Les Équations · Cours et exercices corrigés | 2AC

01 · La définition

C'est quoi, une équation ?

Une égalité avec une inconnue

x

, qu'il faut résoudre pour trouver sa valeur.

Définition

Soient $a$ et $b$ deux nombres rationnels connus. Toute égalité qui s'écrit sous la forme $ax+b=0$ avec $a\neq0$ s'appelle une équation du premier degré à une inconnue $x$ .

La valeur de $x$ qui vérifie l'égalité est une solution de l'équation.

exemples d'équations

$x+0{,}15=0{,}5$

$2x-1=1$

$\dfrac{1}{2}x+1=2x+1$

est une solution

$1$ pour $x-1=0$

car $1-1=0$

n'est pas une solution

$-6$ pour $x-1=3$

car $-6-1=-7\neq3$

02 · La méthode de base

Résoudre les équations ax + b = 0

On isole x étape par étape, en faisant toujours la même opération des deux côtés.

ax+b=0

avec

a \neq 0

Résoudre $2x-1=1$

On a $2x-1=1$ signifie que $2x=1+1$

c'est à dire $2x=2$ alors $x=\dfrac{2}{2}$

d'où $x=\mathbf{1}$ , la solution de cette équation.

Résoudre $2y-0{,}1=2y-0{,}1$

On a $2y-0{,}1=2y-0{,}1$ signifie que $2y-2y=-0{,}1+0{,}1$

alors $0y=0$

donc cette équation admet plusieurs solutions (elle est vraie pour tout $y$ ).

Résoudre $2(n-1)=3+2n$

On a $2(n-1)=3+2n$ signifie que $2n-2=3+2n$

c'est à dire $2n-2n=3+2$ alors $0n=5$

donc cette équation n'admet aucune solution.

Résoudre $\dfrac{-2}{7}+2=9x$

On a $\dfrac{-2}{7}+2=9x$

signifie que $\dfrac{-2}{7}+\dfrac{2\times7}{7\times1}=\dfrac{9\times7}{1\times7}x$

signifie que $\dfrac{-2}{7}+\dfrac{14}{7}=\dfrac{63}{7}x$

signifie que $\dfrac{-2+14}{7}=\dfrac{63}{7}x$

on obtient $\dfrac{12}{7}=\dfrac{63x}{7}$

c'est à dire $12=63x$

alors $x=\dfrac{12}{63}$

d'où $x=\mathbf{\dfrac{4}{21}}$ , la solution de cette équation.

03 · Le produit nul

Résoudre les équations produit

De la forme

(ax+b)(cx+d)=0

. Un produit nul, c'est qu'un des deux facteurs est nul.

AB=0 \iff A=0 \text{ ou } B=0

résultat 1

$(ax+b)\times(cx+d)=0$ signifie $ax+b=0$ ou $cx+d=0$

résultat 2

$A^2=0$ signifie que $A=0$

exemples

Résoudre $\left(x-3\right)\left(x+\dfrac15\right)=0$

signifie que $x-3=0$ ou $x+\dfrac15=0$

c'est à dire $x=3$ ou $x=\dfrac{-1}{5}$

deux solutions : $\mathbf{\dfrac{-1}{5}}$ et $\mathbf{3}$ .

Résoudre $x(x-3)+(x-3)=0$

signifie que $(x-3)(x+1)=0$

c'est à dire $x-3=0$ ou $x+1=0$

deux solutions : $\mathbf{-1}$ et $\mathbf{3}$ .

Résoudre $(m-0{,}1)^2=0$

signifie que $m-0{,}1=0$ c'est à dire $m=\mathbf{0{,}1}$ .

Résoudre $x^2+6x+9=0$

signifie que $x^2+2\times3\times x+3^2=0$

c'est à dire $(x+3)^2=0$ alors $x+3=0$ , d'où $x=\mathbf{-3}$ .

Résoudre $t^2-9=0$

c'est à dire $t^2-3^2=0$ , on obtient $(t-3)(t+3)=0$

alors $t+3=0$ ou $t-3=0$ , deux solutions : $\mathbf{-3}$ et $\mathbf{3}$ .

04 · La mise en équation

Résoudre des problèmes

Traduire un énoncé en équation, la résoudre, puis vérifier que le résultat a du sens.

1Lire et bien comprendre le problème.

2Choisir l'inconnue.

3Mettre le problème en équation.

4Résoudre l'équation.

5Interpréter le résultat et conclure.

6Vérifier.

Exemple 1

Dans une entreprise de 60 personnes, il y a quatre fois plus de femmes que d'hommes. Trouve le nombre d'hommes et de femmes.

Soit $x$ le nombre d'hommes, donc $4x$ le nombre de femmes.

Équation : $x+4x=60$ , donc $5x=60$ , alors $x=\dfrac{60}{5}=12$ .

Il y a $\mathbf{12}$ hommes et $4\times12=\mathbf{48}$ femmes.

Exemple 2

Imad a acheté une calculatrice et un livre. Le livre coûte deux fois plus cher que la calculatrice. Il a payé 45 DH en tout. Calcule le prix de chaque article.

Soit $x$ le prix de la calculatrice, donc $2x$ le prix du livre.

Équation : $x+2x=45$ , donc $3x=45$ , alors $x=\dfrac{45}{3}=15$ .

La calculatrice coûte $\mathbf{15\ DH}$ et le livre $\mathbf{30\ DH}$ .

À toi de jouer

4 exercices corrigés

Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier.

0 / 4 vérifiés

1

Résoudre les équations suivantes

15 équations

1

3x+5=0

2

x+6=11

3

3x+4=5

4

-2x+7=3

5

6x-5=12

6

-7x+5=13

7

3x-8=12-7x

8

\dfrac{3}{7}x=4

9

12x+9=39-8x

10

\dfrac{x}{2}+\dfrac{5}{8}=3

11

\dfrac{x}{2}+4=\dfrac{x}{6}+5

12

\dfrac{x+1}{5}+\dfrac{3x-4}{3}=\dfrac{4x-7}{15}

13

\dfrac{3x+1}{3}-\dfrac{2x-1}{7}=\dfrac{5x-9}{21}

14

\sqrt2\,x+2\sqrt5=3\sqrt3

15

5(2x-3)-\sqrt7=3(\sqrt3-x)

2

Résoudre les équations suivantes

13 équations produit

1

(x+5)(2-x)=0

2

(3x+1)(4x-3)=0

3

x^2+2x=0

4

x^2-9x=0

5

9x^2-5x=0

6

x(x+1)(x+2)=0

7

(2x-3\sqrt2)^2=0

8

x^2-6x+9=0

9

x^2+4x=-4

10

x^2-2\sqrt2\,x+2=0

11

4x^2+4x=x^2-4x

12

x^3-5x=0

13

x^3-4x=0

3

Résoudre les inéquations suivantes

7 inéquations

1

7x-5\le3

2

2x-5\ge-3\sqrt3

3

7(2x-3)-\sqrt7<3(\sqrt3-x)

4

9x-13\le11(3x-4)

5

t-2\sqrt3\le3\sqrt2-t

6

\dfrac{6t-7}{5}+\dfrac{2t+3}{3}>4

7

\dfrac{2y-3}{21}-\dfrac{9-2y}{7}\le\dfrac{5y+11}{3}

4

Résoudre

20 équations et inéquations

1

-3x+5=2x-10

2

5x-3=3x+1

3

3x+5=10-2x

4

5x-7\le3x+1

5

4x^2-3x=0

6

16x^2-25=0

7

\dfrac{3x-7}{5}+\dfrac{x-3}{2}\le\dfrac{13x+8}{10}

8

5x+7=3x+2

9

-3x+4\le-8x-4

10

3x-(7-x)=9

11

7x^2+3x=0

12

\dfrac{3x+2}{4}-\dfrac{x-5}{7}\le0

13

25x^2-10x+1=0

14

x^2+14x+49=0

15

(x+1)^2=x^2+29

16

(6x-1)^2=(4x-7)(9x+8)

17

x+3\le\sqrt2\,x+7

18

(x+3)(5x-2)=(x+3)(3x-8)

19

x^3=7x^2

20

x^2=2x-1