Triangles Semblables

Montrer que ces deux triangles sont semblables.

$ABC$ est un triangle équilatéral. $M$, $N$, $P$ sont des points de $[BC]$, $[CA]$, $[AB]$ tels que $BM=CN=AP$.

1. Démontrer que les triangles $BMP$, $CNM$ et $NAP$ sont isométriques deux à deux.
2. En déduire que $MNP$ est équilatéral.

$ABCD$ est un carré de centre $O$, $M$ un point de $[AB]$. On mène par $B$ la perpendiculaire à $(CM)$ qui coupe $(AD)$ en $P$.

1. Démontrer que $\widehat{MCB}=\widehat{ABP}$.
2. En déduire que $MCB$ et $ABP$ sont isométriques et que $MB=AP$.
3. Démontrer que $OMB$ et $OPA$ sont isométriques.
4. En déduire que $POM$ est rectangle et isocèle.

$ABC$ est isocèle en $A$. La médiatrice de $[AC]$ coupe $(BC)$ en $D$. Le point $E$ de $(AD)$ est tel que $AE=BD$.

1. Démontrer que $ABD$ et $ACE$ sont isométriques.
2. En déduire que $CDE$ est isocèle.

$ABCD$ est un carré. Le cercle $(\mathcal C)$ de diamètre $[AB]$ et de centre $O$ est tangent à $[AD]$ et $[BC]$ (en $A$ et $B$). La tangente issue de $D$ touche $(\mathcal C)$ en $M$ et coupe $(BC)$ en $R$.

1. Démontrer que $OAD$ et $OMD$ sont isométriques.
2. Démontrer que $OMR$ et $OBR$ sont isométriques. En déduire la nature de $DCR$.

1. Quel théorème permet de montrer que $DAC$ et $BAE$ sont semblables ?
2. Quel est le rapport des aires de ces deux triangles ?
3. Rédiger la démonstration complète montrant que $DAC$ et $BAE$ sont semblables.