3ᵉ Année Collège · Chapitre 5

Le Théorème de Thalès

Deux droites sécantes coupées par deux parallèles : un cours illustré, deux exemples résolus pas à pas, la réciproque du théorème, et 6 exercices de brevet corrigés.

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exemples résolus

exercices de brevet

100%

corrigé

01 · Deux configurations

Le théorème de Thalès

Il permet de calculer une longueur ou un rapport de longueurs dès que deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles.

Soient $(D)$ et $(D')$ deux droites sécantes en un point $A$ . Soient $B$ et $M$ deux points de $(D)$ distincts de $A$ , et $C$ et $N$ deux points de $(D')$ distincts de $A$ , tels que $(BC) \parallel (MN)$ . Cette situation se présente sous deux formes.

Configuration « triangle »

B, M sur (D) · C, N sur (D′) · même côté de A

Configuration « papillon »

B, M de part et d'autre de A (idem C, N)

Dans les deux cas, on obtient la même relation :

$\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{BC}{MN}$ (ou son inverse)

Propriété (Théorème de Thalès)

Soient $(D)$ et $(D')$ deux droites sécantes en $A$ . Soient $B$ et $M$ deux points de $(D)$ distincts de $A$ , et $C$ et $N$ deux points de $(D')$ distincts de $A$ .

Si $(BC) \parallel (MN)$ , alors :

\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{BC}{MN} \qquad \text{ou} \qquad \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}

On utilise le théorème de Thalès pour calculer des longueurs, ou pour comparer / calculer des rapports de longueurs.

Cas particulier : le triangle

Soit $ABC$ un triangle. Soit $M$ un point de $(AB)$ distinct de $A$ et $B$ , et $N$ un point de $(AC)$ distinct de $A$ et $C$ .

Si $(BC) \parallel (MN)$ , alors :

\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{BC}{MN}

Exemple résolu

Trapèze : calculer une longueur

$ABCD$ est un trapèze de bases $[AB]$ et $[CD]$ , avec $EB=2$ cm, $BC=1$ cm et $DC=6$ cm ( $E$ intersection des côtés obliques).

EB=2

BC=1

DC=6

Montrer que $\dfrac{AB}{DC}=\dfrac23$ .
En déduire la longueur $AB$ .

02 · Démontrer un parallélisme

La réciproque du théorème de Thalès

On l'utilise dans l'autre sens : pour démontrer que deux droites sont parallèles, à partir de longueurs connues.

Soient $(D)$ et $(D')$ deux droites sécantes en $A$ . Soient $B$ et $M$ deux points de $(D)$ distincts de $A$ , et $C$ et $N$ deux points de $(D')$ distincts de $A$ .

\text{Si } \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC} \quad (\text{ou } \dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AN})

… et si $A,B,M$ d'une part, et $A,C,N$ d'autre part, sont alignés dans le même ordre, alors :

$(BC) \parallel (MN)$

On utilise la réciproque du théorème de Thalès pour démontrer que deux droites sont parallèles.

Cas particulier : le triangle

Soit $ABC$ un triangle, $M$ un point de $(AB)$ distinct de $A$ et $B$ , $N$ un point de $(AC)$ distinct de $A$ et $C$ .

Si $\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AN}$ (ou $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$ ) et si $A,B,M$ et $A,C,N$ sont alignés dans le même ordre, alors :

(BC) \parallel (MN)

Exemple résolu

Démontrer un parallélisme

$AD=21$ cm, $AB=14$ cm, $AE=33$ cm et $CE=11$ cm. Démontrer que $(DE) \parallel (BC)$ .

AD=21

AB=14

AE=33

CE=11

Entraînement

Exercices : propriété de Thalès

6 exercices authentiques, tirés de sujets du Brevet des collèges (session 2000) : Rennes, Clermont-Ferrand, Grenoble, Réunion, Nantes et Paris.

0 / 6 vérifiés

Rennes · 2000

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles ; les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont sécantes en $O$ .

OA=8

OB=10

OC=2

DC=1{,}5

Calculer la longueur du segment $[AB]$ .
Calculer la longueur du segment $[OD]$ .

Clermont-Ferrand · 2000

Figure tracée à main levée (on ne demande pas de la refaire).

IR=8

RP=10

IP=4

IM=4

IS=10

IN=6

IT=5

Démontrer que $(ST)$ et $(RP)$ sont parallèles.
En déduire $ST$ .
Les droites $(MN)$ et $(ST)$ sont-elles parallèles ? Justifier.

Grenoble · 2000

Triangle $ABC$ . $E$ point de $[AB]$ ; la parallèle à $(BC)$ passant par $E$ coupe $[AC]$ en $D$ .

(BF) en pointillé, question 2

AE=BC=3

EB=AD=2

Montrer que $ED=1{,}8$ .
Sur $[DE)$ , on place $F$ tel que $DF=3$ . $(AD)$ et $(BF)$ sont-elles parallèles ?

Réunion · 2000

Calculer la valeur exacte de $ST$ sachant que $(QR) \parallel (UV)$ et $(UV) \parallel (ST)$ .

RP=4

QR=2{,}4

PV=2

PS=4{,}5

Nantes · 2000

Champ rectangulaire $ABCD$ traversé par une route de largeur uniforme. $(AC) \parallel (MN)$ .

(AC) en pointillé · route en grisé

AB=100

BC=40

AM=24

Valeur arrondie au décimètre de $AC$ .
Longueur $MB$ .
Longueur $BN$ .

Paris · 2000

$ABCD$ parallélogramme. $E$ sur la droite $(AD)$ , $AE=1{,}5$ cm, $E$ hors du segment $[AD]$ ; $(EC)$ coupe $[AB]$ en $M$ .

(EC) pointillé orange · (AN) pointillé indigo

AB=8

AD=4{,}5

AE=1{,}5

Calculer $AM$ .
Placer $N$ sur $[DC]$ tel que $DN=\dfrac34DC$ . Démontrer que $(AN)$ et $(EC)$ sont parallèles.

Théorème de Thalès · Mathématiques, 3ème année collège, semestre 1.