Géométrie dans l'espace · Cours et exercices corrigés | 2AC

01 · Prisme droit (rappel)

Deux bases, des rectangles autour

Un rappel avant d'attaquer les deux nouveaux solides : pyramide et cône.

a) Définition

Définition

Le prisme droit est un solide qui possède :

deux polygones superposables et parallèles : ce sont les deux bases du prisme ;
des rectangles pour les autres faces : ce sont les faces latérales du prisme.

Lorsque la base est un rectangle, le prisme droit obtenu est un parallélépipède rectangle.

b) Aire latérale, aire totale, volume

Formules

Aire latérale $A_L$ : on multiplie le périmètre $p$ d'une base par la hauteur $h$ du solide.

$A_L = p \times h$

Aire totale $A_T$ : somme de l'aire latérale et des deux aires des bases.

$A_T = A_L + 2A_B$

Volume $V$ : on multiplie l'aire $A_B$ d'une base par la hauteur $h$ du solide.

$V = A_B \times h$

Exemple : pavé droit $ABCDEFGH$ , $AB = 3\text{ cm}$ , $AD = 1\text{ cm}$ , $AE = 2\text{ cm}$ .

$A_L = h \times p = 2 \times (1+3+1+3) = 2 \times 8$

Donc : $A_L = 16\text{ cm}^2$

$A_T = A_L + 2A_B = 16 + 2 \times (1 \times 3) = 16 + 6$

Donc : $A_T = 22\text{ cm}^2$

02 · La pyramide

Un sommet, une base, des triangles

La pyramide ajoute une idée nouvelle : le tiers dans la formule du volume.

a) Définition

Définition

Une pyramide de sommet

S

est un solide délimité par :

sa base : la face qui ne contient pas $S$ (triangle, quadrilatère…) ;
ses faces latérales : des triangles de sommet $S$ , dont un côté est un côté de la base.

Le segment $[SH]$ , perpendiculaire au plan de la base (où $H$ est un point de ce plan), est la hauteur de la pyramide.

Tétraèdre

Les tétraèdres sont des pyramides à quatre faces triangulaires, six arêtes et quatre sommets.

Pyramide régulière

Une pyramide de sommet

S

est dite régulière lorsque sa base est un polygone régulier de centre

O

, et

[SO]

est la hauteur de la pyramide.

b) Aire latérale, aire totale, volume

Formules

Aire latérale $A_L$ d'une pyramide : somme des aires de ses faces latérales.

Aire totale $A_T$ : somme de l'aire latérale et de l'aire de la base.

$A_T = A_L + A_B$

Volume $V$ : le tiers du produit de la hauteur $h$ par l'aire de la base $A_B$ .

$V = \dfrac{1}{3} \times h \times A_B$

Exemple 1 (pyramide à base carrée) :

$A_L = 4 \times \dfrac{(215 \times 179{,}30)}{2} = 77099\text{ m}^2$

Exemple 2 :

$A_L = 3 \times \dfrac{(1{,}5 \times 1{,}3)}{2} = 2{,}925\text{ cm}^2$

Exemple 3 : $A_L = 10\text{ cm}^2$ , $A_B = 3{,}5\text{ cm}^2$

$A_T = A_L + A_B = 10 + 3{,}5 = 13{,}5\text{ cm}^2$

Exemple 4 (volume) : $A_B = 123\text{ cm}^2$ , $h = 8\text{ cm}$

$V = \dfrac13 \times 8 \times 123 = \dfrac{984}{3}$

Donc : $V = 328\text{ cm}^3$

03 · Cône de révolution

Le solide qui tourne

Le cône : un triangle rectangle qui tourne autour d'un de ses côtés.

a) Définition

Définition

Un cône de révolution est un solide obtenu par rotation d'un triangle rectangle autour d'un axe correspondant à l'un des côtés formant l'angle droit.

Il est constitué d'une base, un disque, et d'une surface latérale conique.

Le cône possède une hauteur : la droite perpendiculaire à sa base et passant par son sommet.

b) Aire latérale, aire totale, volume

Formules

Aire latérale $A_L$ d'un cône de révolution de rayon $R$ et de génératrice $a$ :

$A_L = \pi \times R \times a$

Aire totale $A_T$ : somme de l'aire latérale et de l'aire de la base.

$A_T = A_L + A_B$

Volume $V$ : le tiers du produit de la hauteur $h$ par l'aire de la base $A_B$ .

$V = \dfrac{1}{3} \times h \times A_B$

Exemple 1 : $R = 2\text{ cm}$ , $a = 5\text{ cm}$

$A_L = \pi \times R \times a = 3{,}14 \times 2 \times 5 = 31{,}4$

Donc : $A_L = 31{,}4\text{ cm}^2$

Exemple 2 : $SM = 10\text{ cm}$ (génératrice), $OM = 6\text{ cm}$ (rayon)

$A_L = \pi \times OM \times SM = 3{,}14 \times 6 \times 10 = 188{,}4\text{ cm}^2$

$A_T = A_L + A_B = 188{,}4 + (\pi \times 6^2) = 188{,}4 + 113{,}04 = 301{,}44\text{ cm}^2$

Exemple 3 (volume) : $R = 2\text{ cm}$ , $h = 5\text{ cm}$

$V = \dfrac13 \times 5 \times 2 \times 2 \times \pi = 20 \times \dfrac{3{,}14}{3}$

Donc : $V = 20{,}93\text{ cm}^3$

À toi de jouer

4 exercices corrigés

Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier. On prendra

\pi \approx 3{,}14

.

Rappel : formules de calculs d'aires

Carré de côté $L$

$A = L^2$

Rectangle $L \times l$

$A = L \times l$

Triangle rectangle en $A$

$A = \dfrac{AB \times AC}{2}$

Triangle (base $b$ , hauteur $h$ )

$A = \dfrac{b \times h}{2}$

Disque de rayon $R$

$A = \pi R^2$

0 / 4 vérifiés

1

Volume de pyramides

Calculer le volume des pyramides suivantes : $V = A_B \times H / 3$

Aire de la base (A_B)	9 cm²	8,25 cm²	80 cm²	2 dm²
Hauteur (H)	4 cm	10 cm	141 mm	24 cm
Volume (V = A_B×H/3)	…	…	…	…

2

Pyramides à base triangulaire

Calculer l'aire de la base puis le volume des pyramides à base triangulaire suivantes :

	Pyramide 1	Pyramide 2	Pyramide 3	Pyramide 4
Côté (b)	13 cm	12,5 cm	7 cm	12 cm
Hauteur correspondante (h)	5 cm	10 cm	3 cm	12 cm
Aire de la base (B = b×h/2)	…	…	…	…
Hauteur (H) de la pyramide	11 cm	15 cm	21 cm	3 cm
Volume (V = B×H/3)	…	…	…	…

3

Cônes de révolution

Calculer l'aire de la base puis le volume des cônes de révolution suivants (on arrondira au dixième) :

	Cône 1	Cône 2	Cône 3	Cône 4
Rayon (R)	5 cm	6 cm	1,1 cm	12,5 cm
Aire de la base (B = π×R²)	…	…	…	…
Hauteur (H)	4 cm	6,5 cm	10 cm	12,5 cm
Volume (V = B×H/3)	…	…	…	…

4

Même hauteur : qui est le plus volumineux ?

5 figures · H = 4 cm

Toutes ces figures ont la même hauteur : 4 cm.

a. Calculer l'aire de chaque base. b. Calculer le volume de chaque figure. c. Quelle est la plus volumineuse ?

Cône, rayon R = 3 cm

a. Aire (base) = …… cm²

b. Volume = …… cm³

Pyramide, base 8 cm × 1 cm

a. Aire (base) = …… cm²

b. Volume = …… cm³

Pyramide, base 6 cm × 2 cm

a. Aire (base) = …… cm²

b. Volume = …… cm³

Pyramide, base 3 cm × 2,5 cm

a. Aire (base) = …… cm²

b. Volume = …… cm³

Cône, rayon R = 1,5 cm

a. Aire (base) = …… cm²

b. Volume = …… cm³

c. Quelle figure est la plus volumineuse ?