3ᵉ Année Collège · Chapitre 6

Ordre et Opérations

Comparer deux réels, garder ou inverser le sens d'une inégalité selon l'opération, puis encadrer un résultat. Tout part d'une seule idée : le signe d'une différence.

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exercices corrigés

a≥b

01 · La règle

Comparer deux nombres réels

Toute comparaison de deux réels repose sur une seule idée : étudier le signe de leur différence.

a-b\geq0 \Longleftrightarrow a\geq b

a-b\leq0 \Longleftrightarrow a\leq b

exemple 1

Comparons $2\sqrt3-4$ et $\sqrt3-5$ :

$(2\sqrt3-4)-(\sqrt3-5)=2\sqrt3-4-\sqrt3+5=\sqrt3+1$

Or $\sqrt3+1\geq0$ , donc $(2\sqrt3-4)-(\sqrt3-5)\geq0$

D'où : $2\sqrt3-4\geq\sqrt3-5$

exemple 2

Comparons $x$ et $y$ tels que $x=y-3$ :

$x-y=(y-3)-y=-3$

Or $-3\leq0$ , donc $x-y\leq0$

D'où : $x\leq y$

02 · Six règles à connaître

Ordre et opérations

Comment une inégalité se transforme quand on ajoute, multiplie, inverse, met au carré ou prend la racine carrée des deux côtés.

Addition et soustraction

$a\leq b \Leftrightarrow a+k\leq b+k \text{ et } a-k\leq b-k$

$a\geq b \Leftrightarrow a+k\geq b+k \text{ et } a-k\geq b-k$

x\leq3

, alors

x+5\leq3+5

, donc

x+5\leq8

2x-3\geq x+2

2x\geq x+5 \Rightarrow x\geq5

Opposé (inverse le sens)

$a\leq b \Leftrightarrow -a\geq-b$ · $a\geq b \Leftrightarrow -a\leq-b$

12\geq9 \Rightarrow -12\leq-9

47\geq-213 \Rightarrow -47\leq213

-25\leq-2 \Rightarrow 25\geq2

-452\leq12 \Rightarrow 452\geq-12

Multiplication : le signe de k décide

Si $k\gt0$

$a\leq b \Rightarrow ak\leq bk$

$a\geq b \Rightarrow ak\geq bk$

le sens ne change pas

Si $k\lt0$

$a\leq b \Rightarrow ak\geq bk$

$a\geq b \Rightarrow ak\leq bk$

le sens s'inverse

45\leq100 \Rightarrow 135\leq300

-15\geq-25 \Rightarrow 15\sqrt2\leq25\sqrt2

Inverse (a, b non nuls, même signe)

$a\leq b \Leftrightarrow \dfrac1a\geq\dfrac1b$ · $a\geq b \Leftrightarrow \dfrac1a\leq\dfrac1b$

15\geq10 \Rightarrow \dfrac1{15}\leq\dfrac1{10}

11\leq25 \Rightarrow \dfrac1{11}\geq\dfrac1{25}

-42\leq-2 \Rightarrow \dfrac{-1}{42}\geq\dfrac{-1}2

-30\geq-124 \Rightarrow \dfrac{-1}{30}\leq\dfrac{-1}{124}

Carré

Si $a\gt0$ et $b\gt0$

$a\leq b \Leftrightarrow a^2\leq b^2$

Si $a\lt0$ et $b\lt0$

$a\leq b \Leftrightarrow a^2\geq b^2$

5\leq11 \Rightarrow 25\leq121

-2\geq-20 \Rightarrow 4\leq400

Comparons

2\sqrt3

3\sqrt7

(2\sqrt3)^2=12

(3\sqrt7)^2=63

, donc

(2\sqrt3)^2\leq(3\sqrt7)^2

. Comme les deux sont positifs :

2\sqrt3\leq3\sqrt7

Comparons

-\sqrt{11}

-2\sqrt5

(-\sqrt{11})^2=11

(-2\sqrt5)^2=20

, donc

(-\sqrt{11})^2\leq(-2\sqrt5)^2

. Comme les deux sont négatifs :

-\sqrt{11}\geq-2\sqrt5

Racine carrée (a, b positifs)

$a\leq b \Leftrightarrow \sqrt a\leq\sqrt b$ · $a\geq b \Leftrightarrow \sqrt a\geq\sqrt b$

12\geq7 \Rightarrow \sqrt{12}\geq\sqrt7

5\leq23 \Rightarrow \sqrt5\leq\sqrt{23}

Remarque

Ces six propriétés restent vraies avec les symboles strictes

\gt

\lt

03 · Placer un nombre entre deux bornes

Encadrements

Encadrer un nombre, puis encadrer le résultat d'une opération à partir de plusieurs encadrements.

Soient

a

b

x

trois réels avec

a\leq b

: on appelle encadrement de

x

par

a

b

toute écriture

a\leq x\leq b

on réutilise ces 4 encadrements dans toute la suite

$3\leq x\leq11$ · $-11\leq y\leq-3$ · $-25\leq z\leq2$ · $4\leq t\leq9$

Encadrement et opérations

Somme $x+y$

$3-11\leq x+y\leq11-3$

D'où : $-8\leq x+y\leq8$

Différence $x-z$

$3-2\leq x-z\leq11+25$

D'où : $1\leq x-z\leq36$

Produit $x\times t$

$3\times4\leq x\times t\leq11\times9$

D'où : $12\leq x\times t\leq99$

Produit $x\times y$

$3\leq x\leq11$ et $3\leq-y\leq11 \Rightarrow 9\leq-xy\leq121$

D'où : $-121\leq x\times y\leq-9$

Quotient $\dfrac xt=x\times\dfrac1t$

$3\times\dfrac19\leq x\times\dfrac1t\leq11\times\dfrac14$

D'où : $\dfrac13\leq\dfrac xt\leq\dfrac{11}4$

Carrés $x^2$ , $y^2$

$3\leq x\leq11 \Rightarrow 9\leq x^2\leq121$

$-11\leq y\leq-3 \Rightarrow 9\leq y^2\leq121$

Racine $\sqrt t$

$\sqrt4\leq\sqrt t\leq\sqrt9$

D'où : $2\leq\sqrt t\leq3$

$6x$ et $-7z$

$18\leq6x\leq66$

$-14\leq-7z\leq175$

★ Fiche mémo express

Les 9 propriétés à connaître par cœur

Un aide-mémoire compact avant un contrôle.

Comparaison

a-b\geq0 \Leftrightarrow a\geq b

Addition / soustraction

a\leq b \Leftrightarrow a+k\leq b+k

Opposé

a\leq b \Leftrightarrow -a\geq-b

Multiplication par $k\gt0$

a\leq b \Leftrightarrow ak\leq bk

Multiplication par $k\lt0$

a\leq b \Leftrightarrow ak\geq bk

(inversé)

Inverse (même signe)

a\leq b \Leftrightarrow \dfrac1a\geq\dfrac1b

(inversé)

Carré ( $a,b\gt0$ )

a\leq b \Leftrightarrow a^2\leq b^2

Carré ( $a,b\lt0$ )

a\leq b \Leftrightarrow a^2\geq b^2

(inversé)

Racine carrée ( $a,b\geq0$ )

a\leq b \Leftrightarrow \sqrt a\leq\sqrt b

À toi de jouer

4 exercices corrigés

Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier.

0 / 4 vérifiés

Comparer par la différence

1) Comparer $a$ et $b$ pour chacun des cas suivants :

a=\dfrac45,\ b=\dfrac{-3}2

a=\dfrac{-5}7,\ b=\dfrac37

a=\dfrac86,\ b=\dfrac83

a=\dfrac37,\ b=\dfrac49

2) Soit $a-b=-\sqrt2$ ( $a$ , $b$ non nuls). Comparer $a$ et $b$ .

3) Soient $a=\dfrac37$ et $b=\dfrac49$ .

a. Calculer $a-b$ et déduire la comparaison de $a$ et $b$ .

b. Rendre au même dénominateur et déduire la comparaison de $a$ et $b$ .

4) Soient $a=2\sqrt3$ et $b=\sqrt{11}$ .

a. Calculer $a^2$ et $b^2$ et déduire la comparaison de $a$ et $b$ .

b. Montrer que $a-b=\dfrac1{2\sqrt3+\sqrt{11}}$ , déduire la comparaison de $a$ et $b$ .

Racines carrées et inverses

1) Comparer $a$ et $b$ :

a=2\sqrt3+\sqrt{10},\ b=\sqrt{11}+\sqrt{10}

a=\sqrt{2\sqrt3+\sqrt{10}},\ b=\sqrt{\sqrt{11}+\sqrt{10}}

a=2\sqrt3-7,\ b=\sqrt{11}-7

a=4\sqrt3,\ b=4\sqrt5

a=-5\sqrt5,\ b=-5\sqrt5

2) Soient $a=7\sqrt2$ et $b=5\sqrt3$ .

a. Comparer $a$ et $b$ .

b. Déduire la comparaison de $7\sqrt2+9$ et $5\sqrt3+9$ .

c. Déduire la comparaison de $\dfrac1{7\sqrt2+9}$ et $\dfrac1{5\sqrt3+9}$ .

3) Comparer $-5\sqrt2$ et $-4\sqrt2$ ; déduire la comparaison de $\dfrac1{-5\sqrt2}$ et $\dfrac1{-4\sqrt2}$ .

Encadrements

1) $x$ et $y$ réels non nuls tels que $4\lt x\lt5$ et $-3\lt y\lt-2$ .

a. Encadrer : $2x\ ;\ -2x\ ;\ 3y\ ;\ -3y\ ;\ x^2\ ;\ y^2\ ;\ x+y\ ;\ x-y\ ;\ xy\ ;\ 3x-5y$

b. Montrer que $6\lt(x+y)(x-y)\lt24$ .

c. $z$ réel tel que $3\leq5z-2\leq8$ . Montrer que $1\leq z\leq2$ .

Inégalités classiques et Pythagore

$a$ , $b$ et $m$ réels avec $a\gt0$ , $b\gt0$ et $m\lt0$ .

1) Comparer $a+m$ et $m$ ; puis $a+m$ et $a-m$ .

2) Comparer $\dfrac ab+\dfrac ba$ et $2$ ; $a+b$ et $2\sqrt{ab}$ ; $\dfrac1{a^2}+a^2$ et $2$ ; $a^2+b^2$ et $2ab$ .

3) $ABC$ rectangle en $A$ , avec $2.999\lt AB\lt3.001$ et $1.999\lt AC\lt2.001$ . Montrer que $3.604\lt BC\lt3.607$ .

Ordre et opérations · Mathématiques, 3ème année collège, semestre 1.