2ᵉ Année Collège · Chapitre 2

Le Calcul Littéral

Développer, factoriser, réduire : trois gestes à automatiser pour dompter les expressions avec des lettres. Cours complet et exercices corrigés.

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6

exercices

53

questions

100%

corrigé

01 · Une seule distributivité

La distributivité simple

Un nombre kk multiplié par une somme ou une différence entre parenthèses.

1. Développement

Définition

Développer une expression, c'est l'écrire sous la forme d'une somme algébrique.

Pour tous nombres relatifs k,ak, a et bb :

k×(a+b)=k×a+k×bk \times (a+b) = k \times a + k \times b

k×(a−b)=k×a−k×bk \times (a-b) = k \times a - k \times b

Exemple 1

3×(5+7)=3×12=363 \times (5+7) = 3 \times 12 = 36

3×(5+7)=3×5+3×7=15+21=363 \times (5+7) = 3\times5 + 3\times7 = 15+21 = 36

−6×(4−8)=−6×(−4)=24-6 \times (4-8) = -6 \times (-4) = 24

−6×(4−8)=−6×4−(−6)×8=−24+48=24-6 \times (4-8) = -6\times4 -(-6)\times8 = -24+48 = 24

Exemple 2 · Développe

A=3(x+7)A = 3(x+7) · B=−3,5(x−2)B = -3{,}5(x-2)

2. Factorisation

Définition

Factoriser une expression, c'est l'écrire sous la forme d'un produit.

Pour tous nombres relatifs k,ak, a et bb :

k×a+k×b=k×(a+b)k \times a + k \times b = k \times (a+b)

k×a−k×b=k×(a−b)k \times a - k \times b = k \times (a-b)

Exemple 1 · Factoriser

C=14x−12=7×2x−7×3=7(2x−3)C = 14x-12 = 7\times2x - 7\times3 = 7(2x-3)

D=−6y+15y2=3y×(−2)+3y×5y=3y(−2+5y)D = -6y+15y^2 = 3y\times(-2)+3y\times5y = 3y(-2+5y)

Exemple 2 · Factorise

E=14a−7bE = 14a-7b · F=−x2+3xF = -x^2+3x

G=(9x−4)(5x+6)+(9x−4)(3x+11)G = (9x-4)(5x+6)+(9x-4)(3x+11)

02 · Deux parenthèses

La double distributivité

Un produit de deux sommes se développe en quatre produits, puis les identités remarquables raccourcissent trois cas fréquents.

1. Produit de deux sommes

Pour tous nombres relatifs a,b,c,da,b,c,d :

(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)(a+b)(c+d) = a(c+d)+b(c+d)

=ac+ad+bc+bd= ac+ad+bc+bd

Exemple 1 · Développe et réduit

A=(3x+1)(y+4)A=(3x+1)(y+4) · B=(3x+1)(y−4)B=(3x+1)(y-4)

C=(3x−1)(y+4)C=(3x-1)(y+4) · D=(3x−1)(y−4)D=(3x-1)(y-4)

Exemple 2 · Factorise

A=(2x−3)(x+2)−5(2x−3)A=(2x-3)(x+2)-5(2x-3)

B=(5x+1)(3x−5)−(x−3)(5x+1)B=(5x+1)(3x-5)-(x-3)(5x+1)

C=(3x+2)(−5x−7)−(3x+2)(x+7)C=(3x+2)(-5x-7)-(3x+2)(x+7)

2. Les identités remarquables

aa et bb sont deux nombres relatifs. On a :

carré d'une somme

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2

carré d'une différence

(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2

produit d'une somme par une différence

(a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b)=a^2-b^2

Exemple 1 · Développe et réduis

A=(x+1)2A=(x+1)^2 · B=(x−4)2B=(x-4)^2 · C=(3x−5)2C=(3x-5)^2 · D=(7x+2)(7x−2)D=(7x+2)(7x-2)

Exemple 2 · Factorise

A=x2+6x+9A=x^2+6x+9 · B=25x2−20x+4B=25x^2-20x+4 · C=64x2−49C=64x^2-49

03 · Nettoyer l'écriture

Simplifier une expression

Regrouper les termes semblables, puis savoir enlever des parenthèses sans se tromper de signe.

1. Réduire une expression littérale

Définition

Réduire une expression littérale, c'est l'écrire sous la forme d'une somme comportant le moins de termes possibles.

Exemple

F=3x−8+2x=3x+2x−8=(3+2)x−8F=3x-8+2x = 3x+2x-8 = (3+2)x-8

G=5x2+7x−4−2x2+3+4xG=5x^2+7x-4-2x^2+3+4x

G=5x2−2x2+7x+4x−4+3G=5x^2-2x^2+7x+4x-4+3

G=(5−2)x2+(7+4)x−1=3x2+11x−1G=(5-2)x^2+(7+4)x-1 = 3x^2+11x-1

2. Supprimer les parenthèses

Propriété

L'opposé d'une somme algébrique est égal à la somme des opposés de chacun de ses termes.

H=3x−(−2x2−5x+4)H=3x-(-2x^2-5x+4)

H=3x+(+2x2)+(+5x)+(−4)H=3x+(+2x^2)+(+5x)+(-4)

H=3x+2x2+5x−4=2x2+8x−4H=3x+2x^2+5x-4 = 2x^2+8x-4

Règle 1 · Addition

Parenthèses précédées de « + » : on supprime le « + » et les parenthèses.

Règle 2 · Soustraction

Parenthèses précédées de « - » : on les supprime en changeant chaque signe à l'intérieur.

−(a+b)=−1×(a+b)=−a−b-(a+b) = -1\times(a+b) = -a-b

Exemple · Simplifier

2x+(3x+5)2x+(3x+5) · 4x+(−5+3x)4x+(-5+3x) · 3x−(5−8x)3x-(5-8x) · 8−(5x−6+2x)8-(5x-6+2x)

À toi de jouer

6 exercices corrigés

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1
Réduire les expressions
20 expressions
12x+23x=2x+23x=
2−8x+2x=-8x+2x=
3−2x−9x=-2x-9x=
47x+x=7x+x=
53x−7x=3x-7x=
6−x+9x=-x+9x=
712x−7x=12x-7x=
8−x−x=-x-x=
9x+x=x+x=
10−95x+34x=-\dfrac{9}{5}x+\dfrac{3}{4}x=
11x×x=x \times x=
12−4x×9x=-4x\times9x=
13−8x2×(−5x3)=-8x^2\times(-5x^3)=
1412x×x2=12x\times x^2=
153x2×(−7x2)=3x^2\times(-7x^2)=
AA=−5a+7b+2a−4bA=-5a+7b+2a-4b
BB=3x2+5x−2x2+4x+7B=3x^2+5x-2x^2+4x+7
CC=x2−7x+5x2−2x+7x−x2C=x^2-7x+5x^2-2x+7x-x^2
DD=7x3+x−13−2x2−3x−7D=7x^3+x-13-2x^2-3x-7
EE=−x+21+x2−12−x+23x2E=-x+21+x^2-12-x+\dfrac{2}{3}x^2
2
Développer et réduire
12 expressions
AA=7(2x+5+4x)A=7(2x+5+4x)
BB=5x(x−10)B=5x(x-10)
CC=−8(−3x+10−7x)C=-8(-3x+10-7x)
DD=−2x(x2−8+6x)D=-2x(x^2-8+6x)
EE=23(6x−85)E=\dfrac{2}{3}\left(6x-\dfrac{8}{5}\right)
FF=54x(−3x+5)F=\dfrac{5}{4}x(-3x+5)
GG=(x+7)(x+6)G=(x+7)(x+6)
HH=(x−4)(x−8)H=(x-4)(x-8)
II=(3x+2)(5x+1)I=(3x+2)(5x+1)
JJ=(x−4)(3x−5)J=(x-4)(3x-5)
KK=(−2x+3)(2x−6)K=(-2x+3)(2x-6)
LL=(−6x−1)(−7x−2)L=(-6x-1)(-7x-2)
3
Développer et réduire
4 expressions
AA=2x(1−4x)+3x(2x+2)A=2x(1-4x)+3x(2x+2)
BB=−4x(−2x−3)−5x(3x−1)B=-4x(-2x-3)-5x(3x-1)
CC=−3x(x−2)−(−2x+4)(−1−x)C=-3x(x-2)-(-2x+4)(-1-x)
DD=5(7x+3)+(x+2)(5−2x)D=5(7x+3)+(x+2)(5-2x)
4
Développer et réduire (identités remarquables)
8 expressions
AA=(x+10)2A=(x+10)^2
BB=(3x+5)2B=(3x+5)^2
CC=(x−52)2C=\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2
DD=(47x−78)2D=\left(\dfrac{4}{7}x-\dfrac{7}{8}\right)^2
EE=(x−5)(x+5)E=(x-5)(x+5)
FF=(7x−9)(7x+9)F=(7x-9)(7x+9)
GG=(5x+2)2−(x2+7−3x)G=(5x+2)^2-(x^2+7-3x)
HH=(2x+5)(2x−5)+3x(x−2)H=(2x+5)(2x-5)+3x(x-2)
5
Factoriser
8 expressions
AA=2a2+6aA=2a^2+6a
BB=−25ab−5abcB=-25ab-5abc
CC=24ab2+12a2b−4abcC=24ab^2+12a^2b-4abc
aa=5x(3x−2)+5x(−2x+1)a=5x(3x-2)+5x(-2x+1)
bb=3x2+3x(2x−5)−3xb=3x^2+3x(2x-5)-3x
cc=12x3+4x2(x+3)−4x2c=12x^3+4x^2(x+3)-4x^2
dd=3x(2x+1)−(2x+1)d=3x(2x+1)-(2x+1)
ee=5x(3−x)+(3−x)2e=5x(3-x)+(3-x)^2
6
Factoriser (identités remarquables)
9 expressions
AA=x2+10x+25A=x^2+10x+25
DD=x2−14x+49D=x^2-14x+49
GG=x2−81G=x^2-81
BB=x2+18x+81B=x^2+18x+81
EE=x2−16x+64E=x^2-16x+64
HH=121−x2H=121-x^2
CC=9x2+24x+16C=9x^2+24x+16
FF=25x2−30x+9F=25x^2-30x+9
II=64x2−144I=64x^2-144

Calcul littéral · Mathématiques, 2ᵉ année collège, semestre 2.