3ᵉ Année Collège · Chapitre 7

Le Théorème de Pythagore

Calculer un côté d'un triangle rectangle à partir des deux autres : un cours illustré, deux exemples résolus pas à pas, la réciproque du théorème, et 10 exercices corrigés.

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exemples résolus

exercices corrigés

100%

corrigé

01 · L'exemple qui explique tout

Le théorème de Pythagore

Il permet de calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle dès que l'on connaît les deux autres.

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB=3$ cm, $AC=4$ cm et $BC=5$ cm. Comparons $BC^2$ et $AB^2+AC^2$ .

On a :

$BC^2=5^2=25$

$AB^2+AC^2=3^2+4^2=9+16=25$

$BC^2=AB^2+AC^2$

Propriété (Théorème de Pythagore)

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit.

Autrement dit, si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ , alors :

BC^2=AB^2+AC^2

On utilise le théorème de Pythagore pour calculer des longueurs.

Exercice d'application

Calculer un côté de l'angle droit

Soit $EFG$ un triangle rectangle en $G$ tel que $EF=7$ cm et $EG=3$ cm. Calculer $FG$ .

EFG

rectangle en

G

EF=7

EG=3

02 · Démontrer qu'un triangle est rectangle

La réciproque du théorème de Pythagore

On l'utilise dans l'autre sens : pour démontrer qu'un triangle est rectangle, à partir de longueurs connues.

Si, dans un triangle, le carré de la longueur d'un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

Autrement dit, si dans un triangle $ABC$ on a :

BC^2=AB^2+AC^2

alors $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ .

On utilise la réciproque du théorème de Pythagore pour montrer qu'un triangle est rectangle.

Exercice d'application

Montrer qu'un triangle est rectangle

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=2\sqrt2$ cm, $AC=\sqrt3$ cm et $BC=\sqrt5$ cm. Montrer que $ABC$ est un triangle rectangle.

AB=2\sqrt2

AC=\sqrt3

BC=\sqrt5

Entraînement

Exercices : théorème de Pythagore

Hauteur dans un triangle, terrain rectangulaire, carré, losange, pavé droit, aires. Cherchez chaque exercice au brouillon, puis vérifiez.

0 / 10 vérifiés

Hauteur et triangle

$(AH)$ est la hauteur du triangle $ABC$ issue de $A$ , avec $H$ sur $[BC]$ .

AB=10

BH=8

HC=2{,}5

Calculer la longueur $AH$ .
En déduire la longueur $AC$ .
Le triangle $ABC$ est-il rectangle ?

Terrain rectangulaire

Un terrain de football rectangulaire mesure 95 m de longueur et 72 m de largeur.

Figure illustrative, non à l'échelle

Longueur = 95 mLargeur = 72 m

Faire une figure à main levée.
Calculer la diagonale du terrain (arrondir au centième).

Carré

Un foulard est un carré d'étoffe de 60 cm de côté. Calculer la longueur d'une diagonale (arrondir au dixième).

Figure illustrative, non à l'échelle

Côté = 60 cm

Triangle isocèle

$ABC$ est isocèle en $A$ avec $AB=AC=6$ cm et $BC=5$ cm.

AB=AC=6

BC=5

Construire ce triangle et sa hauteur $[AH]$ .
Calculer la hauteur $AH$ (arrondie au dixième).

Triangle équilatéral

$IJK$ est équilatéral de côté 4 cm. Calculer la longueur des médianes (arrondie au dixième).

IJ=JK=KI=4

Losange

$ABCD$ est un losange de centre $O$ avec $AC=20$ cm et $BD=48$ cm.

Figure illustrative, non à l'échelle

AC=20

BD=48

Faire une figure à main levée.
Calculer $AB$ .
Calculer le périmètre de ce losange.

Rectangle

$ABCD$ est un rectangle, $AB=3$ cm et $BC=10$ cm, et $I$ est le point de $[BC]$ tel que $BI=1$ cm.

AB=3

BC=10

BI=1

Faire une figure.
Calculer $AI^2$ et $DI^2$ .
Montrer que le triangle $AID$ est rectangle en $I$ .

Pavé droit

$ABCDEFGH$ est un pavé droit de longueur 4 cm, largeur 3 cm et hauteur 12 cm.

Longueur

EH=4

cmLargeur

HG=3

cmHauteur

AE=12

Calculer la longueur $EG$ puis la diagonale $AG$ .

Aire d'un triangle

$(OC)$ est la hauteur du triangle $BCD$ issue de $C$ . But : déterminer l'aire du triangle $BCD$ .

OA=6

AB=8

DC=25

BC=26

cmAngle droit en

A

O

Calculer $OB$ , puis $OC$ , puis $OD$ .
En déduire l'aire du triangle $BCD$ (aire = base × hauteur ÷ 2).

Aire et hauteur

$ABC$ est rectangle en $A$ . $(AH)$ est la hauteur issue du sommet de l'angle droit.

ABC

rectangle en

A

AB=4

AC=3

BC=5

Exprimer l'aire du triangle en fonction de $AB$ et $AC$ .
Exprimer l'aire du triangle en fonction de $AH$ et $BC$ .
En déduire une égalité liant $AB$ , $AC$ , $BC$ et $AH$ .

2) Calculer $AH$ pour $AB=4$ , $AC=3$ , $BC=5$ .

Théorème de Pythagore · Mathématiques, 3ème année collège, semestre 1.