2ᵉ Année Collège · Chapitre 4

Le produit et la division des rationnels

Multiplier, c'est facile : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux. Diviser, c'est juste multiplier par l'inverse.

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Repères

Fiche pédagogique

Durée indicative : 5 heures.

Objectifs d'apprentissage

  • Connaître les règles de multiplication et de division des nombres rationnels.
  • Savoir multiplier et diviser des nombres rationnels.
  • Calculer l'inverse d'un nombre rationnel non nul.
  • Déterminer le signe du produit et du quotient de deux nombres rationnels.

Prérequis

  • Calculer la somme et la différence de deux nombres fractionnaires.
  • Multiplier et diviser deux nombres fractionnaires.
  • Déterminer l'inverse d'un nombre décimal non nul.

Gestion du temps

Outils didactiques

  • Tableau
  • Livre scolaire

01 · La multiplication

Multiplication des nombres rationnels

On multiplie les numérateurs entre eux, et les dénominateurs entre eux.
ab×cd=a×cb×d\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}
pour b≠0b \neq 0 et d≠0d \neq 0

Remarques

  • Si b=1b = 1, la formule devient : a×cd=a×cda \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{d}
  • ab=a×1b\dfrac{a}{b} = a \times \dfrac{1}{b} ; ab×1=ab\dfrac{a}{b} \times 1 = \dfrac{a}{b} ; ab×0=0\dfrac{a}{b} \times 0 = 0
  • Quand c'est possible, il est préférable de simplifier avant d'effectuer les multiplications.

A=289×−1821=−7×4×9×29×7×3=−83A = \dfrac{28}{9} \times \dfrac{-18}{21} = -\dfrac{7 \times 4 \times 9 \times 2}{9 \times 7 \times 3} = \dfrac{-8}{3}

B=−47×−611=4×67×11=2477B = \dfrac{-4}{7} \times \dfrac{-6}{11} = \dfrac{4 \times 6}{7 \times 11} = \dfrac{24}{77}

C=38×5−8=−3×58×8=−1564C = \dfrac{3}{8} \times \dfrac{5}{-8} = -\dfrac{3 \times 5}{8 \times 8} = \dfrac{-15}{64}

D=−5×9−10=5×95×2=92D = -5 \times \dfrac{9}{-10} = \dfrac{5 \times 9}{5 \times 2} = \dfrac{9}{2}

E=34×−12×5−7=3×1×54×2×7=1556E = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{-1}{2} \times \dfrac{5}{-7} = \dfrac{3 \times 1 \times 5}{4 \times 2 \times 7} = \dfrac{15}{56}

02 · La division

Division des nombres rationnels

Diviser par un nombre non nul, c'est multiplier par son inverse.

1) Inverse d'un nombre rationnel

Définition

Deux nombres sont inverses l'un de l'autre si leur produit est égal à 1.

Propriétés

  • Tout nombre xx non nul admet un inverse qui est 1x\dfrac{1}{x}.
  • L'inverse d'un nombre rationnel ab\dfrac{a}{b} est ba\dfrac{b}{a}.

L'inverse de 52\dfrac{5}{2} est 25\dfrac{2}{5} car 52×25=1\dfrac{5}{2} \times \dfrac{2}{5} = 1

L'inverse de 9−13\dfrac{9}{-13} est −139\dfrac{-13}{9} car 9−13×−139=1\dfrac{9}{-13} \times \dfrac{-13}{9} = 1

L'inverse de 5 est 15\dfrac{1}{5} car 5×15=15 \times \dfrac{1}{5} = 1

2) Quotient de nombres rationnels

ab÷cd=ab×dc=a×db×c\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \times d}{b \times c}

−87÷5−3=87×35=2435\dfrac{-8}{7} \div \dfrac{5}{-3} = \dfrac{8}{7} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{24}{35}

49÷3=49×13=427\dfrac{4}{9} \div 3 = \dfrac{4}{9} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{27}

25÷810=25×108=12\dfrac{2}{5} \div \dfrac{8}{10} = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{10}{8} = \dfrac{1}{2}

Série des TD n°4

Série d'exercices

Multiplication et division des nombres rationnels. Clique pour vérifier chaque exercice.

0 / 10 vérifiés

×Multiplication

1
Multiplications simples
fraction irréductible
AA=37×52A = \dfrac{3}{7} \times \dfrac{5}{2}
BB=37×45B = \dfrac{3}{7} \times \dfrac{4}{5}
CC=311×119C = \dfrac{3}{11} \times \dfrac{11}{9}
DD=184×29D = \dfrac{18}{4} \times \dfrac{2}{9}
EE=−1520×10−5E = \dfrac{-15}{20} \times \dfrac{10}{-5}
FF=1835×527F = \dfrac{18}{35} \times \dfrac{5}{27}
GG=−3334×−17−22G = \dfrac{-33}{34} \times \dfrac{-17}{-22}
2
Produits de trois facteurs
fraction irréductible
AA=37×52×45A = \dfrac{3}{7} \times \dfrac{5}{2} \times \dfrac{4}{5}
BB=32×−46×95B = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{-4}{6} \times \dfrac{9}{5}
CC=311×−119×45C = \dfrac{3}{11} \times \dfrac{-11}{9} \times \dfrac{4}{5}
DD=−184×−29×4−5D = \dfrac{-18}{4} \times \dfrac{-2}{9} \times \dfrac{4}{-5}
EE=−15−20×−105×45E = \dfrac{-15}{-20} \times \dfrac{-10}{5} \times \dfrac{4}{5}
FF=−2−3×4−5×−67F = \dfrac{-2}{-3} \times \dfrac{4}{-5} \times \dfrac{-6}{7}
HH=−1−20×−155×4−3H = \dfrac{-1}{-20} \times \dfrac{-15}{5} \times \dfrac{4}{-3}
3
Produits avec sommes
6 expressions
AA=12×(−35+−12)A = \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{-3}{5} + \dfrac{-1}{2}\right)
BB=−95×(−814+−5−9)B = \dfrac{-9}{5} \times \left(\dfrac{-8}{14} + \dfrac{-5}{-9}\right)
CC=(57−79)×(−18+512)C = \left(\dfrac{5}{7} - \dfrac{7}{9}\right) \times \left(\dfrac{-1}{8} + \dfrac{5}{12}\right)
DD=(34−56)×(−3−318)D = \left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{6}\right) \times \left(-3 - \dfrac{3}{18}\right)
EE=(−7,2+32)×(2−5+−1315)E = \left(-7{,}2 + \dfrac{3}{2}\right) \times \left(\dfrac{2}{-5} + \dfrac{-13}{15}\right)
FF=(−814+−1542)×(814+2255)F = \left(\dfrac{-8}{14} + \dfrac{-15}{42}\right) \times \left(\dfrac{8}{14} + \dfrac{22}{55}\right)
4
Problème : la pièce de tissu

Une pièce de tissu mesure 180 m.
1) On vend le tiers de la pièce. Combien de mètres reste-t-il dans la pièce ?
2) On vend le quart du reste. Combien mesure la pièce restante ?

5
Problème : le jardin

Le jardin occupe les quatre cinquièmes de la surface d'un terrain. Les deux tiers de la surface du jardin sont réservés aux légumes.
1. Quelle fraction de la surface du terrain les légumes occupent-ils ?
2. L'aire du terrain est de 450 m². Calcule l'aire réservée aux légumes de deux façons différentes.

÷Division

6
Compléter les égalités
pour que ce soit vrai
137÷…=1\dfrac{3}{7} \div \ldots = 1
2−43÷…=1\dfrac{-4}{3} \div \ldots = 1
3−1334÷…=1\dfrac{-13}{34} \div \ldots = 1
473×…=1\dfrac{7}{3} \times \ldots = 1
5−34×…=1\dfrac{-3}{4} \times \ldots = 1
6−3413×…=1\dfrac{-34}{13} \times \ldots = 1
7
Divisions simples
AA=37÷−25A = \dfrac{3}{7} \div \dfrac{-2}{5}
BB=−37÷54B = \dfrac{-3}{7} \div \dfrac{5}{4}
CC=3−11÷−911C = \dfrac{3}{-11} \div \dfrac{-9}{11}
DD=−18−4÷9−2D = \dfrac{-18}{-4} \div \dfrac{9}{-2}
EE=−1520÷5−10E = \dfrac{-15}{20} \div \dfrac{5}{-10}
FF=2018÷527F = \dfrac{20}{18} \div \dfrac{5}{27}
8
Quotients de quotients
AA=4953A = \dfrac{\dfrac{4}{9}}{\dfrac{5}{3}}
BB=17834−3B = \dfrac{\dfrac{17}{8}}{\dfrac{34}{-3}}
CC=−16−12−8−6C = \dfrac{\dfrac{-16}{-12}}{\dfrac{-8}{-6}}
DD=4,5÷(−1,5)−35D = \dfrac{4{,}5 \div (-1{,}5)}{\dfrac{-3}{5}}
9
Fractions de fractions
fraction irréductible
AA=2+17834−3A = \dfrac{2 + \dfrac{17}{8}}{\dfrac{34}{-3}}
BB=1+−1612−8−6B = \dfrac{1 + \dfrac{-16}{12}}{\dfrac{-8}{-6}}
CC=1−591−43C = \dfrac{1 - \dfrac{5}{9}}{1 - \dfrac{4}{3}}
DD=43+3713+−521D = \dfrac{\dfrac{4}{3} + \dfrac{3}{7}}{\dfrac{1}{3} + \dfrac{-5}{21}}
EE=56−14−2+1312E = \dfrac{\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4}}{-2 + \dfrac{13}{12}}
FF=−83−59−1−43F = \dfrac{-\dfrac{8}{3} - \dfrac{5}{9}}{-1 - \dfrac{4}{3}}
10
Calcul littéral

Sachant que a=14a = \dfrac{1}{4} et b=−23b = \dfrac{-2}{3}, calculer :

1a+ba\dfrac{a+b}{a}
2a×ba−b\dfrac{a \times b}{a - b}
32a−ba−2b\dfrac{2a - b}{a - 2b}

Produit et division des nombres rationnels · Mathématiques, 2ᵉ année collège, semestre 1.