2ᵉ Année Collège · Chapitre 3

Addition et soustraction des rationnels

Même dénominateur ou pas, la méthode reste la même. Le cours, plein d'exemples, et une grande série d'exercices corrigés.

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6

exercices

90+

calculs

100%

corrigé

Repères

Fiche pédagogique

Durée indicative : 6 heures.

Compétences exigibles

  • Savoir calculer la somme et la soustraction des nombres rationnels dans des situations simples et complexes.
  • Savoir utiliser la somme et la soustraction dans des problèmes mathématiques.

Orientations pédagogiques

  • La notation Q\mathbb{Q} (ensemble des nombres rationnels) est hors programme.
  • Se concentrer sur des activités simples et variées.
  • La somme et la soustraction prolongent les opérations sur les entiers relatifs et les décimaux relatifs.

Extensions

  • Les nombres réels
  • Les équations et les inégalités
  • Les problèmes

Pré-requis

  • Les nombres décimaux relatifs
  • Simplification des écritures fractionnaires
  • La somme et la soustraction des écritures fractionnaires

01 · Réduire au même dénominateur

Le préalable à tout calcul

Écrire chaque nombre rationnel sous forme de fraction à dénominateurs égaux.

Exemple : réduire au même dénominateur 78\dfrac{7}{8} et 311\dfrac{3}{11}

Dénominateur commun de 8 et 11 : 88

78=7×118×11=7788;311=3×811×8=2488\dfrac{7}{8} = \dfrac{7 \times 11}{8 \times 11} = \dfrac{77}{88} \quad ; \quad \dfrac{3}{11} = \dfrac{3 \times 8}{11 \times 8} = \dfrac{24}{88}

02 · L'addition

Addition des nombres rationnels

Trois cas à distinguer : même dénominateur, dénominateurs différents, ou l'un multiple de l'autre.

1) Même dénominateur

ab+cb=a+cb\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a+c}{b}

67+87=147=2\dfrac{6}{7} + \dfrac{8}{7} = \dfrac{14}{7} = 2

1,39+1,79=39=13\dfrac{1{,}3}{9} + \dfrac{1{,}7}{9} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}

2) Dénominateurs différents

ab+cd=adbd+bcbd=ad+bcbd\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad}{bd} + \dfrac{bc}{bd} = \dfrac{ad+bc}{bd}

56+34=1012+912=1912\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{10}{12} + \dfrac{9}{12} = \dfrac{19}{12}

35+(−43)=9+(−20)15=−1115\dfrac{3}{5} + \left(-\dfrac{4}{3}\right) = \dfrac{9 + (-20)}{15} = \dfrac{-11}{15}

3) Cas particulier : un dénominateur multiple de l'autre

Quand le dénominateur de l'un est multiple de l'autre, on réduit au plus grand des deux dénominateurs.

1,25+0,710=2,410+0,710=3,110=31100\dfrac{1{,}2}{5} + \dfrac{0{,}7}{10} = \dfrac{2{,}4}{10} + \dfrac{0{,}7}{10} = \dfrac{3{,}1}{10} = \dfrac{31}{100}

1
Application : additions
14 calculs
1−1125+155\dfrac{-11}{25} + \dfrac{15}{5}
2257+(−635)\dfrac{25}{7} + \left(-\dfrac{6}{35}\right)
3223+(−2−9)\dfrac{22}{3} + \left(-\dfrac{2}{-9}\right)
42−13+1013\dfrac{2}{-13} + \dfrac{10}{13}
532442+267\dfrac{324}{42} + \dfrac{26}{7}
63,5+523{,}5 + \dfrac{5}{2}
7−913+626\dfrac{-9}{13} + \dfrac{6}{26}
82516+1516\dfrac{25}{16} + \dfrac{15}{16}
982+(−82)\dfrac{8}{2} + \left(-\dfrac{8}{2}\right)
1087+137\dfrac{8}{7} + \dfrac{13}{7}
11211+(−411)\dfrac{2}{11} + \left(-\dfrac{4}{11}\right)
121,59+6,59\dfrac{1{,}5}{9} + \dfrac{6{,}5}{9}
13−57+128-\dfrac{5}{7} + \dfrac{1}{28}
1483+(23+3)+106\dfrac{8}{3} + \left(\dfrac{2}{3} + 3\right) + \dfrac{10}{6}

03 · La soustraction

Soustraction des nombres rationnels

Soustraire, c'est ajouter l'opposé. La méthode par dénominateur est la même que pour l'addition.

1) Opposé d'un nombre rationnel

Définition

Deux nombres rationnels sont dits opposés lorsque leur somme est égale à zéro.

Exemple : l'opposé de 12\dfrac{1}{2} est −12\dfrac{-1}{2}, donc 12+−12=0\dfrac{1}{2} + \dfrac{-1}{2} = 0

2) Même dénominateur

ek−fk=e−fk\dfrac{e}{k} - \dfrac{f}{k} = \dfrac{e-f}{k}

−115−45=−155=−3\dfrac{-11}{5} - \dfrac{4}{5} = \dfrac{-15}{5} = -3

2
Application : soustractions (même dénominateur)
15 calculs
12516−1516\dfrac{25}{16} - \dfrac{15}{16}
2−56−(−1012)-\dfrac{5}{6} - \left(-\dfrac{10}{12}\right)
382−(−82)\dfrac{8}{2} - \left(-\dfrac{8}{2}\right)
419−13\dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{3}
557−−3−5\dfrac{5}{7} - \dfrac{-3}{-5}
679−4024\dfrac{7}{9} - \dfrac{40}{24}
7−1,53−4,55\dfrac{-1{,}5}{3} - \dfrac{4{,}5}{5}
8−125−155\dfrac{-1}{25} - \dfrac{15}{5}
957−(−65)\dfrac{5}{7} - \left(-\dfrac{6}{5}\right)
1023−(−2−9)\dfrac{2}{3} - \left(-\dfrac{2}{-9}\right)
112−13−(−1013)\dfrac{2}{-13} - \left(-\dfrac{10}{13}\right)
1232−(−67)\dfrac{3}{2} - \left(-\dfrac{6}{7}\right)
133,5−523{,}5 - \dfrac{5}{2}
14−913−626\dfrac{-9}{13} - \dfrac{6}{26}
1527−43−(53+27−1)\dfrac{2}{7} - \dfrac{4}{3} - \left(\dfrac{5}{3} + \dfrac{2}{7} - 1\right)

3) Dénominateurs différents

ab−cd=adbd+cbbd=ad−cbbd\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad}{bd} + \dfrac{cb}{bd} = \dfrac{ad-cb}{bd}

812−(−76)\dfrac{8}{12} - \left(-\dfrac{7}{6}\right)

0,25−140{,}25 - \dfrac{1}{4} · 3−183 - \dfrac{1}{8}

Exercice N°3

Somme et différence des nombres rationnels

Calculer et donner le résultat sous la forme la plus simple possible. Clique pour vérifier.

0 / 6 vérifiés

1
Additions
21 calculs
1−715+22−15-\dfrac{7}{15} + \dfrac{22}{-15}
214−6+46\dfrac{14}{-6} + \dfrac{4}{6}
3158+−58\dfrac{15}{8} + \dfrac{-5}{8}
4−1417+2317-\dfrac{14}{17} + \dfrac{23}{17}
5129+39\dfrac{12}{9} + \dfrac{3}{9}
6711+1511\dfrac{7}{11} + \dfrac{15}{11}
7−96+(−59)-\dfrac{9}{6} + \left(-\dfrac{5}{9}\right)
868+(−512)\dfrac{6}{8} + \left(-\dfrac{5}{12}\right)
9−1125+(−475)-\dfrac{11}{25} + \left(-\dfrac{4}{75}\right)
1015−3+19\dfrac{15}{-3} + \dfrac{1}{9}
111312+(−83)\dfrac{13}{12} + \left(-\dfrac{8}{3}\right)
121521+(−57)\dfrac{15}{21} + \left(-\dfrac{5}{7}\right)
13−125+−8−6-\dfrac{12}{5} + \dfrac{-8}{-6}
14−711+(−52)-\dfrac{7}{11} + \left(-\dfrac{5}{2}\right)
1592+(−53)\dfrac{9}{2} + \left(-\dfrac{5}{3}\right)
16511+(−29)\dfrac{5}{11} + \left(-\dfrac{2}{9}\right)
17−3,5+(−53)-3{,}5 + \left(-\dfrac{5}{3}\right)
1858+2,2\dfrac{5}{8} + 2{,}2
19−4,5+(−12)-4{,}5 + \left(-\dfrac{1}{2}\right)
20−57+(−2,5)-\dfrac{5}{7} + (-2{,}5)
21−5+117-5 + \dfrac{11}{7}
2
Soustractions
24 calculs
189−(−19)\dfrac{8}{9} - \left(-\dfrac{1}{9}\right)
2117−−5−7\dfrac{11}{7} - \dfrac{-5}{-7}
3−14−6−8−6\dfrac{-14}{-6} - \dfrac{8}{-6}
43−5−125\dfrac{3}{-5} - \dfrac{12}{5}
5−511−(−911)-\dfrac{5}{11} - \left(-\dfrac{9}{11}\right)
627−117\dfrac{2}{7} - \dfrac{11}{7}
7715−89\dfrac{7}{15} - \dfrac{8}{9}
839−(−116)\dfrac{3}{9} - \left(-\dfrac{11}{6}\right)
9−38−(−56)-\dfrac{3}{8} - \left(-\dfrac{5}{6}\right)
10812−(−56)\dfrac{8}{12} - \left(-\dfrac{5}{6}\right)
11−137−514-\dfrac{13}{7} - \dfrac{5}{14}
12516−114\dfrac{5}{16} - \dfrac{11}{4}
1312−13\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}
14−3−2−−7−5\dfrac{-3}{-2} - \dfrac{-7}{-5}
15−74−(−63)-\dfrac{7}{4} - \left(-\dfrac{6}{3}\right)
16178−(−13)\dfrac{17}{8} - \left(-\dfrac{1}{3}\right)
1711−3−−8−4\dfrac{11}{-3} - \dfrac{-8}{-4}
18−35−72-\dfrac{3}{5} - \dfrac{7}{2}
190,5−120{,}5 - \dfrac{1}{2}
205,5−−1−25{,}5 - \dfrac{-1}{-2}
2158−(−3)\dfrac{5}{8} - (-3)
22−114−(−1,2)-\dfrac{11}{4} - (-1{,}2)
235−(−74)5 - \left(-\dfrac{7}{4}\right)
24−2,5−12-2{,}5 - \dfrac{1}{2}
3
Sommes à trois termes
4 expressions
AA=12+52+(−92)A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2} + \left(-\dfrac{9}{2}\right)
BB=43+(−56)+23B = \dfrac{4}{3} + \left(-\dfrac{5}{6}\right) + \dfrac{2}{3}
CC=−58+(−74)+32C = -\dfrac{5}{8} + \left(-\dfrac{7}{4}\right) + \dfrac{3}{2}
DD=−57+3−7+−1−7D = \dfrac{-5}{7} + \dfrac{3}{-7} + \dfrac{-1}{-7}
4
Nombres décimaux et fractions
7 expressions
AA=12+5−34A = \dfrac{1}{2} + 5 - \dfrac{3}{4}
BB=−35−2+15B = -\dfrac{3}{5} - 2 + \dfrac{1}{5}
CC=−2,5+(−25)−12C = -2{,}5 + \left(-\dfrac{2}{5}\right) - \dfrac{1}{2}
DD=1+(−43)−72D = 1 + \left(-\dfrac{4}{3}\right) - \dfrac{7}{2}
EE=1+(−12)+13+(−14)E = 1 + \left(-\dfrac{1}{2}\right) + \dfrac{1}{3} + \left(-\dfrac{1}{4}\right)
FF=−0,25+150+(−25)F = -0{,}25 + \dfrac{1}{50} + \left(-\dfrac{2}{5}\right)
GG=−2−7+−4−3+(−19)G = \dfrac{-2}{-7} + \dfrac{-4}{-3} + \left(-\dfrac{1}{9}\right)
5
Expressions avec parenthèses
5 expressions
AA=12−(34+52)A = \dfrac{1}{2} - \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{2}\right)
BB=(−25+1)−1,5B = \left(-\dfrac{2}{5} + 1\right) - 1{,}5
CC=(−97+2)+(1−37)C = \left(-\dfrac{9}{7} + 2\right) + \left(1 - \dfrac{3}{7}\right)
DD=0,5+(−12+3)−12D = 0{,}5 + \left(-\dfrac{1}{2} + 3\right) - \dfrac{1}{2}
EE=(23−1)+(2+32)−(12+13)E = \left(\dfrac{2}{3} - 1\right) + \left(2 + \dfrac{3}{2}\right) - \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\right)
6
Expressions avec crochets
4 expressions
AA=(−12−13)+(1−53)+(12+1)A = \left(-\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \left(1 - \dfrac{5}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{2} + 1\right)
BB=4−[(1−23)−(52+1−63)]−(13+205)B = 4 - \left[\left(1 - \dfrac{2}{3}\right) - \left(\dfrac{5}{2} + 1 - \dfrac{6}{3}\right)\right] - \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{20}{5}\right)
CC=(23+52)−(46−12)−3C = \left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{2}\right) - \left(\dfrac{4}{6} - \dfrac{1}{2}\right) - 3
DD=2−[(1−53)−(25+1−83)]−(12+186)D = 2 - \left[\left(1 - \dfrac{5}{3}\right) - \left(\dfrac{2}{5} + 1 - \dfrac{8}{3}\right)\right] - \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{18}{6}\right)

Addition et soustraction des nombres rationnels · Mathématiques, 2ᵉ année collège, semestre 1.