions

Soit $(D)$ : $y=3x-1$ . Parmi $A(3\,;8)$ , $B(4\,;-11)$ , $C(7\,;22)$ et $D(0\,;1)$ , lesquels appartiennent à $(D)$ ?
Soit $(\Delta)$ : $y=-2x+1$ . Calculer $a$ , $b$ et $c$ sachant que $E(a\,;-3)$ , $F(b+1\,;-3b)$ et $G(-c\,;-3c+1)$ appartiennent à $(\Delta)$ .

Trois droites

3 droites

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;I;J)$ . On considère $A(1\,;-1)$ ; $B(2\,;3)$ ; $C(-1\,;1)$ et $D(-2\,;3)$ .

Déterminer l'équation réduite de $(AB)$ .
Déterminer l'équation réduite de $(BC)$ .
Déterminer l'équation réduite de $(AD)$ .

Parallèles et perpendiculaires

3 droites

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;I;J)$ .

Déterminer l'équation réduite de $(D)$ passant par $A(1\,;2)$ et parallèle à $(L): y=3x+1$ .
Déterminer l'équation réduite de $(\Delta)$ passant par $B(2\,;3)$ et parallèle à $(M): y=\dfrac32x-1$ .
Déterminer l'équation réduite de $(D')$ passant par $C(1\,;-3)$ et perpendiculaire à $(K): y=\dfrac12x+3$ .

Vecteurs, milieu et médiatrice

5 questions

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;I;J)$ . On considère $A(2\,;3)$ ; $B(-2\,;5)$ et $C(2\,;2)$ .

Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ puis en déduire que $AB=2\sqrt5$ .
Déterminer les coordonnées du point $M$ , milieu de $[AB]$ .
Déterminer l'équation réduite de $(AB)$ .
Déterminer l'équation réduite de $(D)$ passant par $C$ et parallèle à $(AB)$ .
Déterminer l'équation réduite de $(\Delta)$ , médiatrice de $[AB]$ .

Équation d'une droite · Mathématiques, 3ème année collège, semestre 2.