2ᵉ Année Collège · Chapitre 1

Les nombres relatifs

Additionner, multiplier, diviser des nombres relatifs et respecter l'ordre des calculs : les quatre règles qui serviront toute l'année.

Découvrir le cours S'entraîner

exercices

règles

100%

corrigé

01 · Simplifier les signes

Somme de nombres relatifs

Deux signes qui se suivent peuvent toujours se remplacer par un seul.

Règle de simplification des signes

Lors de l'addition ou la soustraction de nombres relatifs, on peut remplacer deux signes qui se suivent par un seul :

$+$ si ces signes sont les mêmes
$-$ si ces signes sont différents

(-4) - (+3) = -4 - 3

-(-7) + (-3) + (+9) = +7 - 3 + 9

Vocabulaire : le terme

$4 + (-3) + (+5)$ est la somme des termes $4$ ; $-3$ ; $5$ . On peut aussi l'écrire $4 - 3 + 5$ : c'est la somme des mêmes termes.

Attention : un terme contient son signe. La somme des termes $9$ ; $-6$ ; $+3$ ; $-7$ est $9 - 6 + 3 - 7$ .

Propriété des sommes (commutativité)

Dans une somme, on peut changer l'ordre des termes.

$-7 + 10 = +10 - 7 = 3$

$4 - 8 - 6 + 8 = -2$

$10{,}5 - 17{,}56 + 29{,}5 + 2{,}56 = (10{,}5 + 29{,}5) + (-17{,}56 + 2{,}56) = 40 - 15 = 25$

02 · Le signe du produit

Multiplication de nombres relatifs

On compte les signes « − » : pair donne un résultat positif, impair donne un résultat négatif.

Règle de signe du produit

Pour trouver le signe du résultat d'une multiplication de plusieurs nombres relatifs, il suffit de compter le nombre de « − » :

si ce nombre est pair, le résultat est positif.
si ce nombre est impair, le résultat est négatif.

Méthode pour multiplier des nombres relatifs

Calculons $(-5) \times (+6) \times (-2) \times (-10)$ .

1°) On trouve le signe : il y a 3 signes « − » (impair) → le résultat est négatif.

2°) On multiplie les nombres sans les signes : $5 \times 6 \times 2 \times 10 = 600$ .

Donc $(-5) \times (+6) \times (-2) \times (-10) = -600$ .

Cas particuliers

$0 \times a = 0$ et $a \times 0 = 0$

$1 \times a = a$ et $a \times 1 = a$

$(-1) \times a = -a$ : multiplier par $-1$ un nombre donne son opposé.

Vocabulaire : $(-2) \times 3 \times (-5) \times 6$ est le produit des facteurs $-2$ ; $3$ ; $-5$ ; $6$ .

03 · Division et règle généralisée

Division de nombres relatifs

La même règle de signe que la multiplication — y compris quand on enchaîne plusieurs × et ÷.

Règle de signe de la division

C'est la même que celle de la multiplication.

Règle des signes généralisée

Pour trouver le signe du résultat d'un calcul qui ne contient QUE des multiplications et des divisions, on compte le nombre de signes « − » : pair → positif, impair → négatif.

\dfrac{-8}{-4} = 2

\dfrac{-24}{6} = -4

\dfrac{24}{-6} = -4

-\dfrac{24}{6} = -4

$\dfrac{-4}{2} \times 10 \times \dfrac{-18}{-6} = -\dfrac{4}{2} \times 10 \times \dfrac{18}{6} = -2 \times 10 \times 3 = -60$

Remarque :

\dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b} = -\dfrac{a}{b}

Exemple : $\dfrac{-2}{3} = \dfrac{2}{-3} = -\dfrac{2}{3}$

04 · L'ordre des opérations

Priorité des opérations

Parenthèses, puis multiplications/divisions, puis additions/soustractions.

\text{1) parenthèses} \quad\to\quad \text{2) } \times \text{ et } \div \quad\to\quad \text{3) } + \text{ et } -

Quand il y a plusieurs possibilités, on effectue la première dans l'ordre de lecture.

Exemple : $A = 2{,}5 - 4 \times (10 - 8{,}75)$

$A = 2{,}5 - 4 \times 1{,}25$

$A = 2{,}5 - 5$

$A = -2{,}5$

Remarque : $A$ est la somme des termes $2{,}5$ et $-4 \times (10 - 8{,}75)$ .

S'entraîner

Exercices : les nombres relatifs

8 exercices corrigés. Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier.

0 / 8 vérifiés

Priorité des opérations

8 calculs

6 \times (9 - 2)

6 \times 9 - 2

25 - \dfrac{12}{3} + 4

42 - (3 + 4 \times 8)

2 + (3{,}5 + 0{,}5) \times (4{,}2 - 1{,}2)

12 - 3 \times 2 + \dfrac{8}{2}

[(12 - 8) + 16] \times (6 + 4)

4 \times (7{,}2 + 2{,}3) - \dfrac{33 - (12 - 9)}{2} + 14

Calculer des sommes

6 expressions

9 + (-16) + (-8) + 22

-48 + 24 + 36 + (-12)

-7{,}5 + 12{,}3 + (-2{,}5) + (-5) + 12{,}7

-35 - (-8) + 14 - 26

54 - 17 - (-11{,}5) - 6 + 4

-18 + (-17) - (-16) + 15 - (-14)

Effectuer les calculs

6 expressions

(+2) + (-8)

(-3) + (+7{,}5) + (+3)

(-17) + (-2) + (+4) + (-1)

(-3{,}5) - (-14)

(+7) - (-2) + (+4)

(+5) + (-4{,}5) - (+7{,}5)

Sans effectuer les produits, indiquer les produits égaux

5 produits

6 \times 3 \times 7 \times 5

(-6) \times (-3) \times (-7) \times (-5)

(-6) \times 3 \times (-7) \times 5

(-6) \times (-3) \times 7 \times (-5)

6 \times (-3) \times (-7) \times (-5)

Quel est le signe de chacun de ces produits ? (le calcul n'est pas demandé)

5 produits

6 \times (-3) \times 7 \times (-5) \times (-8)

(-6) \times (-3) \times (-7) \times (-8) \times (-5)

(-6) \times (-8) \times 3 \times (-7) \times 5

(-6) \times (-3) \times (-8) \times 7 \times (-5)

6 \times (-3) \times (-7) \times (-7) \times (-5)

Calculer les expressions suivantes

6 expressions

(-4) \times [5 - (+7)]

7 - [6 \times (-3) + (-3)]

-5 \times [(7 + (-4)) \times (-5 - (-2))]

(-5) + [(-4) \times (-2) + (+7)]

(-4) \times (-2) \times (-3) - (-3) \times (-2)

(+6) - (-9) + (-3) \times [(-5) \times (-2) - 3]

Pyramides de nombres relatifs

2 pyramides

Chaque case est la somme ( $a+b$ ) des deux cases juste en dessous. Complète la pyramide dont la base est $-3{,}5\ ;\ 2{,}5\ ;\ -7\ ;\ -2$ .

Chaque case est la différence ( $a-b$ , case de gauche moins case de droite) des deux cases juste en dessous. Sachant que le sommet vaut $-10$ et que la case à droite du sommet vaut $3$ , et que la base commence par $-7\ ;\ 2\ ;\ \ldots\ ;\ \ldots$ , retrouve toute la pyramide.

Opposé, inverse, somme et produit

2 nombres, 6 questions

On donne les deux nombres $\dfrac{5}{3}$ et $-7$ . Calculer :

1La somme de leurs opposés

2La somme de leurs inverses

3L'opposé de leur somme

4L'inverse de leur somme

5L'inverse de leur produit

6Le produit de leurs inverses

Les nombres relatifs · Mathématiques, 2ᵉ année collège, semestre 1.