2ᵉ Année Collège · Chapitre 7

Vecteurs et translation

Une direction, un sens, une longueur : trois informations qui tiennent dans une seule flèche.

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01 · Vecteur et translation

Direction, sens, translation

Un vecteur naît d'un glissement : une direction, un sens, une longueur, et rien de plus.

1.1) Direction et sens

Définition 1

Une droite définit une direction. On dit que deux droites dd et d′d' ont la même direction lorsque dd et d′d' sont parallèles ou confondues. Si deux droites sont sécantes, elles n'ont donc pas la même direction.
Δdd'

Les droites dd et d′d' sont parallèles donc elles ont la même direction. Δ\Delta et dd sont sécantes, donc elles n'ont pas la même direction.

Définition 2

Soit dd une droite donnée. On peut définir deux sens possibles sur cette droite.

dAB

Sens 1 : de A vers B. Sens 2 : de B vers A.

1.2) Translation, déplacement rectiligne

☠ Attention · remarque

Le mot « direction » dans le langage courant se confond avec le mot « sens ». En mathématiques, on choisit d'abord une direction (une droite) puis on choisit un des deux sens sur cette droite.

Définition 1

Lorsqu'on fait glisser une figure FF d'un point AA à un point A′A' sur une ligne droite sans la tourner, on déplace tous ses points sur des droites parallèles : dans la même direction, dans le même sens et de la même longueur. On dit que la figure F′F' est l'image de la figure FF par la translation qui transforme le point AA en A′A'. De même, le point B′B' est l'image de BB par la translation qui transforme AA en A′A'.
ABCA'B'C'u

Les couples formés des points et de leurs images par cette translation : (A;A′)(A;A'), (B;B′)(B;B'), (C;C′)(C;C')… définissent un vecteur par la donnée :

  • d'une direction : la droite (AA′)(AA')
  • d'un sens : de AA vers A′A'
  • d'une longueur =AA′=AA'

On note u⃗\vec u ce vecteur associé à la translation et on écrit : u⃗=AA′→\vec u = \overrightarrow{AA'}

1.3) Vecteurs égaux

Définition 1

Deux vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. On écrit : AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}
ABCD

ABDCABDC est un parallélogramme : AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.

Théorème 1

Soient AA, BB, CC et DD quatre points deux à deux distincts. Les trois conditions suivantes sont équivalentes :

1) Le point DD est l'image de CC par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB}

2) Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont égaux

3) Le quadrilatère ABDCABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati)

☠ Attention

ABDCABDC et non ABCDABCD : il faut faire le tour du quadrilatère, dans un sens ou dans l'autre.

Conséquence : à partir d'une égalité vectorielle, on peut en écrire trois autres (les deux autres s'obtiennent en changeant de sens).

Théorème 2

AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} ssi ABDC est un paralleˊlogrammeABDC \text{ est un parallélogramme} ssi [AC] et [BD] ont le meˆme milieu[AC] \text{ et } [BD] \text{ ont le même milieu}

On en déduit toutes les propriétés du parallélogramme : diagonales, centre de symétrie, égalité des longueurs des côtés opposés.

1.4) Vecteur nul

Définition

Un vecteur AB→\overrightarrow{AB} est nul si et seulement si A=BA = B. On a alors : AA→=0⃗\overrightarrow{AA} = \vec 0

Donc : AB→=0⃗\overrightarrow{AB} = \vec 0 ssi A=BA = B

Remarque : le vecteur nul est le seul vecteur qui n'a ni direction ni sens.

1.5) Vecteurs opposés

Définition

Deux vecteurs sont dits opposés lorsqu'ils ont la même direction, la même norme et des sens opposés.

Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et BA→\overrightarrow{BA} sont opposés. On écrit : AB→=−BA→\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}

02 · Opérations sur les vecteurs

Addition, soustraction, multiplication

Enchaîner deux translations, c'est additionner deux vecteurs. Le reste en découle.

2.1) Enchaînement de deux translations

Soit t1t_1 la translation de vecteur u⃗=AB→\vec u = \overrightarrow{AB} et t2t_2 la translation de vecteur v⃗=BC→\vec v = \overrightarrow{BC}. Se déplacer de AA en BB, puis de BB en CC, revient à se déplacer de AA en CC : on obtient une nouvelle translation. Le vecteur associé à cette translation est w⃗=AC→\vec w = \overrightarrow{AC}.

ABCuvw = u+v

Définition 1

Soient u⃗\vec u et v⃗\vec v deux vecteurs quelconques. Le vecteur associé à la translation résultant de l'enchaînement des translations de vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v s'appelle la somme des vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v. On écrit : w⃗=u⃗+v⃗\vec w = \vec u + \vec v

2.2) Addition de vecteurs, relation de Chasles

Relation de Chasles

Quels que soient les points AA, BB et CC du plan, on a : AC→=AB→+BC→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}

Grâce à cette propriété, on peut trouver le quatrième sommet d'un parallélogramme : c'est la règle du parallélogramme (recherche du 4e point, à partir de deux vecteurs de même origine).

Règle du parallélogramme

Quels que soient les points AA, BB et CC du plan, il existe un point DD tel que : ABDC est un paralleˊlogrammeABDC \text{ est un parallélogramme} ssi AD→=AB→+AC→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}
ABDC

Remarque

D'après la règle du parallélogramme, dans une addition, on peut changer l'ordre des vecteurs : la somme ne change pas.

Théorème (commutativité)

Pour tous vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v : u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec u + \vec v = \vec v + \vec u

2.3) Soustraction de vecteurs

Définition

Pour soustraire un vecteur, on ajoute son opposé. Si u⃗\vec u et v⃗\vec v sont deux vecteurs quelconques, alors : u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗)\vec u - \vec v = \vec u + (-\vec v). u⃗−v⃗\vec u - \vec v s'appelle la différence des vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v.

Exemple

Soient AA, BB et CC trois points du plan. Calculer AB→−AC→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}

AB→−AC→=AB→+(−AC→)\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + (-\overrightarrow{AC}) · par définition de la soustraction

=AB→+CA→{}=\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} · par définition d'un vecteur opposé

=CA→+AB→{}=\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} · on peut changer l'ordre des vecteurs

=CB→{}=\overrightarrow{CB} · d'après la relation de Chasles

2.4) Multiplication d'un vecteur par un nombre réel

Définition

Soit v⃗\vec v un vecteur quelconque (non nul) et kk un nombre réel non nul. Le produit du vecteur v⃗\vec v par le réel kk, noté kv⃗k\vec v, a :

  • la même direction que v⃗\vec v
  • le même sens si k>0k > 0, et un sens contraire si k<0k < 0
  • une norme égale à kk fois la norme de v⃗\vec v si k>0k > 0, et à (−k)(-k) fois la norme de v⃗\vec v si k<0k < 0
uk·u (k>0)k·u (k<0)

Remarque

Si k=0k = 0 ou si u⃗=0⃗\vec u = \vec 0, alors : 0⋅u⃗=0⃗0 \cdot \vec u = \vec 0 et k⋅0⃗=0⃗k \cdot \vec 0 = \vec 0

2.5) Vecteurs colinéaires

Définition

On dit que deux vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v sont colinéaires lorsqu'ils ont la même direction.

Théorème

Deux vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel kk tel que v⃗=ku⃗\vec v = k\vec u, si et seulement s'il existe un réel k′k' tel que u⃗=k′v⃗\vec u = k'\vec v.

03 · Conséquences

Parallélisme, alignement, milieu

Les vecteurs donnent des outils rapides pour démontrer un parallélisme, un alignement, ou trouver un milieu.

3.1) Parallélisme et alignement

Théorème

Soient AA, BB, CC et DD quatre points du plan. Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires si et seulement si les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles.

Rappel · propriété

Si deux droites sont parallèles et ont un point commun, alors elles sont confondues. D'où la propriété suivante, qui permet de démontrer que trois points sont alignés.

Théorème

Soient AA, BB et CC trois points du plan. Ils sont alignés si et seulement si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires.

3.2) Milieu d'un segment

Théorème

Soit AA, BB et II trois points du plan. Le point II est le milieu de [AB][AB] si et seulement si l'une de ces conditions est réalisée :

1) AI→=IB→\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}

2) AI→=12AB→\overrightarrow{AI} = \dfrac12\overrightarrow{AB}

3) IB→=12AB→\overrightarrow{IB} = \dfrac12\overrightarrow{AB}

4) IA→+IB→=0⃗\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec 0

À toi de jouer

9 exercices corrigés

Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier. Les deux figures ci-dessous servent de repère pour plusieurs exercices.
ABCDO
ABC

0 / 9 vérifiés

1
Vecteurs égaux dans un parallélogramme
6 vecteurs

ABCDABCD est un parallélogramme de centre OO. Compléter par un vecteur égal :

DC→=…\overrightarrow{DC} = \ldots

AD→=…\overrightarrow{AD} = \ldots

CB→=…\overrightarrow{CB} = \ldots

OC→=…\overrightarrow{OC} = \ldots

BA→=…\overrightarrow{BA} = \ldots

DO→=…\overrightarrow{DO} = \ldots

2
Construire des points à partir de vecteurs

EFGEFG est un triangle quelconque :

  1. Construire le point AA tel que : EA→=FG→\overrightarrow{EA} = \overrightarrow{FG}
  2. Construire le point BB tel que : FB→=EG→\overrightarrow{FB} = \overrightarrow{EG}
  3. Construire le point CC tel que : GC→=EG→\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{EG}
3
Symétrique et vecteurs égaux

ABCABC est un triangle quelconque, MM le milieu de [BC][BC] et DD le symétrique de AA par rapport à MM.

  1. Faire une figure
  2. Montrer que : AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}
4
Trapèze : construction et démonstration

ABCDABCD est un trapèze de bases [AB][AB] et [CD][CD] tel que AB=3 cmAB = 3\text{ cm} et CD=7 cmCD = 7\text{ cm}.

  1. Placer le point EE tel que : BE→=AD→\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AD}
  2. Placer le point FF tel que : AF→=BC→\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{BC}
  3. Montrer que : FC→=DE→\overrightarrow{FC} = \overrightarrow{DE}
5
Parallélogramme et milieu

ABCDABCD est un parallélogramme.

  1. Placer le point EE tel que : AB→=CE→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CE}
  2. Montrer que CC est le milieu de [DE][DE]
6
Règle du parallélogramme, deux fois

Soit ABCABC un triangle quelconque :

  1. Construire le point DD tel que : AD→=AB→+AC→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}
  2. Construire le point EE tel que : CE→=CB→+CA→\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CA}
7
Retrouver un milieu par construction

ABCABC est un triangle quelconque :

  1. Placer le point DD tel que : AD→=AB→+AC→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}
  2. Placer le point EE tel que : AB→=DE→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DE}
  3. Montrer que DD est le milieu de [CE][CE]
8
Relation de Chasles, en pratique
4 égalités

Utiliser la relation de Chasles pour compléter les égalités suivantes :

AB→+BC→=…\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \ldots

FG→+GE→+EH→=…\overrightarrow{FG} + \overrightarrow{GE} + \overrightarrow{EH} = \ldots

AM→+MI→+IH→+HA→=…\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IH} + \overrightarrow{HA} = \ldots

MA→+AN→+NP→=…\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{NP} = \ldots

9
Parallélogramme : quatre sommes
4 égalités

ABCDABCD est un parallélogramme de centre OO. Compléter les égalités suivantes :

AB→+AD→=…\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \ldots

AC→+CD→=…\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \ldots

OA→+OC→=…\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \ldots

BO→+DO→=…\overrightarrow{BO} + \overrightarrow{DO} = \ldots

D'après les exercices originaux, Prof. BAKHIRA Noureddine, niveau 2AC, année scolaire 2020/2021.

Vecteurs et translation · Mathématiques, 2ᵉ année collège, semestre 2.