Puissances · Cours et exercices corrigés | 3AC

01 · La définition

C'est quoi, une puissance ?

Le nombre réel a, à la puissance n (« a à l'exposant n »), est défini par :

a^{n}=\underbrace{a\times a\times a\times\cdots\times a}_{n\ \text{fois}}

avec $a\in\mathbb{R}$ (a est un nombre réel quelconque) et $n\in\mathbb{N}^{*}$ (n est un entier naturel non nul).

02 · Par cœur

Quatre règles par convention

Quatre cas particuliers à connaître avant tout le reste.

a^0

Exposant nul

a^{0}=1

3^{0}=1

(-5{,}75)^{0}=1

\left(\dfrac{\pi}{5}\right)^{0}=1

a^1

Exposant un

a^{1}=a

3^{1}=3

(-5{,}75)^{1}=-5{,}75

x^{1}=x

a^{-1}

Exposant moins un

a^{-1}=\dfrac{1}{a}

3^{-1}=\dfrac{1}{3}

10^{-1}=\dfrac{1}{10}=0{,}1

x^{-1}=\dfrac{1}{x}

a^{-n}

Exposant négatif

a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}

3^{-2}=\dfrac{1}{3^{2}}=\dfrac{1}{9}

10^{-3}=\dfrac{1}{10^{3}}=0{,}001

x^{-2}=\dfrac{1}{x^{2}}

Remarque

0^{0}

n'est pas défini, il n'existe pas.

03 · Trois réflexes

Règles de calcul

Valables pour

n,p\in\mathbb{Z}

(entiers relatifs).

a^na^p

Produit de puissances

a^{n}\times a^{p}=a^{n+p}

2^{3}\times2^{4}=2^{7}

10^{3}\times10^{-4}=10^{-1}=0{,}1

x^{2}\times x^{3}=x^{5}

(a^n)^p

Puissance d'une puissance

(a^{n})^{p}=a^{n\times p}

(2^{3})^{4}=2^{12}

(10^{3})^{-4}=10^{-12}=\dfrac{1}{10^{12}}

(x^{2})^{3}=x^{6}

a^n/a^p

Quotient de puissances

\dfrac{a^{n}}{a^{p}}=a^{n-p}

\dfrac{2^{3}}{2^{7}}=2^{-4}=\dfrac{1}{2^{4}}

\dfrac{10^{3}}{10^{-2}}=10^{5}=100\,000

\dfrac{x^{3}}{x}=x^{2}

04 · Deux nombres, une puissance

Puissance d'un produit et d'un quotient

Valables pour

a,b\in\mathbb{R}

(

b\neq0

) et

n\in\mathbb{Z}

.

(ab)^n

Puissance d'un produit

(a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{n}

(5\times3)^{2}=5^{2}\times3^{2}=\mathbf{225}

5^{5}\times2^{5}=(5\times2)^{5}=\mathbf{100\,000}

(3x)^{2}=3^{2}\times x^{2}=\mathbf{9x^{2}}

(-2x)^{3}=(-2)^{3}\times x^{3}=\mathbf{-8x^{3}}

(a/b)^n

Puissance d'un quotient

\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}

et

\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}=\dfrac{b^{n}}{a^{n}}

\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}=\dfrac{2^{2}}{3^{2}}=\mathbf{\dfrac{4}{9}}

\left(\dfrac{10}{3}\right)^{-2}=\left(\dfrac{3}{10}\right)^{2}=\mathbf{0{,}09}

\left(\dfrac{x}{4}\right)^{2}=\mathbf{\dfrac{x^{2}}{16}}

05 · Un format universel

Notation scientifique

Les puissances de 10 et une méthode simple pour écrire n'importe quel nombre sous une forme compacte.

Puissances positives

10^{n}=\underbrace{10\times10\times\cdots\times10}_{n\ \text{fois}}

1 suivi de n zéros

10^{3}=1\,000

· mille

10^{6}=1\,000\,000

· 1 million

10^{9}=1\,000\,000\,000

· 1 milliard

10^{12}=1\,000\,000\,000\,000

· 1 billion*

* En français. En anglais, « billion » désigne $10^{9}$ (un milliard), un faux-ami classique.

Puissances négatives

10^{-n}=\dfrac{1}{10^{n}}

0 virgule n zéros puis 1

10^{-1}=0{,}1

· 1 dixième

10^{-2}=0{,}01

· 1 centième

10^{-3}=0{,}001

· 1 millième

10^{-6}=0{,}000\,001

· 1 millionième

Écrire un nombre en écriture scientifique, c'est l'exprimer sous la forme :

a\times10^{\,n}

avec a, un nombre compris entre 1 et 10 (10 exclu), et n un entier relatif.

Nombres $\geq 1$ en valeur absolue → exposant positif

9{,}5=\mathbf{9{,}5}\times10^{0}

50{,}7=\mathbf{5{,}07}\times10^{1}

1\,000=\mathbf{1}\times10^{3}

1\,234=\mathbf{1{,}234}\times10^{3}

-25{,}1=\mathbf{-2{,}51}\times10^{1}

Nombres $<1$ en valeur absolue → exposant négatif

0{,}5=\mathbf{5}\times10^{-1}

0{,}02=\mathbf{2}\times10^{-2}

0{,}0123=\mathbf{1{,}23}\times10^{-2}

0{,}000\,15=\mathbf{1{,}5}\times10^{-4}

-0{,}7=\mathbf{-7}\times10^{-1}

À toi de jouer

5 exercices corrigés

Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier.

0 / 5 vérifiés

1

Écrire sous forme d'une puissance

5 expressions

1

A=(2^{3})^{2}

2

B=7^{5}\times3^{5}

3

C=(10^{4})^{3}\times10^{-5}

4

D=\dfrac{2^{4}}{2^{-3}}

5

E=\dfrac{5^{9}\times5^{-2}}{5^{4}}

2

Calculer et simplifier

6 expressions

1

E=(-2)^{3}-3^{3}

2

F=\dfrac{7\times10^{5}}{2\times10^{-3}}

3

G=\dfrac{(-3)^{5}\times5^{5}}{15^{2}\times3^{3}}

4

H=\dfrac{6{,}3\times10^{-4}\times15\times10^{6}}{3^{3}\times10^{2}}

5

I=\dfrac{11\times10^{7}}{4\times(10^{3})^{5}}

6

J=\dfrac{54\times10^{-1}-83\times10^{-2}}{10^{-2}}

3

Calculer et simplifier

3 expressions · a, b, c réels non nuls

1

E=\dfrac{a^{4}\times(ab^{-2})^{4}}{(ab^{-1})^{6}}

2

F=\dfrac{(ab^{2})^{2}\times(a^{2}b)^{-2}\times(a^{3}b^{2})^{-2}}{(a^{-1}b)^{3}\times(a^{2}b^{-1})^{-2}\times a^{4}b^{-2}}

3

G=\dfrac{(a^{3}b^{-2})^{5}\times c^{5}}{(a^{-1}c)^{3}\times(b^{2}c^{-1})^{-2}\times a^{18}b^{-7}}

4

Puissance de 10, puis écriture décimale

12 expressions

1

(10^{1})^{5}

2

(10^{4})^{2}

3

(10^{1})^{-1}

4

(10^{-8})^{0}

5

10^{4}\times10^{8}

6

10^{-4}\times10^{0}

7

10^{1}\times10^{5}

8

10^{-5}\times10^{-2}

9

\dfrac{10^{-8}}{10^{5}}

10

\dfrac{10^{-1}}{10^{-6}}

11

\dfrac{10^{-5}}{10^{5}}

12

\dfrac{10^{-6}}{10^{4}}

5

Écriture scientifique

10 expressions

1

M=\dfrac{3{,}6\times10^{4}}{4\times10^{6}}

2

N=\dfrac{3{,}2\times10^{5}}{2\times10^{6}}

3

P=\dfrac{12\times10^{-4}\times5\times10^{6}}{15\times10^{3}\times2\times10^{2}}

4

Q=10^{-4}\times0{,}2\times10^{3}\times\dfrac{1}{10^{2}}

5

R=3^{2}\times2-125\times10^{-1}

6

S=(5\times10^{-14})\times(0{,}4\times10^{16})\times\left(\dfrac{0{,}00056}{7}\right)

7

T=\dfrac{10^{-8}\times0{,}7\times10^{12}}{21\times10^{3}}

8

U=\dfrac{24\times10^{2}\times3{,}5\times10^{5}}{8\times10^{-1}\times21\times10^{4}}

9

V=\dfrac{4\times(10^{-2})^{3}\times10^{2}}{12\times10^{-3}}

10

W=\dfrac{1{,}5\times10^{-5}\times(2\times10^{3})^{2}}{0{,}14\times10^{2}}

Corrections calculées et vérifiées pas à pas (non fournies dans le document original du professeur).

Révision rapide

Fiche mémo

Toutes les formules du chapitre réunies en un coup d'œil, idéal avant un contrôle.

01

a^{0}=1

02

a^{1}=a

03

a^{-1}=\dfrac{1}{a}

04

a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}

05

a^{n}a^{p}=a^{n+p}

06

(a^{n})^{p}=a^{np}

07

\dfrac{a^{n}}{a^{p}}=a^{n-p}

08

(ab)^{n}=a^{n}b^{n}

09

\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}

10

a\times10^{n}