2ᵉ Année Collège · Chapitre 5

Les puissances des nombres rationnels

Exposants positifs, négatifs, opérations sur les puissances et écriture scientifique. Le cours complet, suivi de 14 exercices corrigés.

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corrigé

a−n

Repères

Fiche pédagogique

Chapitre 5 · Les puissances.

Objectifs d'apprentissage

Connaître et utiliser la puissance d'un nombre rationnel à exposant positif ou négatif.
Déterminer le signe d'une puissance d'un nombre négatif.
Maîtriser les opérations sur les puissances (produit, quotient, puissance d'une puissance).
Écrire un nombre en notation scientifique.

Prérequis

Opérations (addition, soustraction, multiplication, division) sur les nombres rationnels.
Notion de puissance vue en 1ère année collège (exposant entier naturel).
Simplification et comparaison de fractions.

Plan du chapitre

I. Puissance d'un nombre rationnel · II. Opérations sur les puissances · III. L'écriture scientifique.

Série d'entraînement

14 exercices progressifs, tous corrigés en un clic pour s'auto-évaluer.

01 · La définition

Puissance d'un nombre rationnel

Une écriture rapide, à exposant positif ou négatif.

1) Puissance à exposant positif

Définition

Soient

a

un nombre rationnel et

n

un entier strictement supérieur à 1.

a^n = a \times a \times a \times \cdots \times a \quad (n \text{ facteurs})

Vocabulaire

$a^n$ est une puissance du nombre $a$ et se lit « $a$ exposant $n$ » ou « $a$ puissance $n$ ». Le nombre $n$ est appelé exposant.
$a^2$ se lit « $a$ au carré » · $a^3$ se lit « $a$ au cube ».

$11^3 = 11 \times 11 \times 11$

$(-5)^2 = (-5) \times (-5)$

$\left(\dfrac{7}{9}\right)^4 = \dfrac{7}{9} \times \dfrac{7}{9} \times \dfrac{7}{9} \times \dfrac{7}{9}$

$\left(\dfrac{-13}{6}\right)^3 = \dfrac{-13}{6} \times \dfrac{-13}{6} \times \dfrac{-13}{6}$

Cas particulier

a

est un nombre rationnel non nul, alors :

a^0 = 1 \quad \text{et} \quad a^1 = a

Exemples : $14^0 = 1$ ; $(-15)^0 = 1$ ; $17^1 = 17$ ; $(-25)^1 = -25$ .

Remarque : la puissance $0^0$ n'existe pas.

2) Puissance à exposant négatif

Définition

Soient

x

\dfrac{a}{b}

deux nombres rationnels non nuls et

n

un entier positif.

x^{-n} = \dfrac{1}{x^n} \quad \text{et} \quad \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n

$5^{-3} = \dfrac{1}{5^3}$

$(-11)^{-9} = \dfrac{1}{(-11)^9}$

$\left(\dfrac{5}{7}\right)^{-11} = \left(\dfrac{7}{5}\right)^{11}$

$\left(\dfrac{-13}{25}\right)^{-2} = \left(\dfrac{-25}{13}\right)^2$

3) Le signe d'une puissance d'un nombre négatif

Propriété

Une puissance d'un nombre rationnel négatif est :

Positive, si son exposant est un nombre pair.
Négative, si son exposant est un nombre impair.

$(-125)^{12}$ est positif, car 12 est pair.

$\left(\dfrac{-117}{19}\right)^{31}$ est négatif, car 31 est impair.

Remarques importantes

$(-5)^2 \neq -5^2$ , car $(-5)^2 = 25$ (positif) alors que $-5^2 = -25$ (négatif, c'est l'opposé d'une puissance).

$(-5)^3 = -5^3$ , car les deux valent $-125$ .

Application : calculer

5 puissances

25^2

\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-3}

\left(\dfrac{-7}{5}\right)^{-3}

\left(\dfrac{-9}{7}\right)^{-2}

\left(\dfrac{-1}{2}\right)^5

02 · Les cinq règles

Les opérations sur les puissances

Toujours la même logique : on additionne, soustrait ou multiplie les exposants.

1) Produit de deux puissances d'un même nombre

a^n \times a^m = a^{n+m}

$11^{14} \times 11^8 = 11^{22}$

$17^{-5} \times 17^{-10} = 17^{-15}$

$\left(\dfrac{-7}{5}\right)^{11} \times \left(\dfrac{-7}{5}\right)^{-20} = \left(\dfrac{-7}{5}\right)^{-9}$

2) Produit de deux puissances de même exposant

a^n \times b^n = (a \times b)^n

$25^{14} \times 10^{14} = 250^{14}$

$30^{-5} \times 2^{-5} = 60^{-5}$

$\left(\dfrac{-5}{11}\right)^{11} \times \left(\dfrac{2}{7}\right)^{11} = \left(\dfrac{-10}{77}\right)^{11}$

3) Quotient de deux puissances d'un même nombre

\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

$\dfrac{12^{23}}{12^{15}} = 12^8$

$\dfrac{(-9)^{-14}}{(-9)^{30}} = (-9)^{-44}$

$\dfrac{(7/11)^{-17}}{(7/11)^{-20}} = \left(\dfrac{7}{11}\right)^3$

4) Quotient de deux puissances de même exposant

\dfrac{a^n}{b^n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^n

$\dfrac{16^{25}}{12^{25}} = \left(\dfrac{4}{3}\right)^{25}$

$\dfrac{(-27)^{-15}}{18^{-15}} = \left(\dfrac{-3}{2}\right)^{-15}$

$\dfrac{(2/5)^3}{(-1/3)^3} = \left(\dfrac{-6}{5}\right)^3$

5) Puissance d'une puissance

(a^m)^n = a^{m \times n}

$(12^{-5})^4 = 12^{-20}$

$\left(\left(\dfrac{-7}{6}\right)^{11}\right)^{-6} = \left(\dfrac{-7}{6}\right)^{-66}$

$((-17)^{-10})^{-9} = (-17)^{90}$

Application 1 : écrire sous la forme

a^n

avec

n \neq 1, -1

A = \dfrac{-1}{2} \times \left(\dfrac{-1}{2}\right)^2

B = \left(\dfrac{11}{7}\right)^{11} \times \left(\dfrac{11}{7}\right)^{-11}

C = \dfrac{5^7}{5^6 \times ((5)^2)^{-1}}

D = \dfrac{(2/3)^6}{((2/3)^2)^3}

Application 2 : transformer en une seule puissance

a, b non nuls

x = a^{-3} \times a^4 \times \dfrac{1}{a^7}

y = \dfrac{(a^5 \times a)^{-2}}{a^3}

z = \dfrac{(a \times b^2)^{-3} \times a}{a^{-5} \times b^{-3}}

t = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-3} \times a^5 \times \left(\dfrac{1}{b}\right)^5

u = \dfrac{(a^2)^{-3} \times a^{-5}}{(1/b) \times (b^5)^{-2}}

03 · L'écriture scientifique

Puissances de 10 et notation scientifique

Une écriture

a \times 10^n

avec

1 \leq a < 10

1) Puissance de 10

Soit

n

un nombre entier naturel non nul.

10^n = 1\,000\ldots0 \ (n \text{ zéros}) \quad \text{et} \quad 10^{-n} = 0{,}000\ldots01 \ (n \text{ zéros})

$10^5 = 100\,000$ · $10\,000\,000\,000 = 10^{10}$

$10^{-7} = 0{,}0000001$ · $0{,}000\ldots0 = 10^{-13}$

2) Écriture scientifique

Définition

Soient

a

un nombre décimal et

n

un entier relatif non nul. Toute écriture de la forme

x = a \times 10^n

x = -a \times 10^n

avec $1 \leq a < 10$ s'appelle l'écriture scientifique de

x

$a = 3452$
⇒ $\mathbf{3{,}452 \times 10^3}$

$b = -0{,}00000234$
⇒ $\mathbf{-2{,}34 \times 10^{-6}}$

$c = 678{,}25 \times 10^5 = 6{,}7825 \times 10^2 \times 10^5$ ⇒ $\mathbf{6{,}7825 \times 10^7}$

$d = -0{,}000254 \times 10^{-9} = -2{,}54 \times 10^{-4} \times 10^{-9}$ ⇒ $\mathbf{-2{,}54 \times 10^{-13}}$

$e = -24{,}5 \times 10^{-11} \times 1{,}2 \times 10^3 = -29{,}4 \times 10^{-8}$ ⇒ $\mathbf{-2{,}94 \times 10^{-7}}$

$f = -113 \times 10^5 + 7{,}2 \times 10^7 = 607 \times 10^5$ ⇒ $\mathbf{6{,}07 \times 10^7}$

Série n°7 · Les puissances

Série d'exercices

14 exercices. Clique sur « Voir la correction » pour vérifier chaque exercice.

0 / 14 vérifiés

Écriture fractionnaire

6 puissances

2^{-3}

(-5)^{-3}

3^{-2}

7^{-1}

10^{-3}

(2{,}5)^{-4}

Entier ou fraction irréductible

4 puissances

\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2}

\left(\dfrac{9}{5}\right)^{-4}

\left(\dfrac{-1}{2}\right)^{-3}

-\left(\dfrac{11}{20}\right)^{-2}

Le signe des nombres

14 puissances, positif ou négatif

(-3)^7

Négatif

(-5{,}4)^{-4}

Positif

-3^{126}

Négatif

\left(\dfrac{-1}{3}\right)^{-11}

Négatif

\left(\dfrac{-1}{9}\right)^{-14}

Positif

\left(\dfrac{22}{23}\right)^{-1}

Positif

\left(\dfrac{-3}{4}\right)^5

Négatif

(-3)^{-78}

Positif

(-1)^{-1}

Négatif

5{,}4^{-4}

Positif

-\left(\dfrac{22}{23}\right)^{-2}

Négatif

\left(\dfrac{-5}{3}\right)^6

Positif

\left(\dfrac{-2}{7}\right)^8

Positif

\left(\dfrac{-5}{3}\right)^{-6}

Positif

Forme

a^n

avec

n

négatif

\dfrac{1}{8}

\dfrac{4}{9}

\dfrac{-1}{8}

\dfrac{9}{4}

Puissance d'un nombre

8 écritures

\dfrac{1}{5^{-12}}

\dfrac{1}{(-2)^{-2}}

\dfrac{1}{(-2)^{-6}}

\dfrac{-1}{(-5)^{-1}}

\dfrac{1}{3^{-1}}

\dfrac{1}{a^{-7}}

\dfrac{1}{(-3)^6}

\dfrac{-1}{(-a)^{-3}}

Effectue les calculs

10 expressions

A = 2 + 3 \times 5^4

B = 5 - 3 \times 2^3

C = 3 \times 2^2 + 4 \times 5^2 - 3^2 \times 2^3

D = 2 \times (5+4)^2

E = \dfrac{16}{(3-1)^2}

F = 2 \times (1-5)^3

G = [2 + 2 \times (-3)]^4

H = [2 + (-2)^4 \times 3] \times (3^3 - 1)

I = 3 \times (1-3)^5 - 2^2 \times (3+2)

L = \dfrac{(5 - 2 \times 3)^4}{(2-3)^5}

Fraction irréductible

A = 5 \times 2^{-1} - 3^{-2}

B = 3 \times 2^{-2} + 5 \times 2^{-3}

\left(\dfrac{3}{4}\right)^2

\left(\dfrac{10}{3}\right)^5

Calcul littéral

1Calcule A pour

x = -3

A = 2x^2 - 4x + 1

2Calcule B pour

a = 2, b = -4

B = 2(a+b)^2 - ab^2

3Calcule C pour

x = \dfrac{2}{3}

C = 3x^3 - 2x^2 - 4

Calcul astucieux

En remarquant que $2^{19} = 2^4 \times 2^{15}$ , calcule $2^{19} \times 5^{15}$ sans utiliser ta calculatrice.

Puissances de 2

1. On donne $A = 2^{31} + 2^{30} + 2^{29}$ . Écris A sous la forme $a \times 2^{30}$ où $a$ est un nombre décimal à déterminer.

2. On donne $B = 4^{15}$ . Écris B sous la forme $2^n$ où $n$ est un nombre entier à déterminer.

3. Trouve le nombre entier x tel que $\dfrac{A}{x} = \dfrac{B}{2}$ .

Écriture décimale

6 nombres

1{,}35 \times 10^5

0{,}00605 \times 10^2

45200 \times 10^{-5}

2 \times 10^{-4}

0{,}05 \times 10^4

13{,}45 \times 10^{-3}

Complète

10 égalités

1{,}45 \times 10^{\ldots} = 14\,500

\ldots \times 10^{-2} = 85

45 \times 10^{\ldots} = 0{,}045

\ldots \times 10^4 = 7{,}1

6{,}3 \times 10^{\ldots} = 6\,300

\ldots \times 10^{-3} = -0{,}063

45\,324 = 45{,}324 \times 10^{\ldots} = 4{,}5324 \times 10^{\ldots}

20{,}07 = 2\,007 \times 10^{\ldots} = 0{,}2007 \times 10^{\ldots}

-917{,}2 = \ldots \times 10^2 = \ldots \times 10^{-4}

-0{,}0031 = \ldots \times 10^3 = \ldots \times 10^{-1}

0{,}02135 = \ldots \times 10^{-3} = 2\,135 \times 10^{\ldots}

-4\,245\,000 = \ldots \times 10^5 = -4\,245 \times 10^{\ldots}

Notation scientifique ?

forme a × 10ⁿ, 1 ⩽ a < 10

56 \times 10^{-5}

Négatif

8{,}7 \times 10^{12}

Positif

0{,}97

Négatif

-13{,}4 \times 10^{10}

Négatif

0{,}56 \times 10^{-1}

Négatif

10 \times 10^5

Négatif

-1{,}32 \times 10^0

Positif

8{,}71 \times 10^{-15}

Positif

-3 \times 10^{-7}

Positif

5{,}98

Négatif

\pi \times 10^4

Négatif

-9{,}9 \times 10

Positif

Écriture scientifique

9 nombres

6\,540

0{,}0032

-1\,475{,}2

23{,}45

-34{,}3

-0{,}001

645{,}3 \times 10^{-15}

0{,}056 \times 10^{17}

-13{,}6 \times 10^{-9}

Les puissances des nombres rationnels · Mathématiques, 2ᵉ année collège, semestre 1.