2ᵉ Année Collège · Chapitre 6

Triangle rectangle et cercle

Milieu de l'hypoténuse, cercle circonscrit, Pythagore, cosinus : quatre idées qui se répondent entre elles.

exercices

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100%

corrigé

Théorème de Pythagore

BC^2 = AB^2 + AC^2

01 · Triangle rectangle et cercle

Milieu de l'hypoténuse, cercle circonscrit

Un triangle rectangle cache toujours un cercle : celui dont le centre est le milieu de l'hypoténuse.

1) Milieu de l'hypoténuse d'un triangle rectangle

Propriété

Le milieu de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est équidistant de ses sommets.

Exemple :

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ , et $I$ le milieu du segment $[BC]$ .

Donc : $IA = IB = IC$

Propriété réciproque

ABC

est un triangle et

I

le milieu du segment

[BC]

. Si

IA = IB = IC

alors

ABC

est un triangle rectangle en

A

2) Cercle circonscrit à un triangle rectangle

Propriété

Si un triangle est rectangle, alors le milieu de l'hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit.

Exemple :

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ , et $I$ le milieu du segment $[BC]$ .

Donc : $IA = IB = IC$ , alors $I$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$ .

Propriété réciproque

Si le milieu d'un côté d'un triangle est le centre de son cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle et a pour hypoténuse ce côté.

02 · Théorème de Pythagore

Le carré de l'hypoténuse

Le résultat le plus utilisé du collège : dans un triangle rectangle, un carré vaut la somme des deux autres.

Théorème

Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Exemple : $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = 8\text{ cm}$ ; $AC = 6\text{ cm}$ . Calculer $BC$ .

➜ On a : $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ .

Donc, d'après le théorème de Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2$

C'est-à-dire : $BC^2 = 8^2 + 6^2$

C'est-à-dire : $BC^2 = 64 + 36$

C'est-à-dire : $BC^2 = 100$

C'est-à-dire : $BC^2 = 10^2$ (car $BC > 0$ )

Donc : $BC = 10\text{ cm}$

Remarque

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ : donc $AB^2 = BC^2 - AC^2$ et $AC^2 = BC^2 - AB^2$ .

03 · Cosinus d'un angle aigu

Adjacent sur hypoténuse

Un rapport de longueurs qui ne dépend que de l'angle, pas de la taille du triangle.

Définition

Le cosinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse.

Exemple : $ABC$ est un triangle rectangle en $C$ tel que $AC = 3\text{ cm}$ et $AB = 5\text{ cm}$ .

\cos\widehat{A} = \dfrac{\text{côté adjacent à l'angle } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{3}{5}

Remarque

Puisque l'hypoténuse est le plus grand côté d'un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est compris entre $0$ et $1$ .

À toi de jouer

7 exercices corrigés

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0 / 7 vérifiés

Cercle circonscrit et rayon

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ , tel que $BC = 5\text{ cm}$ . $O$ est le milieu de $[BC]$ .

a. Quel est le centre du cercle circonscrit à ce triangle (citer la propriété) ?

b. En déduire l'égalité de 3 longueurs.

c. Combien mesure le segment $[AO]$ ? Expliquer.

Médiane de l'hypoténuse

$DEF$ est un triangle rectangle en $E$ . Le point $I$ est le milieu de l'hypoténuse. La médiane $[EI]$ mesure $5\text{ cm}$ .

Combien mesure l'hypoténuse ? Expliquer.

Triangle rectangle par équidistance

$O$ est le milieu d'un segment $[IJ]$ et $K$ est un point du plan tel que $OK = OJ$ .

On veut démontrer que le triangle $IJK$ est rectangle en $K$ .

a. Placer les points $O$ et $K$ .

b. Pourquoi les points $I$ , $J$ et $K$ appartiennent-ils au même cercle ?

c. Citer la caractérisation d'un triangle rectangle appliquée à cet énoncé.

Symétrique et triangle rectangle

$DEF$ est un triangle isocèle en $D$ . $E'$ est le symétrique de $E$ par rapport à $D$ .

Démontrer que le triangle $EFE'$ est rectangle en $F$ .

Angle inscrit dans un demi-cercle

$(C)$ est un cercle de centre $O$ . $A$ et $M$ sont deux points de $(C)$ non diamétralement opposés. La perpendiculaire en $M$ à $(AM)$ recoupe $(C)$ en $B$ .

a. Faire une figure.

b. Démontrer que $O$ est le milieu de $[AB]$ .

$N$ est un autre point du cercle $(C)$ .

c. Démontrer que $ANB$ est un triangle rectangle.

Construction : 45° sans équerre

Sans utiliser l'équerre, construire un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $BC = 12\text{ cm}$ et l'angle $\widehat{ABC} = 45°$ .

Construction : deux triangles possibles

a. Tracer un segment $[BC]$ de longueur $6\text{ cm}$ .

b. En utilisant la règle graduée et le compas, marquer un point $A$ tel que le triangle $ABC$ soit rectangle en $A$ et tel que $AB = 4\text{ cm}$ .

c. Y a-t-il plusieurs emplacements possibles pour le point $A$ ?

Triangle rectangle et cercle · Mathématiques, 2ᵉ année collège, semestre 2.