Les Nombres Rationnels · Introduction et Ordre | 2AC

01 · La définition

Le nombre rationnel

Le quotient d'un entier relatif

a

par un entier relatif non nul

b

.

\dfrac{a}{b}

b \neq 0

ce sont des rationnels

$\dfrac{2}{3}$ · $\dfrac{5}{7}$ · $-\dfrac{11}{8}$

ce n'en est pas un

$\dfrac{4}{0}$ · le dénominateur est nul

Propriété

Tout nombre décimal relatif est un nombre rationnel.

$4 = \dfrac{4}{1}$ · $2{,}35 = \dfrac{235}{100}$ · $-0{,}9 = -\dfrac{9}{10}$

Remarque : certains rationnels ne sont pas décimaux, comme $\dfrac{2}{3}$ ( $\dfrac{2}{3} \approx 1{,}333\ldots$ ).

02 · Le signe

Signe d'un nombre rationnel

Tout dépend si

a

et

b

ont le même signe, ou pas.

même signe

$\dfrac{a}{b}$ est positif

$\dfrac{-2}{-7}$ · numérateur et dénominateur ont le même signe

signes contraires

$\dfrac{a}{b}$ est négatif

$\dfrac{-3}{5}$ · numérateur et dénominateur ont des signes contraires

Si $\dfrac{a}{b}$ est un nombre rationnel, alors :

\dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b} = -\dfrac{a}{b} \quad ; \quad \dfrac{a}{b} = \dfrac{-a}{-b}

03 · La simplification

Simplifier un nombre rationnel

On multiplie ou on divise

a

et

b

par le même entier

k

non nul.

\dfrac{a \times k}{b \times k} = \dfrac{a}{b} \quad ; \quad \dfrac{a \div k}{b \div k} = \dfrac{a}{b}

$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12}$

$\dfrac{-21}{35} = \dfrac{-21 \div 7}{35 \div 7} = \dfrac{-3}{5}$

04 · L'égalité

Égalité des rationnels et produit en croix

Si

\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}

, alors

a \times d = b \times c

.

Les nombres $\dfrac{-2}{5}$ et $-\dfrac{3}{7}$ sont-ils égaux ?

$-2 \times 7 = -14$ et $5 \times (-3) = -15$

$-14 \neq -15$ , donc $\dfrac{-2}{5} \neq -\dfrac{3}{7}$

05 · Comparer

Comparaison des nombres rationnels

Pour comparer deux nombres rationnels, on regarde d'abord leur signe, puis leur distance à zéro.

Propriétés — signe d'un nombre rationnel

Si le numérateur et le dénominateur d'un nombre rationnel sont du même signe, alors ce nombre est positif.
Si le numérateur et le dénominateur d'un nombre rationnel sont de signes différents, alors ce nombre est négatif.
L'opposé d'un nombre est de signe différent de ce nombre ( $-a$ est du signe opposé de $a$ ).

$\dfrac{-3}{4}$ est négatif. On écrit donc : $\dfrac{-3}{4} = -\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{-5}{-12}$ est positif. On écrit donc : $\dfrac{-5}{-12} = \dfrac{5}{12}$

$\dfrac{12}{-5}$ est négatif. On écrit donc : $\dfrac{12}{-5} = -\dfrac{12}{5}$

$-\dfrac{-3}{4}$ est positif, car $\dfrac{-3}{4}$ est négatif. On écrit donc : $-\dfrac{-3}{4} = \dfrac{3}{4}$

Propriétés — comparer les nombres rationnels

Un nombre positif est toujours supérieur à un nombre négatif.
Si deux nombres sont positifs, alors le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro.
Si deux nombres sont négatifs, alors le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro.
Soient $a$ , $b$ et $c$ trois nombres positifs ( $c \neq 0$ ) : si $a < b$ , alors $\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c}$ et $-\dfrac{a}{c} > -\dfrac{b}{c}$ .

Exemples : $-\dfrac{5}{2} < \dfrac{4}{3}$ et $\dfrac{15}{4} > \dfrac{9}{4}$

Remarque : pour comparer deux fractions de dénominateurs différents, il faut trouver un multiple commun aux deux dénominateurs pour pouvoir mettre les deux nombres rationnels au même dénominateur.

Méthode — trouver un multiple commun

On liste les multiples des deux dénominateurs en commençant par le plus petit.

On continue jusqu'à obtenir deux multiples communs.

Comparer $\dfrac{16}{9}$ et $\dfrac{110}{63}$ :

$\dfrac{16}{9} = \dfrac{16 \times 7}{9 \times 7} = \dfrac{112}{63}$ . Or, $112 > 110$ .

Donc $\dfrac{112}{63} > \dfrac{110}{63}$ et $\dfrac{16}{9} > \dfrac{110}{63}$ .

Comparer $-\dfrac{17}{8}$ et $-\dfrac{7}{6}$ :

On cherche un multiple commun à $8$ et à $6$ : $8, 16, \mathbf{24}$ et $6, 12, 18, \mathbf{24}$ . $24$ est un multiple commun à $8$ et à $6$ .

$\dfrac{17}{8} = \dfrac{17 \times 3}{8 \times 3} = \dfrac{51}{24}$ et $\dfrac{7}{6} = \dfrac{7 \times 4}{6 \times 4} = \dfrac{28}{24}$

De plus, $51 > 28$ . Donc $\dfrac{17}{8} > \dfrac{7}{6}$ . Par conséquent, $-\dfrac{17}{8} < -\dfrac{7}{6}$ .

Remarque : un autre multiple de $8$ et de $6$ est $8 \times 6 = 48$ (ce multiple est plus facile à trouver, mais les calculs seront plus compliqués sans calculatrice).

Avant la série

Exercice d'application

Un exercice de synthèse pour vérifier que le cours est acquis.

1

Simplifier, comparer, trouver x et y

3 questions

1) Simplifier :

1

\dfrac{10}{20}

2

\dfrac{-30}{15}

3

\dfrac{27}{63}

4

\dfrac{4 \times 7 \times 5}{5 \times 11 \times 4}

5

\dfrac{4 \times 9 \times 5 \times 7}{3 \times (-25) \times 3 \times 13}

2) Comparer :

1

\dfrac{6}{10}

et

\dfrac{-2}{3}

2

\dfrac{-8}{-5}

et

\dfrac{56}{35}

3

\dfrac{7}{-2}

et

-3{,}5

3) Trouver x et y :

1

\dfrac{6}{x} = \dfrac{10}{15}

2

0{,}7 = \dfrac{14}{x}

3

\dfrac{x}{5} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{10}{y}

S'entraîner

Exercice N°2 : nombres rationnels

9 exercices corrigés. Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier.

0 / 9 vérifiés

1

Signe des nombres rationnels

6 expressions

$\dfrac{3}{-7}$ ; $\dfrac{-2}{-5}$ ; $-\dfrac{1}{9}$ ; $-\left(\dfrac{5}{-9}\right)$ ; $-\left(\dfrac{-68}{-55}\right)$ ; $-\left(-\left(-\left(-\dfrac{1}{-3}\right)\right)\right)$

2

Nombres décimaux relatifs

lesquels sont décimaux ?

$\dfrac{11}{-6}$ ; $\dfrac{51}{17}$ ; $-\dfrac{9}{8}$ ; $\dfrac{-78}{-54}$ ; $\dfrac{-37}{-20}$

3

Compléter des égalités

2 chaînes

$\dfrac{-3}{7} = \dfrac{-12}{\ldots} = \dfrac{\ldots}{-0{,}7} = \dfrac{24}{\ldots} = \dfrac{\ldots}{-2{,}1} = \dfrac{-33}{\ldots}$

$\dfrac{-45}{27} = \dfrac{-5}{\ldots} = \dfrac{\ldots}{-300} = \dfrac{20}{\ldots} = \dfrac{0{,}2}{\ldots} = \dfrac{\ldots}{-42}$

4

Produit en croix : égaux ou différents ?

3 paires

$\dfrac{45}{60}$ et $\dfrac{75}{100}$ ; $\dfrac{-87}{-42}$ et $\dfrac{-5{,}8}{-2{,}8}$ ; $\dfrac{-12{,}15}{35{,}1}$ et $\dfrac{5{,}8}{-16{,}75}$

5

Rendre irréductible

6 fractions

1

\dfrac{65}{-39}

2

\dfrac{-144}{-69}

3

\dfrac{-702}{1014}

4

\dfrac{(-32) \times (-7)}{21 \times (-6)}

5

\dfrac{(-125) \times 49 \times (-21)}{15 \times (-98)}

6

\dfrac{2^3 \times 5^3 \times 11}{11^2 \times 2^5 \times 5^2}

6

Même dénominateur et comparaison

4 cas

$\dfrac{-5}{4}$ et $\dfrac{-9}{8}$ ; $\dfrac{2{,}7}{-9}$ et $\dfrac{-1}{3}$ ; $3$ et $\dfrac{20}{-7}$ ; $\dfrac{-7}{12}$ et $\dfrac{11}{-18}$ et $-\dfrac{5}{6}$

7

Trouver la valeur de

a

4 équations

1

\dfrac{4}{-6} = \dfrac{-18}{2a}

2

12a = \dfrac{-3}{11}

3

\dfrac{-2}{3a} = \dfrac{1}{4}

4

\dfrac{3}{-4} = \dfrac{-5}{2a-1}

8

Trouver la valeur de

x

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{77}{60}$

9

Problème : proportionnalité

Le volume de 180 gouttes d'un liquide est 9 cm³. Quel est le volume de 150 gouttes de ce même liquide ?