2ᵉ Année Collège · Chapitre 1

Ordre et Opérations

Comparer deux nombres, garder ou changer le sens d'une inégalité, encadrer, résoudre une inéquation : les réflexes de base pour l'ordre dans ℚ.

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exercices

questions

100%

corrigé

a<b

01 · Comparer deux nombres

Comparaison de deux nombres rationnels

Pour comparer a et b, on regarde simplement le signe de leur différence.

$a<b$

a strictement inférieur à b

$a>b$

a strictement supérieur à b

$a\le b$

a inférieur ou égal à b

$a\ge b$

a supérieur ou égal à b

Propriété

Soient $a$ et $b$ deux nombres rationnels :

Si $a-b<0$ alors $a<b$
Si $a-b>0$ alors $a>b$
Si $a-b=0$ alors $a=b$

Exemple · comparer $\dfrac{3}{5}$ et $\dfrac{6}{7}$

On a : $\dfrac{3}{5}-\dfrac{6}{7}=\dfrac{21}{35}-\dfrac{30}{35}=\dfrac{-9}{35}$

Puisque $\dfrac{-9}{35}<0$ , alors $\mathbf{\dfrac{3}{5}<\dfrac{6}{7}}$ .

02 · Addition et soustraction

Ordre et addition, ordre et soustraction

Ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés ne change jamais le sens d'une inégalité.

Propriété

Soient $a$ , $b$ et $c$ trois nombres rationnels :

Si $a<b$ alors $a+c<b+c$
Si $a<b$ alors $a-c<b-c$

Exemple · $x$ rationnel tel que $x\le5$ . Comparer $x+4$ et $9$ .

On a $x\le5$ , alors $x+4\le5+4$ , donc $\mathbf{x+4\le9}$ .

Propriété

Soient $a$ , $b$ , $c$ et $d$ des nombres rationnels : si $\begin{cases}a<b\\c<d\end{cases}$ alors $a+c<b+d$

Exemple · $a<4$ et $3>b$ . Montrer que $a+b<7$ .

On a $\begin{cases}a<4\\b<3\end{cases}$ alors $a+b<4+3$ , donc $\mathbf{a+b<7}$ .

03 · Multiplication

Ordre et multiplication

Ici il faut regarder le signe du nombre par lequel on multiplie : le sens change s'il est négatif.

Propriété

Soient $a$ , $b$ et $c$ des nombres rationnels :

Si $\begin{cases}a<b\\c>0\end{cases}$ alors $a\times c<b\times c$
Si $\begin{cases}a<b\\c<0\end{cases}$ alors $a\times c>b\times c$

Exemple · $a<3$ et $b>-5$ . Comparer $-2a$ et $-6$ , puis $3b$ et $-15$ .

On a $a<3$ , alors $-2\times a>-2\times3$ , donc $\mathbf{-2a>-6}$ .

On a $b>-5$ , alors $3\times b>3\times(-5)$ , donc $\mathbf{3b>-15}$ .

Remarque

Soient $a$ et $b$ deux nombres rationnels : si $a<b$ alors $-a>-b$

Propriété

Soient $a$ , $b$ , $c$ et $d$ des nombres rationnels positifs : si $\begin{cases}a<b\\c<d\end{cases}$ alors $a\times c<b\times d$

Exemple · $a<2$ et $b<6$ . Montrer que $ab<12$ .

On a $\begin{cases}a<2\\b<6\end{cases}$ alors $a\times b<2\times6$ , donc $\mathbf{ab<12}$ .

04 · Résoudre une inéquation

Inéquations du premier degré à une inconnue

Une inéquation se résout comme une équation, avec un seul réflexe en plus : diviser par un négatif inverse le sens.

Définition

Une inéquation à une inconnue $x$ est une inégalité entre deux expressions algébriques.

La valeur de $x$ pour laquelle l'inégalité est vraie est la solution de l'inéquation. Résoudre une inéquation, c'est trouver tous les nombres qui la vérifient.

exemples

$2x+1\ge-7$

$2x\ge-7-1$

$2x\ge-8$

$x\ge\dfrac{-8}{2}$

$\mathbf{x\ge-4}$

Solutions : tous les nombres supérieurs ou égaux à $-4$ .

$-2x+1>9$

$-2x>9-1$

$-2x>8$

$x<\dfrac{8}{-2}$ (on divise par un négatif : le sens change)

$\mathbf{x<-4}$

Solutions : tous les nombres strictement inférieurs à $-4$ .

À toi de jouer

17 exercices corrigés

Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier.

0 / 17 vérifiés

Compléter en mettant > ou <

3 comparaisons

(-11)\ \ldots\ (-8)

\dfrac{-7}{3}\ \ldots\ \dfrac{1}{2}

\dfrac{320}{321}\ \ldots\ 1

Comparer a et b dans chaque cas

4 cas

a-b=13

a-b=\dfrac{-5}{3}

a-b=(-7)^{2022}

a-b=(-2)^{2021}

Comparer

3 comparaisons

\dfrac{3}{2}

\dfrac{5}{3}

x+\dfrac12

x-\dfrac14

(x+y)^2

4xy

Comparer

2 comparaisons

\dfrac{14}{5}+\dfrac{7}{6}

\dfrac{5}{14}+\dfrac{7}{6}

15^{16}+\dfrac{15}{16}

16^{16}+\dfrac{15}{16}

Compléter

4 compléments

1Si

x>3

, alors

x+4>\ldots

2Si

x\le-5

, alors

x+3\le\ldots

3Si

x<3

, alors

x-5<\ldots

4Si

x\ge8

, alors

x-12\ge\ldots

Montrer une inégalité

2 démonstrations

x

rationnel tel que

x+3\ge7

. Montrer que

x\ge4

y

rationnel tel que

y-3>2

. Montrer que

y>5

Comparer

\dfrac{-12}{13}+9^{2021}

\dfrac{-11}{13}+9^{2022}

Comparer x et y

$x$ et $y$ sont deux nombres rationnels tels que :

$x=\dfrac{-2345}{135}\times\dfrac{2021}{2022}$ et $y=\dfrac{-2346}{135}\times\dfrac{2021}{2022}$

Compléter

4 compléments

1Si

x>3

, alors

3x>\ldots

2Si

x\le7

, alors

-5x\le\ldots

3Si

x<4

, alors

7x\ \ldots

4Si

x\ge-8

, alors

-2x\ \ldots

Montrer une inégalité

2 démonstrations

a

rationnel tel que

a-3\le\dfrac{a}{2}-4

. Montrer que

a\le-2

b

rationnel tel que

b-3(2b-4)\ge4b-2

. Montrer que

b\le\dfrac{14}{9}

Montrer une inégalité

2 démonstrations

x

y

rationnels tels que

x\ge3

y\ge8

. Montrer que

xy+7\ge31

x

y

rationnels tels que

x>4

y<\dfrac{-5}{4}

. Montrer que

xy<-5

Encadrer

4 expressions

$a$ et $b$ sont deux nombres rationnels tels que : $4<a<5$ et $3<b<7$

Encadrer : $a+b$ · $a-b$ · $2a+3b$ · $ab$

Encadrer

4 expressions

$x$ et $y$ sont deux nombres rationnels tels que : $-3<x<-2$ et $1<y<3$

Encadrer : $x+y$ · $x-y$ · $2x-y$ · $xy$

Encadrer

3 expressions

$x$ , $y$ et $z$ sont des nombres rationnels tels que :

$-3\le x\le-1$ · $2\le y\le6$ et $\dfrac{-2}{3}\le\dfrac{2z+1}{3}\le1$

Encadrer : $x-2y$ · $3x+y+8$ · $z$

Résoudre les inéquations suivantes

4 inéquations

x+5\ge7

3x-2\le1

2x-5>2(x-1)-3

4x+2(x-1)\ge5x+8

Résoudre les inéquations suivantes

8 inéquations

x+3\le6

2x+5\ge0

5x+3>2x-1

-4x-8\ge2(x-4)

\dfrac{3x}{4}+\dfrac{1}{2}<1

\dfrac{3x-5}{4}\le\dfrac{2x-1}{8}

7x+8+2(3-x)>3(x+4)-(x-2)

\dfrac{x}{2}+\dfrac{x-1}{3}>\dfrac{x+2}{6}-1

Ranger par ordre décroissant

4{,}7\times10^{-3}\ \ ;\ \ -4{,}7\times10^{-2}\ \ ;\ \ 7{,}4\times10^{-3}\ \ ;\ \ -7\times10^{-2}

Ordre et opérations · Mathématiques, 2ᵉ année collège, semestre 2.