1ʳᵉ Année Collège · Chapitre 5

Les Quadrilatères Particuliers

Rectangle, losange, carré : définitions, diagonales et axes de symétrie, avec 7 exercices corrigés en détail.

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quadrilatères

exercices

100%

corrigés

01 · Le rectangle

Le rectangle

Un parallélogramme qui a un angle droit.

Définition

Le rectangle est un parallélogramme qui a un angle droit.

Exemple

Soit ABCD un rectangle.

Remarque importante

Toutes les propriétés du parallélogramme s'appliquent au rectangle (côtés opposés isométriques, diagonales de même milieu, angles opposés isométriques, angles consécutifs supplémentaires…).

Propriété des diagonales

Ce que l'on peut dire de la longueur des diagonales

a) Propriété directe

Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont même longueur.

Autrement dit : si ABCD est un rectangle, alors $AC = BD$ .

b) Propriété réciproque

Si les diagonales d'un parallélogramme ont même longueur, alors c'est un rectangle.

Autrement dit : si ABCD est un parallélogramme tel que $AC = BD$ , alors c'est un rectangle.

Axes et centre de symétrie

Le rectangle a deux axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés. Il a aussi un centre de symétrie : son centre.

02 · Le losange

Le losange

Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs égaux.

Définition

Le losange est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur.

Exemple

Soit ABCD un losange. On a : $AB = BC = CD = DA$ .

Remarque importante

Toutes les propriétés du parallélogramme s'appliquent au losange (côtés opposés isométriques, diagonales de même milieu, angles opposés isométriques, angles consécutifs supplémentaires…).

Propriété des diagonales

Ce que l'on peut dire de la direction des diagonales

a) Propriété directe

Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires.

Autrement dit : si ABCD est un losange, alors $(AC) \perp (BD)$ .

b) Propriété réciproque

Si les diagonales d'un parallélogramme sont perpendiculaires, alors c'est un losange.

Autrement dit : si ABCD est un parallélogramme tel que $(AC) \perp (BD)$ , alors c'est un losange.

Axes et centre de symétrie

Le losange a deux axes de symétrie : ses diagonales. Il a aussi un centre de symétrie : son centre.

03 · Le carré

Le carré

Un parallélogramme qui a un angle droit ET deux côtés consécutifs égaux.

Définition

Le carré est un parallélogramme qui a un angle droit et deux côtés consécutifs de même longueur.

Exemple

Soit ABCD un carré.

Remarques importantes

Toutes les propriétés du parallélogramme s'appliquent au carré.
Le carré est à la fois un rectangle et un losange.

Carré = Rectangle $\cap$ Losange

Le carré cumule toutes les propriétés du rectangle et toutes celles du losange.

Propriété des diagonales

Le cumul des deux propriétés précédentes

a) Propriété directe

Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales sont perpendiculaires et ont même longueur.

Autrement dit : si ABCD est un carré, alors $(AC) \perp (BD)$ et $AC = BD$ .

b) Propriété réciproque

Si les diagonales d'un parallélogramme sont perpendiculaires et ont même longueur, alors c'est un carré.

Autrement dit : si ABCD est un parallélogramme tel que $(AC) \perp (BD)$ et $AC = BD$ , alors c'est un carré.

Axes et centre de symétrie

Le carré a quatre axes de symétrie : ses diagonales et les médiatrices de ses côtés. Il a aussi un centre de symétrie : son centre.

04 · Fiche mémo

Fiche mémo

Les trois quadrilatères en un coup d'œil, pour réviser vite.

▭

Rectangle

Définition : parallélogramme + 1 angle droit.

Diagonales : égales, même milieu.

Symétrie : 2 axes (médiatrices des côtés) + centre.

◇

Losange

Définition : parallélogramme + 2 côtés consécutifs égaux.

Diagonales : perpendiculaires, même milieu.

Symétrie : 2 axes (les diagonales) + centre.

◆

Carré

Définition : parallélogramme + angle droit + 2 côtés consécutifs égaux.

Diagonales : égales ET perpendiculaires, même milieu.

Symétrie : 4 axes (diagonales + médiatrices) + centre.

\cap

À retenir : Carré = Rectangle ∩ Losange

Pour prouver qu'un quadrilatère est un carré, il suffit de prouver que c'est à la fois un rectangle et un losange, ou d'utiliser directement la propriété des diagonales (perpendiculaires et de même longueur).

À toi de jouer

7 exercices corrigés

Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier.

0 / 7 vérifiés

Constructions

Construire un rectangle ABCD de centre O tel que : $AC = 5\text{ cm}$ et $\widehat{AOB} = 110°$ .
Construire un losange MNPQ tel que : $MP = 4\text{ cm}$ et $NQ = 2\text{ cm}$ .
Construire un carré EFGH de centre I tel que : $EI = 4{,}5\text{ cm}$ .

Rectangle

ABCD est un parallélogramme. Soit E le projeté orthogonal de A sur (BC), et F un point de (AD) tel que : $AF = EC$ .

Faire une figure.
Montrer que : $EF = AC$ .

Rectangle

M est un point de la médiatrice d'un segment [AB].

Construire les points C et D, symétriques respectifs des points A et B par rapport à M.
Montrer que ABCD est un rectangle.

Losange

Construire un triangle MNK rectangle en N.
Construire $S_N(M) = L$ et $S_N(K) = E$ .
Montrer que MKLE est un losange.

Rectangle & losange

OBC est un triangle équilatéral. Soit G le milieu de [BC].

a) Construire les points A et D, symétriques respectifs des points C et B par rapport à O. b) Montrer que ABCD est un rectangle.
a) Construire le point M, symétrique du point O par rapport à G. b) Montrer que OCMB est un losange.

Carré

ABCD est un carré.

Construire $S_A(B) = E$ ; $S_A(C) = F$ et $S_A(D) = G$ .
Montrer que AEFG est un carré.

Rectangle & losange

ABCD est un rectangle de centre O ; soient M et N les milieux respectifs des segments [AB] et [BC].

Construire les points E et F, symétriques respectifs de O par rapport à M et à N.
Montrer que AEBO est un losange.
Démontrer que B est le milieu de [EF].
Démontrer que le triangle OEF est un triangle rectangle.

Les quadrilatères particuliers · Mathématiques, 1ʳᵉ année collège, semestre 2.