2ᵉ Année Collège · Chapitre 8

Droites des milieux dans un triangle

Trois propriétés de la droite des milieux, le théorème de Thalès dans le triangle, puis 9 exercices corrigés un par un.

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Repères du chapitre

🎯 Compétences exigibles

Connaître et utiliser les théorèmes relatifs aux milieux des côtés d'un triangle, ainsi que la proportionnalité des longueurs (Thalès).

🔗 Pré-requis

Triangles, droites parallèles, symétrie centrale et propriétés du parallélogramme.

🧭 Extensions

Théorème de Thalès réciproque, théorème de Pythagore, applications en physique.

01 · Les trois propriétés

Les trois propriétés de la droite des milieux

Elles permettent tour à tour de démontrer un parallélisme, de prouver qu'un point est un milieu, et de calculer une longueur.

Théorème direct

Énoncé

Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.

Rédaction type

Dans le triangle ABC, K est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC]. Or, dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième. On déduit que (KJ) est parallèle à (BC).

💡 Cette propriété permet de démontrer que deux droites sont parallèles.

Théorème réciproque

Énoncé

Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un second côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

Rédaction type

Dans le triangle ABC, K milieu de [AB], J ∈ [AC] et (KJ) parallèle à (BC). Or, dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un second, alors elle coupe le troisième en son milieu. Donc J est le milieu de [AC].

💡 Cette propriété permet de démontrer qu'un point est le milieu d'un segment.

Propriété de longueur

Énoncé

Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté.

Exemple

L milieu de [PE] et F milieu de [ET], avec $PT = 12$ . On a alors : $LF = \tfrac{PT}{2} = \mathbf{6}$ .

💡 Cette propriété permet de calculer la longueur d'un segment.

02 · Proportionnalité

Théorème de Thalès dans le triangle

Une généralisation de la droite des milieux : il relie les longueurs de deux droites sécantes coupées par des parallèles.

Propriété 4 · Thalès

Dans un triangle LFR, si M est un point de [LF], N un point de [LR] et si (MN) ∥ (FR), alors :

\dfrac{LM}{LF} = \dfrac{LN}{LR} = \dfrac{MN}{FR}

Diviser un segment en parties égales

Pour diviser [AB] en 5 parties égales grâce au théorème de Thalès :

Tracer le segment [AB] à diviser.
Tracer une demi-droite oblique issue de A.
Avec un compas, reporter 5 fois la même ouverture sur cette demi-droite : on obtient les points 1, 2, 3, 4, 5.
Joindre le point 5 au point B.
Tracer les parallèles à (5B) passant par les points 4, 3, 2 et 1.

➡ [AB] est ainsi divisé en 5 segments de même longueur.

À toi de jouer

Exercice N°6 · Droites des milieux dans un triangle

9 exercices corrigés. Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier.

0 / 9 vérifiés

Calcul de longueur IJ

Construire le triangle ABC tel que $AB = 5\text{ cm}$ , $AC = 4\text{ cm}$ et $C\widehat{A}B = 55^{\circ}$ . Place les points I et J milieux respectifs des côtés [BA] et [BC].

➤ Calcule la longueur IJ en justifiant clairement la démarche utilisée.

Le dessin de Karim

Observe le dessin de Karim. Dans le triangle KJL, il veut montrer que les droites (KL) et (MN) sont parallèles.

➤ À l'aide du codage du dessin, rédige une démonstration.

Triangle RST

RST est un triangle tel que $RS = 8\text{ cm}$ , $RT = 6\text{ cm}$ et $TS = 7\text{ cm}$ . P est le milieu de [RT] et F est le milieu de [TS].

Fais un dessin à main levée et code-le.
Montre que (RS) et (PF) sont parallèles.
Calcule PF en justifiant la démarche utilisée.

Triangle rectangle EFG

EFG est un triangle rectangle en F tel que $EF = 5\text{ cm}$ et $FG = 3{,}5\text{ cm}$ . Soit A le milieu de [EF] et B le milieu de [EG].

Fais un dessin en vraie grandeur et code-le.
Montre que (AB) est parallèle à (FG).
Déduis-en que (AB) est perpendiculaire à (EF).

H, milieu de [MN] ?

Les droites vertes sont parallèles (codage : K est marqué milieu de [MP]).

➤ Démontre que H est le milieu de [MN].

Deux triangles accolés · ABC et ACD

ABC est un triangle tel que $AC = 6\text{ cm}$ , $AB = 4\text{ cm}$ et $BC = 3{,}5\text{ cm}$ . ACD est un triangle tel que $AD = 5\text{ cm}$ , $CD = 4\text{ cm}$ et B et D ne sont pas du même côté de la droite (AC). E est le milieu de [AB] et F est le milieu de [AC]. La parallèle à (CD) passant par F coupe (AD) en G.

Fais un dessin en vraie grandeur et code-le.
Montre que (EF) est parallèle à (BC).
Montre que G est le milieu de [AD].
Montre que (EG) et (BD) sont parallèles.
Calcule les longueurs EF et FG. Justifie.
Calcule le périmètre de AEFG.

Applications du théorème de Thalès

Dans chacun des cas suivants, les droites vertes sont parallèles.

a. Calcule AN et AB.

$AM = 4{,}5$ · $AC = 4$ · $BC = 2$ · $MN = 6$

b. Calcule CT et AB.

$CB = 13$ · $CS = 5$ · $ST = 3$ · $CA = 6{,}5$

Triangle rectangle 3-4-5

Construire un triangle ABC rectangle en B tel que $AB = 4\text{ cm}$ , $BC = 3\text{ cm}$ et $AC = 5\text{ cm}$ . Sur la demi-droite [BA), place le point E tel que $BE = 8{,}8\text{ cm}$ .

Trace la droite parallèle à (AC) passant par E, elle coupe la droite (BC) en F.
Calcule EF et BF.

Trapèze DRAP

On considère le trapèze DRAP tel que (AP) soit parallèle à (DR) et à (IJ), $AP = 32\text{ mm}$ , $DR = 48\text{ mm}$ , $DA = 45\text{ mm}$ , $DI = 15\text{ mm}$ et $IP = 5\text{ mm}$ . Les points I, J et K sont alignés.

Calcule IJ et DJ.
Calcule la valeur exacte de AJ/AD.
Déduis-en JK.

Droites des milieux d'un triangle · Mathématiques, 2ᵉ année collège, semestre 1.