3ᵉ Année Collège · Chapitre 4

Racines carrées

Définir √a, résoudre l'équation x²=a, puis apprendre à simplifier, multiplier, diviser et rationaliser. Toutes les propriétés illustrées par des exemples résolus.

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exercices

39

expressions

100%

corrigé

01 · D'où ça vient

La racine carrée d'un nombre positif

Trois exemples pour comprendre l'idée, puis la définition générale.

racine entière

Le nombre positif dont le carré vaut 44 est 22.

4=2\sqrt4=2

racine décimale

Le nombre positif dont le carré vaut 0,250{,}25 est 0,50{,}5.

0,25=0,5\sqrt{0{,}25}=0{,}5

racine rationnelle

Le nombre positif dont le carré vaut 1649\dfrac{16}{49} est 47\dfrac47.

1649=47\sqrt{\dfrac{16}{49}}=\dfrac47

Soit aa un réel positif ou nul (a≥0a\geq0). La racine carrée de aa, c'est le nombre réel positif dont le carré est égal à aa, noté a\sqrt a. Le symbole  \sqrt{\ } s'appelle le symbole radical.

Quatre pièges à ne jamais confondre

La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas. Exemple : −9\sqrt{-9} n'existe pas.
La racine carrée d'un nombre positif n'est jamais négative. Exemple : 25≠−5\sqrt{25}\neq-5.
L'opposé de a\sqrt a (avec a≥0a\geq0) est −a-\sqrt a. Exemple : l'opposé de 11\sqrt{11} est −11-\sqrt{11}.
Deux valeurs à connaître par cœur : 0=0\sqrt0=0 et 1=1\sqrt1=1.

À apprendre par cœur · les carrés parfaits de 1 à 20

1=1\sqrt1=1
4=2\sqrt4=2
9=3\sqrt9=3
16=4\sqrt{16}=4
25=5\sqrt{25}=5
36=6\sqrt{36}=6
49=7\sqrt{49}=7
64=8\sqrt{64}=8
81=9\sqrt{81}=9
100=10\sqrt{100}=10
121=11\sqrt{121}=11
144=12\sqrt{144}=12
169=13\sqrt{169}=13
196=14\sqrt{196}=14
225=15\sqrt{225}=15
256=16\sqrt{256}=16
289=17\sqrt{289}=17
324=18\sqrt{324}=18
361=19\sqrt{361}=19
400=20\sqrt{400}=20

Application · simplifier

144\sqrt{144}
1212
19\sqrt{\dfrac19}
13\dfrac13
1625\sqrt{\dfrac{16}{25}}
45\dfrac45
381\dfrac3{\sqrt{81}}
13\dfrac13
0,360,25\dfrac{\sqrt{0{,}36}}{0{,}25}
125\dfrac{12}5
1214\dfrac{\sqrt{121}}4
114\dfrac{11}4

02 · Deux opérations qui s'annulent

Le carré d'une racine carrée

Élever au carré et prendre la racine carrée s'annulent l'un l'autre, sous conditions.
a2=(a)2=a\sqrt{a^2}=(\sqrt a)^2=a
pour a>0a\gt0, et (−a)2=a\sqrt{(-a)^2}=a
32=3\sqrt{3^2}=3
(−11)2=11\sqrt{(-11)^2}=11
(52)2=52\left(\sqrt{\dfrac52}\right)^2=\dfrac52
(−67)2=67\sqrt{\left(\dfrac{-6}7\right)^2}=\dfrac67

Remarque importante

(−7)2≠(−7)2\sqrt{(-7)^2}\neq(\sqrt{-7})^2, car (−7)2=7\sqrt{(-7)^2}=7 alors que (−7)2(\sqrt{-7})^2 n'existe pas (on ne prend jamais la racine carrée d'un nombre négatif).

03 · Trois cas à connaître

Résolution de l'équation x² = a

Le nombre de solutions dépend entièrement du signe de a.

Si a>0a\gt0

Deux solutions opposées :

x=a ou x=−ax=\sqrt a\ \text{ou}\ x=-\sqrt a

Si a=0a=0

Une seule solution :

x=0x=0

Si a<0a\lt0

Pas de solution :

∅\varnothing

Pourquoi (cas a > 0) : la démonstration

x2−a=0x^2-a=0

x2−a2=0x^2-\sqrt a^2=0

(x−a)(x+a)=0(x-\sqrt a)(x+\sqrt a)=0

x−a=0 ou x+a=0x-\sqrt a=0\ \text{ou}\ x+\sqrt a=0

x=a ou x=−ax=\sqrt a\ \text{ou}\ x=-\sqrt a

Application · résoudre

3x2=153x^2=15

x2=153=5x^2=\dfrac{15}3=5

x=5 ou x=−5x=\sqrt5\ \text{ou}\ x=-\sqrt5
3(x2+1)=33(x^2+1)=3

3x2=0⇒x2=03x^2=0 \Rightarrow x^2=0

x=0x=0
2x2+11=52x^2+11=5

x2=−3x^2=-3 (impossible)

Pas de solution

04 · La technique la plus utile

Extraire un carré parfait

Faire sortir un facteur du radical pour simplifier une racine.
a2×b=ab\sqrt{a^2\times b}=a\sqrt b
a, b réels positifs non nuls
32×7=37\sqrt{3^2\times7}=3\sqrt7
49×5=75\sqrt{49\times5}=7\sqrt5
22×52×3=103\sqrt{2^2\times5^2\times3}=10\sqrt3
74×2=492\sqrt{7^4\times2}=49\sqrt2
53=55\sqrt{5^3}=5\sqrt5
37×5=2715\sqrt{3^7\times5}=27\sqrt{15}
45=35\sqrt{45}=3\sqrt5
1125=155\sqrt{1125}=15\sqrt5

Application · simplifier puis calculer

a=(3)4×52×27a=\sqrt{(\sqrt3)^4\times5^2\times2^7}

=32×52×22×22×22×2=\sqrt{3^2\times5^2\times2^2\times2^2\times2^2\times2}

=3×5×2×2×22=3\times5\times2\times2\times2\sqrt2

a=1202a=120\sqrt2
b=22+32+62b=\sqrt{2^2+3^2+6^2}

=4+9+36=49=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}

b=7b=7
c=25+81−29c=\sqrt{25}+\sqrt{81}-2\sqrt9

=5+9−2×3=14−6=5+9-2\times3=14-6

c=8c=8
d=(32+5)(32−5)d=(3\sqrt2+\sqrt5)(3\sqrt2-\sqrt5)

=(32)2−(5)2=18−5=(3\sqrt2)^2-(\sqrt5)^2=18-5

d=13d=13
e=96+224−354e=\sqrt{96}+2\sqrt{24}-3\sqrt{54}

=46+46−96=(4+4−9)6=4\sqrt6+4\sqrt6-9\sqrt6=(4+4-9)\sqrt6

e=−6e=-\sqrt6

05 · Produit, quotient, rationalisation

Les opérations sur les racines carrées

Multiplier, diviser, puis ne jamais laisser de racine carrée seule au dénominateur.

Produit

Pour a≥0a\geq0 et b≥0b\geq0

a×b=a×b\sqrt a\times\sqrt b=\sqrt{a\times b}
5×3=15\sqrt5\times\sqrt3=\sqrt{15}
−7×2=−14-\sqrt7\times\sqrt2=-\sqrt{14}
2×5×(−10)=−100=−10\sqrt2\times\sqrt5\times(-\sqrt{10})=-\sqrt{100}=-10

Quotient

Pour a≥0a\geq0 et b>0b\gt0

ab=ab\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\dfrac ab}
123=4=2\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt3}=\sqrt4=2
−755=−15\dfrac{-\sqrt{75}}{\sqrt5}=-\sqrt{15}

Propriété 1 · dénominateur = une seule racine

Soient aa et bb réels, b>0b\gt0 :

1b=1b=bb\sqrt{\dfrac1b}=\dfrac1{\sqrt b}=\dfrac{\sqrt b}bab=abb\dfrac a{\sqrt b}=\dfrac{a\sqrt b}b
17=17=77\sqrt{\dfrac17}=\dfrac1{\sqrt7}=\dfrac{\sqrt7}7
25=255\dfrac2{\sqrt5}=\dfrac{2\sqrt5}5
3211=31122\dfrac3{2\sqrt{11}}=\dfrac{3\sqrt{11}}{22}

Propriété 2 · expression du conjugué

Pour supprimer le radical au dénominateur, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Le conjugué de a−ba-b est a+ba+b, et le conjugué de a+ba+b est a−ba-b.

32−5\dfrac3{\sqrt2-\sqrt5}

=3(2+5)(2−5)(2+5)=32+352−5=\dfrac{3(\sqrt2+\sqrt5)}{(\sqrt2-\sqrt5)(\sqrt2+\sqrt5)}=\dfrac{3\sqrt2+3\sqrt5}{2-5}

=−2−5=-\sqrt2-\sqrt5
34−6\dfrac{\sqrt3}{4-\sqrt6}

=3(4+6)(4−6)(4+6)=43+1816−6=\dfrac{\sqrt3(4+\sqrt6)}{(4-\sqrt6)(4+\sqrt6)}=\dfrac{4\sqrt3+\sqrt{18}}{16-6}

=43+3210=\dfrac{4\sqrt3+3\sqrt2}{10}

Entraînement

7 exercices corrigés

Exercices officiels du professeur (2013/2014), suivis d'exercices supplémentaires ciblant chaque propriété du cours.

0 / 7 vérifiés

1
Calculer et simplifier
6 expressions

Résultat sous la forme aba\sqrt b (a,ba,b entiers, bb minimal) :

A=2160+490−240A=2\sqrt{160}+4\sqrt{90}-2\sqrt{40}
B=32×18×8B=\sqrt{32}\times\sqrt{18}\times\sqrt8

Résultat sous la forme a+bca+b\sqrt c (a,b,ca,b,c entiers) :

C=(26−510)2C=(2\sqrt6-5\sqrt{10})^2
D=(35+52)2D=(3\sqrt5+5\sqrt2)^2

Résultat sous la forme d'un nombre entier :

E=(2−42)(2+42)E=(2-4\sqrt2)(2+4\sqrt2)
F=64541296F=\dfrac{64\sqrt{54}}{12\sqrt{96}}
2
Calculer et simplifier
6 expressions

Résultat sous la forme aba\sqrt b :

A=40+5160+290A=\sqrt{40}+5\sqrt{160}+2\sqrt{90}
B=54×96×24B=\sqrt{54}\times\sqrt{96}\times\sqrt{24}

Résultat sous la forme a+bca+b\sqrt c :

C=(45+6)2C=(4\sqrt5+\sqrt6)^2
D=(42−3)2D=(4\sqrt2-\sqrt3)^2

Résultat sous la forme d'un nombre entier :

E=(4−52)(4+52)E=(4-5\sqrt2)(4+5\sqrt2)
F=2445980F=\dfrac{24\sqrt{45}}{9\sqrt{80}}
3
Calculer et simplifier
6 expressions

Résultat sous la forme aba\sqrt b :

A=212−327−48A=2\sqrt{12}-3\sqrt{27}-\sqrt{48}
B=48×27×12B=\sqrt{48}\times\sqrt{27}\times\sqrt{12}

Résultat sous la forme a+bca+b\sqrt c :

C=(410+36)2C=(4\sqrt{10}+3\sqrt6)^2
D=(33−32)2D=(3\sqrt3-3\sqrt2)^2

Résultat sous la forme d'un nombre entier :

E=(3−410)(3+410)E=(3-4\sqrt{10})(3+4\sqrt{10})
F=2740690F=\dfrac{27\sqrt{40}}{6\sqrt{90}}
4
Extraire le plus grand carré parfait
6 expressions
150\sqrt{50}
272\sqrt{72}
3200\sqrt{200}
498\sqrt{98}
548\sqrt{48}
675\sqrt{75}
5
Résoudre les équations
6 équations
1x2=49x^2=49
2x2=0x^2=0
35x2=805x^2=80
4x2+9=0x^2+9=0
53x2−27=03x^2-27=0
62x2=502x^2=50
6
Calculer avec produit ou quotient
4 expressions
13×12\sqrt3\times\sqrt{12}
27×7\sqrt7\times\sqrt7
3982\dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt2}
46×24\sqrt6\times\sqrt{24}
7
Rendre le dénominateur rationnel
5 expressions
115\dfrac1{\sqrt5}
232\dfrac3{\sqrt2}
347\dfrac4{\sqrt7}
423−1\dfrac2{\sqrt3-1}
553+2\dfrac5{3+\sqrt2}

★ Révision rapide

Fiche mémo

Toutes les formules du chapitre réunies en un coup d'œil.

01 · Définition

a, a≥0\sqrt a,\ a\geq0

02 · Valeurs

0=0 ; 1=1\sqrt0=0\ ;\ \sqrt1=1

03 · Opposé

oppos. de a=−a\text{oppos. de } \sqrt a=-\sqrt a

04 · Carré

a2=a (a>0)\sqrt{a^2}=a\ (a>0)

05 · Carré parfait

a2b=ab\sqrt{a^2b}=a\sqrt b

06 · Produit

ab=ab\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}

07 · Quotient

ab=ab\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\dfrac ab}

08 · Rationaliser

ab=abb\dfrac a{\sqrt b}=\dfrac{a\sqrt b}b

09 · Équation x² = a, les trois cas

a>0⇒x=±aa=0⇒x=0a<0⇒pas de solutiona\gt0\Rightarrow x=\pm\sqrt a \qquad a=0\Rightarrow x=0 \qquad a\lt0\Rightarrow \text{pas de solution}

Racines carrées · Mathématiques, 3ème année collège, semestre 1.