3ᵉ Année Collège · Chapitre 8

Triangle Rectangle et Trigonométrie

Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu, formules trigonométriques, angles particuliers : un cours illustré, deux exemples résolus, puis 9 exercices corrigés en détail.

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3

rapports trigonométriques

9

exercices corrigés

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corrigé

01 · Cosinus

Cosinus d'un angle aigu

Dans un triangle rectangle, on associe à chaque angle aigu trois nombres, cosinus, sinus et tangente, définis comme des quotients de longueurs de côtés.

Le cosinus d'un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse.

Vocabulaire

CAB①②③
[AC] est le côté adjacent à l'angle ACB^\widehat{ACB}
[AB] est le côté adjacent à l'angle ABC^\widehat{ABC}
[BC] est l'hypoténuse

Notations

ABCABC est un triangle rectangle en AA

cos⁡ABC^=ABBC\cos\widehat{ABC}=\dfrac{AB}{BC}cos⁡ACB^=ACBC\cos\widehat{ACB}=\dfrac{AC}{BC}

02 · Sinus

Sinus d'un angle aigu

Même principe que le cosinus, mais avec le côté opposé.

Le sinus d'un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de l'hypoténuse.

Vocabulaire

CAB①②③
[AC] est le côté opposé à l'angle ABC^\widehat{ABC}
[AB] est le côté opposé à l'angle ACB^\widehat{ACB}
[BC] est l'hypoténuse

Notations

ABCABC est un triangle rectangle en AA

sin⁡ABC^=ACBC\sin\widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC}sin⁡ACB^=ABBC\sin\widehat{ACB}=\dfrac{AB}{BC}

03 · Tangente

Tangente d'un angle aigu

Le rapport entre les deux côtés de l'angle droit, sans passer par l'hypoténuse.

La tangente d'un angle aigu est égale au quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de son côté adjacent.

Vocabulaire

CAB①②
[AC] : opposé à ABC^\widehat{ABC}, adjacent à ACB^\widehat{ACB}
[AB] : opposé à ACB^\widehat{ACB}, adjacent à ABC^\widehat{ABC}

Notations

ABCABC est un triangle rectangle en AA

tan⁡ABC^=ACAB\tan\widehat{ABC}=\dfrac{AC}{AB}tan⁡ACB^=ABAC\tan\widehat{ACB}=\dfrac{AB}{AC}

Si xx désigne la mesure d'un angle aigu non nul, alors :

0<cos⁡x<10\lt\cos x\lt1 et 0<sin⁡x<10\lt\sin x\lt1

Exercice d'application

1
Cosinus, sinus, tangente à partir de deux côtés

Soit ABCABC un triangle rectangle en BB tel que AB=6AB=6 cm et BC=8BC=8 cm.

  1. Tracer la figure.
  2. Calculer cos⁡ACB^\cos\widehat{ACB}, sin⁡ACB^\sin\widehat{ACB} et tan⁡ACB^\tan\widehat{ACB}.
ABC6 cm8 cm
ABCABC rectangle en BBAB=6AB=6 cmBC=8BC=8 cm

04 · Deux relations utiles

Formules trigonométriques

Ces relations permettent de calculer un rapport sans connaître les longueurs du triangle.

Propriété 1

cos⁡2x+sin⁡2x=1tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\cos^2x+\sin^2x=1 \qquad \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}
pour tout angle aigu non nul x

Propriété 2 (angles complémentaires)

Si xx et yy sont deux angles aigus non nuls tels que x+y=90∘x+y=90^\circ, alors :

cos⁡x=sin⁡y\cos x=\sin ysin⁡x=cos⁡y\sin x=\cos ytan⁡x=1tan⁡y\tan x=\dfrac1{\tan y}
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont toujours complémentaires (leur somme vaut 90∘90^\circ) : cette propriété s'y applique donc systématiquement.

Exercice d'application

2
Calculer avec les formules trigonométriques
A=2cos⁡15∘+cos⁡236∘−2sin⁡75∘+cos⁡254∘A=2\cos15^\circ+\cos^236^\circ-2\sin75^\circ+\cos^254^\circ
B=tan⁡73∘×tan⁡17∘−sin⁡240∘−sin⁡250∘B=\tan73^\circ\times\tan17^\circ-\sin^240^\circ-\sin^250^\circ
C=2cos⁡45∘+sin⁡230∘+sin⁡260∘+3tan⁡30∘C=\sqrt2\cos45^\circ+\sin^230^\circ+\sin^260^\circ+\sqrt3\tan30^\circ

05 · À apprendre par cœur

Angles particuliers

Les valeurs exactes de sinus, cosinus et tangente pour cinq angles clés.
xx0∘0^\circ30∘30^\circ45∘45^\circ60∘60^\circ90∘90^\circ
sin⁡x\sin x0012\dfrac1222\dfrac{\sqrt2}232\dfrac{\sqrt3}211
cos⁡x\cos x1132\dfrac{\sqrt3}222\dfrac{\sqrt2}212\dfrac1200
tan⁡x\tan x0033\dfrac{\sqrt3}3113\sqrt3Indéterminé

Entraînement

9 exercices corrigés

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1
Cosinus, sinus, tangente
ABC rectangle en A
CAB
1On donne AB=3AB=3 et BC=5BC=5. Calculer ACAC ; cos⁡ABC^\cos\widehat{ABC} ; sin⁡ABC^\sin\widehat{ABC} ; tan⁡ABC^\tan\widehat{ABC}.
2On donne AC=7AC=7 et BC=9BC=9. Calculer ABAB ; cos⁡ACB^\cos\widehat{ACB} ; sin⁡ACB^\sin\widehat{ACB} ; tan⁡ACB^\tan\widehat{ACB}.
3On donne AB=1AB=1 et AC=3AC=\sqrt3. Calculer BCBC ; cos⁡ABC^\cos\widehat{ABC} ; sin⁡ABC^\sin\widehat{ABC} ; tan⁡ABC^\tan\widehat{ABC}.
4On donne BC=8BC=8 et cos⁡ABC^=16\cos\widehat{ABC}=\dfrac16. Calculer ABAB ; ACAC ; sin⁡ABC^\sin\widehat{ABC} ; tan⁡ABC^\tan\widehat{ABC}.
5On donne AB=7AB=7 et tan⁡ABC^=2\tan\widehat{ABC}=2. Calculer BCBC ; ACAC ; sin⁡ACB^\sin\widehat{ACB} ; cos⁡ACB^\cos\widehat{ACB}.
2
Identité trigonométrique
α angle aigu
1Calculer sin⁡α\sin\alpha et tan⁡α\tan\alpha sachant que cos⁡α=13\cos\alpha=\dfrac13.
2Calculer sin⁡α\sin\alpha et tan⁡α\tan\alpha sachant que cos⁡α=53\cos\alpha=\dfrac{\sqrt5}3.
3Calculer cos⁡α\cos\alpha et tan⁡α\tan\alpha sachant que sin⁡α=23\sin\alpha=\dfrac{\sqrt2}3.
4Calculer sin⁡α\sin\alpha et tan⁡α\tan\alpha sachant que cos⁡α=35\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}5.
5Calculer sin⁡α\sin\alpha et cos⁡α\cos\alpha sachant que tan⁡α=6\tan\alpha=\sqrt6.
6Calculer sin⁡α\sin\alpha et cos⁡α\cos\alpha sachant que tan⁡α=11\tan\alpha=\sqrt{11}.
3
Angles complémentaires
A=cos⁡235∘+sin⁡233∘+sin⁡235∘+cos⁡233∘A=\cos^235^\circ+\sin^233^\circ+\sin^235^\circ+\cos^233^\circ
B=cos⁡215∘+cos⁡275∘−2tan⁡35∘×tan⁡55∘B=\cos^215^\circ+\cos^275^\circ-2\tan35^\circ\times\tan55^\circ
C=sin⁡25∘−sin⁡65∘+cos⁡25∘−cos⁡65∘C=\sin25^\circ-\sin65^\circ+\cos25^\circ-\cos65^\circ
4
Simplifier
α angle aigu
A=(cos⁡α+sin⁡α)2+(cos⁡α−sin⁡α)2A=(\cos\alpha+\sin\alpha)^2+(\cos\alpha-\sin\alpha)^2
B=2cos⁡2α+3sin⁡2α−2B=2\cos^2\alpha+3\sin^2\alpha-2
C=11+cos⁡α+11−cos⁡α−2sin⁡2αC=\dfrac1{1+\cos\alpha}+\dfrac1{1-\cos\alpha}-\dfrac2{\sin^2\alpha}
D=sin⁡α1−cos⁡α1+cos⁡α+cos⁡α1+sin⁡α1−sin⁡αD=\sin\alpha\sqrt{1-\cos\alpha}\sqrt{1+\cos\alpha}+\cos\alpha\sqrt{1+\sin\alpha}\sqrt{1-\sin\alpha}
5
Démonstration

α\alpha est un angle aigu. Montrer que :

cos⁡2α=11+tan⁡2α\cos^2\alpha=\dfrac1{1+\tan^2\alpha}
6
Bissectrice et théorème de Thalès

ABCABC est un triangle rectangle et isocèle en AA tel que AB=xAB=x. La bissectrice intérieure de ABC^\widehat{ABC} coupe la droite (AC)(AC) en DD. La parallèle à (BD)(BD) passant par AA coupe la droite (BC)(BC) en EE.

CABDExx
(BC)(BC) : hypoténuse
(BD)(BD) : bissectrice de ABC^\widehat{ABC}
(AE)(AE) : parallèle à (BD)(BD)
(CE)(CE) : droite (BC)(BC) prolongée

Figure illustrative, non à l'échelle.

  1. Montrer que DC=x22+1DC=\dfrac{x\sqrt2}{\sqrt2+1}.
  2. Calculer en fonction de xx les distances ADAD et BDBD.
  3. Déduire cos⁡(22,5∘)\cos(22{,}5^\circ) et sin⁡(22,5∘)\sin(22{,}5^\circ).
7
Problème concret : hauteur d'un arbre

Déterminer la hauteur ECEC (l'arbre est planté au point EE, à la verticale).

BAEC30 m29°43°
BA=30BA=30 mCBE^=29∘\widehat{CBE}=29^\circCAE^=43∘\widehat{CAE}=43^\circ(CE)⊥(BE)(CE)\perp(BE)
8
Problème : figure composée

On donne BD=4BD=4 cm, BA=6BA=6 cm et DBC^=60∘\widehat{DBC}=60^\circ, avec D,B,AD,B,A alignés et (DC)⊥(DA)(DC)\perp(DA). On ne demande pas de figure en vraie grandeur.

CDBA4 cm6 cm60°
BD=4BD=4 cmBA=6BA=6 cmDBC^=60∘\widehat{DBC}=60^\circBDC^=90∘\widehat{BDC}=90^\circ
  1. Montrer que BC=8BC=8 cm.
  2. Calculer CDCD (valeur arrondie au dixième).
  3. Calculer ACAC.
  4. Quelle est la valeur de tan⁡BAC^\tan\widehat{BAC} ?
  5. En déduire la valeur arrondie au degré de BAC^\widehat{BAC}.
9
Démonstration : une inégalité

Soient aa et bb deux réels, α\alpha un angle aigu. Montrer que :

(asin⁡α+bcos⁡α)2⩽a2+b2(a\sin\alpha+b\cos\alpha)^2\leqslant a^2+b^2

Triangle rectangle et trigonométrie · Mathématiques, 3ème année collège, semestre 1.