2ᵉ Année Collège · Chapitre 7

Les droites remarquables dans un triangle

Médiatrice, bissectrice, hauteur et médiane : quatre familles de droites, leurs points de concours, puis 10 exercices corrigés un par un.

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exercices

droites remarquables

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corrigé

01 · Les quatre familles

Les quatre droites remarquables

Chaque triangle a trois médiatrices, trois bissectrices, trois hauteurs et trois médianes. Dans chaque famille, les trois droites se coupent au même point.

Médiatrice d'un triangle

Définition

La médiatrice d'un triangle, c'est la médiatrice de l'un de ses côtés.

Remarque

Chaque triangle a trois médiatrices.

Propriété · centre du cercle circonscrit

Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point de rencontre de ses trois médiatrices. Il suffit d'en tracer deux pour le déterminer.

Cas particulier

Si le triangle a un angle obtus, le centre du cercle circonscrit se trouve à l'extérieur du triangle.

Bissectrice d'un triangle

Définition

La bissectrice d'un triangle, c'est la bissectrice de l'un de ses angles.

Remarque

Chaque triangle a trois bissectrices.

Propriété · centre du cercle inscrit

Le centre du cercle inscrit à un triangle est le point de rencontre de ses trois bissectrices. Il suffit d'en tracer deux pour le déterminer.

III

Hauteur d'un triangle

Définition

La hauteur d'un triangle est la droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. Le point où elle coupe ce côté s'appelle le pied de la hauteur.

Remarque

Chaque triangle a trois hauteurs.

Propriété · orthocentre

L'orthocentre d'un triangle est le point de rencontre de ses trois hauteurs. Il suffit d'en tracer deux pour le déterminer.

Cas particulier

Si le triangle a un angle obtus, l'orthocentre se trouve à l'extérieur du triangle.

Médiane d'un triangle

Définition

La médiane d'un triangle est la droite passant par un sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet.

Remarque

Chaque triangle a trois médianes.

Propriété · centre de gravité

Le centre de gravité d'un triangle est le point de rencontre de ses trois médianes. Il suffit d'en tracer deux pour le déterminer.

Propriété caractéristique

Si G est le centre de gravité du triangle ABC et M le milieu de [BC], alors :

$AG = \tfrac{2}{3}AM$

📘 Exemple d'application (issu du cours)

Soit ABM un triangle tel que $AM = 6\text{ cm}$ . C est le symétrique de B par rapport à M et M' le milieu du segment [AC]. (AM) et (BM') se coupent en G.

1) Montrer que G est le centre de gravité du triangle ABC. 2) Calculer AG.

M' est le milieu de [AC], donc (BM') est une médiane du triangle ABC.

C est le symétrique de B par rapport à M, donc M est le milieu de [BC] : (AM) est donc aussi une médiane du triangle ABC.

(AM) et (BM') se coupent en G, donc G est le centre de gravité du triangle ABC.

Donc $AG = \tfrac{2}{3}AM = \tfrac{2}{3}\times 6 = \tfrac{12}{3}$ , d'où $AG = \mathbf{4\text{ cm}}$ .

02 · Teste-toi

Teste tes définitions

Essaie de compléter chaque définition dans ta tête, puis clique pour vérifier.

…la médiatrice de l'un de ses côtés. Les trois médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit.

…la bissectrice de l'un de ses angles. Les trois bissectrices se coupent au centre du cercle inscrit.

…la droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Les trois hauteurs se coupent en l'orthocentre.

…la droite passant par un sommet et le milieu du côté opposé. Les trois médianes se coupent au centre de gravité (

AG = \tfrac{2}{3}AM

À toi de jouer

Exercices · Droites remarquables

10 exercices corrigés. Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier.

0 / 10 vérifiés

Orthocentre et hauteur issue de CConstruction & justification

Construis un triangle ABC avec $BC = 6\text{ cm}$ , $AB = 5{,}5\text{ cm}$ et $AC = 6{,}5\text{ cm}$ .

Trace les hauteurs issues de A et de B. Elles se coupent en H. La droite (CH) coupe [AB] en M.
En justifiant, que représente le point H pour le triangle ABC ?
En justifiant, que représente [CM] pour le triangle ABC ?

Cercle circonscrit à un triangleConstruction

a) Construis le cercle circonscrit du triangle ABC si $AB = 6\text{ cm}$ , $AC = 4\text{ cm}$ et $BC = 5\text{ cm}$ .

b) Trace le triangle ABC tel que $AB = 10\text{ cm}$ , $AC = 8\text{ cm}$ et $\widehat{A} = 120^{\circ}$ . Construis le cercle circonscrit du triangle ABC, puis place son orthocentre.

Hauteur et médiatrice parallèlesDémonstration

Construis un triangle ABC tel que $BC = 6\text{ cm}$ , $AB = 4\text{ cm}$ et $AC = 7\text{ cm}$ .

Soit (d₁) la droite passant par A et perpendiculaire à [BC]. Comment s'appelle cette droite ?
Place A', milieu de [BC]. Trace (d₂) passant par A' et perpendiculaire à [BC]. Comment s'appelle cette droite ?
Que peux-tu dire de (d₁) et (d₂) ? Justifie.
Trace la droite passant par A et A'. Comment s'appelle-t-elle ?

Les quatre points remarquablesConstruction complète

Construis un triangle ABC tel que $AB = 14\text{ cm}$ , $AC = 10\text{ cm}$ et $BC = 12\text{ cm}$ .

Construis ses médiatrices en rouge, ses médianes en vert, ses hauteurs en bleu et ses bissectrices en noir.
Place G (centre de gravité), O (centre du cercle circonscrit), I (centre du cercle inscrit) et H (orthocentre).
Construis son cercle circonscrit et son cercle inscrit.
Trace la droite passant par O et G. Que remarque-t-on ?

Triangle isocèle : médianes et perpendicularitéDémonstration

Soit LAC un triangle isocèle en L. A' est le milieu de [LC] et C' est le milieu de [LA]. U est le point d'intersection de [AA'] et [CC'].

Démontrer que (LU) est perpendiculaire à (AC).

Rectangle : perpendicularité via l'orthocentreDémonstration

ABCD est un rectangle. La médiatrice de [AC] coupe (AB) en E et (BC) en F.

Démontre que (CE) et (AF) sont perpendiculaires.

Médiatrices et perpendicularitéDémonstration

EFG est un triangle quelconque. I est le milieu de [FG]. Les médiatrices de [EF] et [EG] se coupent en O.

Démontre que la droite (OI) est perpendiculaire à la droite (GF).

Hauteur ∥ médiatrice (angle obtus)Construction & démonstration

Construire un triangle ABC tel que $AB = 3{,}5\text{ cm}$ , $ABC = 120^{\circ}$ et $BC = 5\text{ cm}$ .

Tracer en bleu la hauteur issue de A et en vert la médiatrice du segment [BC].
Démontrer que ces deux droites sont parallèles.

Parallélogramme et centre de gravitéDémonstration

ABCD est un parallélogramme de centre O. E est le milieu de [AB]. Les droites (CE) et (BO) sont sécantes en K.

Que représente la droite (BO) pour le triangle ABC ? Justifier.
Que représente le point K pour le triangle ABC ? Justifier.
Démontrer que la droite (AK) coupe le segment [BC] en son milieu.

Bissectrices et calcul d'anglesCalcul & justification

Sur la figure suivante, $ABC = 64^{\circ}$ et $ACB = 58^{\circ}$ . (BE) est la bissectrice de l'angle ABC et (CD) est la bissectrice de l'angle ACB. Les deux bissectrices se coupent en I.

En justifiant, calculer la mesure des angles ACD, ABE, BAC et BAI.

Droites remarquables du triangle · Mathématiques, 2ᵉ année collège, semestre 1.