3ᵉ Année Collège · Calcul littéral

Développement, Factorisation & Identités Remarquables

Le cours complet, illustré, suivi de 13 exercices, des automatismes de base aux problèmes défis, chacun avec sa correction détaillée à un clic.

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identités remarquables

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exercices défi

(a+b)2

01 · Partie I

Développement

Développer une expression algébrique, c'est la transformer en une somme algébrique.

Propriété 1

Pour tous nombres réels $a$ , $b$ et $k$ :

k(a+b) = ka + kb \qquad \text{et} \qquad k(a-b) = ka - kb

3(5a+7) = 3\times 5a + 3\times 7 = 15a+21

2x(3-5x) = 2x\times 3 - 2x\times 5x = 6x-10x^2

Propriété 2

Pour tous nombres réels $a$ , $b$ , $c$ et $d$ :

(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd

(3-a)(4a+2) = 3\times 4a + 3\times 2 - a\times 4a - a\times 2 = 12a+6-4a^2-2a = -4a^2+10a+6

Exercice d'application

4 expressions

A = 2x(1-3x)

B = (4x+5)(-3x)

C = 3x(2x^2-x+2)-5(3x^2+4x-5)

D = (3x-1)(4+x)

02 · Partie II

Factorisation

Factoriser une expression algébrique, c'est la transformer en un produit de sommes algébriques.

Propriétés

Soient $a$ , $b$ , $c$ et $d$ des nombres réels :

ka+kb=k(a+b) \qquad ka-kb=k(a-b)

ac+ad+bc+bd=(a+b)(c+d)

2x+4 = 2(x+2)

3x^2-9x = 3x(x-3)

3x(2x+1)-5(2x+1) = (2x+1)(3x-5)

Remarque importante

Pour factoriser une expression algébrique, on cherche le facteur commun.

Exercice d'application

3 expressions

A = 25x-15

B = \dfrac{5}{7}x+\dfrac{5}{7}

C = (3x+1)^2+(3x+1)(2x+5)

03 · Partie III

Identités Remarquables

Trois formules essentielles qui relient développement et factorisation : elles se lisent dans les deux sens.

Identité 1

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$

Développer $(2x+3)^2$ :

$(2x+3)^2=(2x)^2+2\times 2x\times 3+3^2 = \mathbf{4x^2+12x+9}$

Identité 2

$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

Factoriser $49x^2-28x+4$ :

$49x^2-28x+4=(7x)^2-2\times 7x\times 2+2^2=\mathbf{(7x-2)^2}$

Identité 3

$(a+b)(a-b) = a^2-b^2$

Factoriser $9x^2-64$ :

$9x^2-64=(3x)^2-8^2=\mathbf{(3x-8)(3x+8)}$

Exercice d'application

1) Développer :

A=(2x+7)^2

B=(5-3a)^2

C=(7x+4)(7x-4)

2) Factoriser :

D=16x^2+24x+9

E=25a^2-70a+49

F=64-9y^2

Entraînement

13 exercices corrigés

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Développer et réduire

Exercice 1

7 expressions

A=x(x+1)

B=2t^2(t^2-t+1)

C=(2x-1)(2+x)

D=ab(a^2+2b-1)

E=(2x-1)(x-4)+(3-x)(2x+1)

F=(x-2)(3x-2)-(x+2)(2x-3)

G=5-\big[5-3x(x-3)\big]+(2x+3)(3x+2)

Exercice 2

10 expressions · identités remarquables

A=(x+2)^2

B=(x-4)^2

C=(y-1)(y+1)

D=(-3+a)^2

E=(2x+3)^2

F=(3-5a)(3+5a)

G=(x-2)^2-(x+3)(x-3)

H=(x^2+x-1)^2

I=(3x^2-x+2)(3x^2+x-2)

J=(x-2)^3

Factoriser

Exercice 3

5 expressions

A=5x^2+xy

B=4ab^2c+12abc^2+8a^2bc

C=(x+4)(6x-1)+(x+4)(7x-2)

D=(x+5)(x-4)-(x+5)^2

E=(x+9)(2x-1)-6x^2+3x

Exercice 4

6 expressions · identités remarquables

A=9x^2+6xy+y^2

B=4a^2-4a+1

C=\dfrac{25}{4}-x^2

D=2(x+3)(x+4)-(x^2-16)

E=(2x-5)^2-9

F=(x-3)(6x-6)-(x^2-6x+9)

Calcul astucieux

Exercice 5

Sans calculatrice

F=101^2

H=99^2

I=101\times 99

Exercice 6

x entier naturel

1Montrer que :

(x-1)x(x+1)+x=x^3

2En déduire que :

102\times103\times104+103

est un cube.

Problèmes guidés

Exercice 7

I. On donne $A=x^2-7x+10$ et $B=x^2-5x+6$

1) Montrer que : $x^2-7x+10=\left(x-\dfrac{7}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}$

2) Factoriser A et B.

II. Factoriser pour tout réel x :

$C=x^2-3x-4$

$D=-3x^2-x+10$

Exercice 8

On donne $B=(x+1)^2-(x-1)^2$

1) Développer B.

2) En déduire la valeur de $C=10001^2-9999^2$

Exercice 9

On donne $A=(2x-1)(x+3)+4x^2-4x+1$

1) Développer A.

2) Factoriser A.

3) Calculer A pour $x=0$ ; $x=1$ et $x=\dfrac{1}{2}$ .

★

Exercices défis

Exercice 10 ★ Défi

Soit $a$ un nombre entier naturel non nul.

Écris l'expression $2a^2+2$ sous la forme d'une somme des carrés de deux nombres entiers naturels.

Exercice 11 ★ Défi

$a$ et $b$ sont deux nombres réels tels que : $a+b=1$ et $a^2+b^2=2$

Calculer : $a^4+b^4$

Exercice 12 ★ Défi

$a$ , $b$ et $c$ des nombres réels positifs tels que :

$a(a+b+c)=4,\ \ b(a+b+c)=16,\ \ c(a+b+c)=29$

Calculer $a+b+c$

Exercice 13 ★ Défi

$x$ et $y$ sont deux nombres réels distincts tels que : $x^2+y^2=3xy$

Déterminer la valeur de l'expression : $A=\dfrac{x+y}{x-y}$

« La première règle de la réussite, ne jamais remettre au lendemain l'exécution d'un travail. »

Développement, factorisation et identités remarquables · Mathématiques, 3ème année collège, semestre 1.