1ʳᵉ Année Collège · Chapitre 3

La Symétrie Centrale

Faire pivoter une figure d'un demi-tour autour d'un point. Ce qui bouge, ce qui ne change jamais.

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01 · La notion de base

Le symétrique d'un point

La brique de départ de toute la symétrie centrale.

1. Exemple

Soient A et O deux points distincts. Traçons A' tel que O soit le milieu du segment [AA'].

AOA'

On appelle A' : le symétrique du point A par rapport au point O.

2. Contre-exemple

On considère la figure suivante, où O n'est pas le milieu de [EE'] :

milieu de [EE']EOE'

E' n'est pas le symétrique de E par rapport à O, car d'après la figure, O n'est pas le milieu de [EE'].

3. Définition

Soient A et O deux points distincts. Dire que le point A' est le symétrique du point A par rapport au point O signifie que O est le milieu du segment [AA'].

À retenir

Remarque 1 : O est appelé centre de symétrie.

Remarque 2 : si A' est le symétrique de A par rapport à O, alors A est aussi le symétrique de A' par rapport à O, on dit que A et A' sont symétriques par rapport à O.

02 · Ce qui ne change jamais

Propriétés

Trois choses que la symétrie centrale conserve toujours.

1. Conservation de la distance

Si A' et B' sont les symétriques respectifs de A et B par rapport à un point E, alors A'B' = AB.

ABAB = 5 cmsymétrie de centre EA'B'A'B' = 5 cm

Si A' et B' sont les symétriques respectifs des points A et B par rapport à un point, alors : AB = A'B'.

✍️ Application

Soit ABC un triangle tel que BC = 5 cm. E et F sont les symétriques respectifs des points B et C par rapport à A. 1) Tracer une figure. 2) Calculer EF en justifiant la réponse.

ABCEFBC = 5 cmEF = 5 cm

Solution : le symétrique de B par rapport à A est E, et le symétrique de C par rapport à A est F.

Donc : EF = BC.

Et puisque BC = 5 cm, alors : EF = 5 cm.

2. Conservation de l'alignement des points

Les symétriques de points alignés sont eux-mêmes alignés.

ABCDsymétrie de centre EA'B'C'D'A, B, C, D alignésA', B', C', D' alignés

Les symétriques de points alignés, par rapport à un point, sont aussi des points alignés.

3. Conservation des mesures d'angles

Si A', O' et B' sont les symétriques respectifs de A, O et B par rapport à un point, alors A'Ô'B' = AÔB.

OAB60°symétrie de centre EO'A'B'60°

Si A', O' et B' sont les symétriques respectifs des points A, O et B par rapport à un point, alors : AÔB = A'Ô'B'.

✍️ Application

Soit ABC un triangle rectangle en A, et O un point. A', B' et C' sont les symétriques respectifs de A, B et C par rapport à O. 1) Tracer une figure. 2) Montrer que le triangle A'B'C' est rectangle en A'.

OBACA'B'C'

Solution : B', A' et C' sont les symétriques respectifs de B, A et C par rapport à O.

Donc : B'Â'C' = BÂC.

Or BÂC est un angle droit, donc B'Â'C' est aussi un angle droit.

D'où : le triangle A'B'C' est rectangle en A'.

03 · Figures usuelles

Les symétriques de quelques figures

Droite, segment, angle et cercle : ce que devient chacun par symétrie centrale.

1. Le symétrique d'une droite

Cas 1 : O ∉ (D)O(D)(D')

strictement parallèle à (D)

Cas 2 : O ∈ (D)O(D) = (D')

(D) et (D') sont confondues

Propriété 1 : si O ∉ (D), le symétrique de (D) est la droite (D') strictement parallèle à (D).
Propriété 2 : si O ∈ (D), le symétrique de (D) est la droite (D) elle-même.

2. Le symétrique d'un segment

ABOA'B'
Propriété 3 : le symétrique d'un segment par rapport à un point est un segment qui lui est isométrique (égal).

3. Le symétrique d'un angle

PABOP'A'B'
Propriété 4 : le symétrique d'un angle par rapport à un point est un angle qui lui est isométrique (égal).

4. Le symétrique d'un cercle

AEA'(ζ)(ζ')
Propriété 5 : le symétrique d'un cercle de centre A et de rayon r par rapport à un point E est le cercle de centre A' (symétrique de A) et de même rayon r.

Remarque

Pour tracer le symétrique d'un cercle par rapport à un point, il suffit de tracer le symétrique du centre de ce cercle et de garder le même rayon.

04 · Figure invariante

Le centre de symétrie d'une figure

Quand une figure est sa propre image par la symétrie.

1. Définition

Soient (F) une figure et O un point. On appelle O le centre de symétrie de (F) lorsque le symétrique de (F) par rapport à O est (F) elle-même.

2. Exemples

O

Une droite : son centre de symétrie est n'importe quel point qui lui appartient.

O

Un segment : son centre de symétrie est son milieu.

O

Un cercle : son centre de symétrie est son centre.

À toi de jouer

6 exercices corrigés

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0 / 6 vérifiés

1
ABC un triangle et I milieu de [BC]
  1. Construis M le symétrique de A par rapport à I.
  2. Quel est le symétrique de B par rapport à I ?
  3. Compare les distances BM et AC.
  4. Montre que BÂI = IM̂C.
  5. Démontre que (AB) // (MC).
  6. Quel est le symétrique de [IC] par rapport à I ?
2
Triangle ABC et son symétrique

ABC un triangle tel que AB = 3 cm ; AC = 4 cm et BÂC = 70°. O un point à l'extérieur du triangle ABC. Les points A', B' et C' sont les symétriques respectifs de A, B et C par rapport à O.

  1. Construire une figure convenable.
  2. Calculer A'B' et B'Â'C'.
  3. Montrer que (A'B) // (AB').
  4. Construire le cercle symétrique du cercle 𝒞(A ; 4 cm) par rapport à O (noté (Γ)), et montrer que C' ∈ (Γ).
3
Triangle équilatéral ABC

ABC un triangle équilatéral et M un point de [BC], distinct de B et de C. Le point I est le milieu de [AM]. B' et C' sont les symétriques respectifs de B et C par rapport à I.

  1. Construire la figure.
  2. Montrer que les points A, B' et C' sont alignés.
  3. Montrer que MB̂'C' = 60°.
4
Construction pas à pas
  1. Dessiner O milieu d'un segment [AB].
  2. Dessiner une droite (D), différente de la droite (AB), passant par le point O.
  3. Dessiner une droite (Δ) passant par le point A et qui coupe la droite (D) en un point M.
  4. Dessiner une droite (Δ') passant par B et parallèle à (Δ). (Δ') et (D) se coupent en un point N.
  5. Montrer que le point N est le symétrique du point M par rapport au point O.
  6. Déduire que (BM) // (AN).
5
Deux droites parallèles

(D) et (D') sont deux droites strictement parallèles. La droite (Δ) coupe (D) en un point A et coupe (D') en un point B.

  1. Dessiner le point O, milieu du segment [AB].
  2. Montrer que la droite (D') est le symétrique de la droite (D) par rapport au point O.
  3. a) La droite (Δ') coupe (D) en un point A' et coupe (D') en un point B'. b) Dessiner O', milieu du segment [A'B']. c) Montrer que O' est le centre de symétrie de la figure composée des droites (D) et (D').
  4. Montrer que tout point de la droite (OO') est un centre de symétrie de la figure composée des droites (D) et (D').
6
Deux cercles concentriques

[AB] et [CD] sont les diamètres respectifs de deux cercles (C) et (C') qui ont le même centre O et des rayons différents, tels que les points A, B, C et D ne sont pas alignés.

  1. Montrer que (AC) // (BD).
  2. Montrer que OĈA = OD̂B.
  3. (Δ) est une droite qui passe par O et coupe respectivement (AC) et (BD) en M et N. Montrer que M et N sont symétriques par rapport à O.

La symétrie centrale · Mathématiques, 1ʳᵉ année collège, semestre 2.