1ʳᵉ Année Collège · Chapitre 11

La Proportionnalité

Deux grandeurs qui varient toujours dans la même proportion. Un seul nombre, le coefficient, suffit à passer de l'une à l'autre.

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×k

01 · La définition

Reconnaître la proportionnalité

La notion de base : des nombres proportionnels, et un coefficient qui fait le lien.

Dire que $a$ , $b$ et $c$ sont respectivement proportionnels à $x$ , $y$ et $z$ veut dire qu'on passe des uns aux autres en multipliant par le même nombre $k$ (non nul).

a = x \times k \qquad b = y \times k \qquad c = z \times k

k

: le coefficient de proportionnalité

Exemple

$6$ , $15$ et $21$ sont proportionnels à $2$ , $5$ et $7$ .

$6 = 2 \times 3$

$15 = 5 \times 3$

$21 = 7 \times 3$

$3$ est le coefficient de proportionnalité.

Contre-exemple

$6$ , $22$ et $40$ ne sont pas proportionnels à $3$ , $11$ et $15$ .

$6 = 3 \times 2$

$22 = 11 \times 2$

$40 \neq 15 \times 2 \ (= 30)$

Le rapport n'est pas constant : pas de proportionnalité.

02 · Deux façons de vérifier

Tableau ou graphique de proportionnalité

Un tableau : les rapports colonne par colonne sont tous égaux. Un graphique : tous les points sont alignés avec l'origine.

1. Tableau de proportionnalité

Un tableau est de proportionnalité quand les nombres de la 2ᵉ ligne sont proportionnels à ceux de la 1ʳᵉ ligne.

Exemple

1	3	7	9
4	12	28	36

$4 = 1 \times 4,\quad 12 = 3 \times 4,\quad 28 = 7 \times 4,\quad 36 = 9 \times 4$

Le rapport est constant : c'est un tableau de proportionnalité, de coefficient $4$ .

Contre-exemple

2	4	7	11
10	20	14	55

$10 = 2 \times 5,\quad 20 = 4 \times 5,\quad 14 \neq 7 \times 5,\quad 55 = 11 \times 5$

Le rapport n'est pas le même partout : ce n'est pas un tableau de proportionnalité.

2. Graphique de proportionnalité

Un graphique est de proportionnalité quand tous les points sont alignés avec l'origine du repère.

Exemple

Tous les points sont alignés avec l'origine → graphique de proportionnalité.

Contre-exemple

La droite ne passe pas par l'origine → pas de proportionnalité.

03 · La valeur manquante

Quatrième proportionnelle

Trois valeurs connues sur quatre : la quatrième se calcule avec un produit en croix.

Dans un tableau de proportionnalité, si on connaît trois valeurs sur quatre, on peut calculer la quatrième : c'est la quatrième proportionnelle.

Exemples

2	6
x	12

$x = \dfrac{2 \times 12}{6} = \dfrac{24}{6}$

$x = 4$

8	y
4	5

$y = \dfrac{8 \times 5}{4} = \dfrac{40}{4}$

$y = 10$

3	9
2	z

$z = \dfrac{2 \times 9}{3} = \dfrac{18}{3}$

$z = 6$

t	6
11	3

$t = \dfrac{11 \times 6}{3} = \dfrac{66}{3}$

$t = 22$

04 · Un cas particulier

Le pourcentage

Toujours le même tableau, mais avec 100 dans une case.

a) Calculer un pourcentage

Une classe de 30 élèves compte 12 filles. Quel pourcentage de filles ?

30	100
12	x

$x = \dfrac{12 \times 100}{30} = \dfrac{1200}{30} = \mathbf{40}$

Il y a 40 % de filles dans cette classe.

b) Utiliser un pourcentage

Une classe de 40 élèves compte 15 % de garçons. Combien de garçons ?

40	100
x	15

$x = \dfrac{40 \times 15}{100} = \dfrac{600}{100} = \mathbf{6}$

Il y a 6 garçons dans cette classe.

À toi de jouer

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Tableau de proportionnalité ?

3 tableaux

2	3	5	10	15
1,4	2,1	3,5	7	10,5

3	5	10	12	18
21	35	60	84	90

6	9	14	25	30
15	22,5	35	60	75

Prix proportionnels aux masses ?

Les prix sont-ils proportionnels aux masses ? Explique.

Masse (g)	100	125	300	540
Prix (dh)	2,8	3,5	8,4	15,12

Euros et dirhams

1 € vaut 10,60 dh. Complète le tableau en trouvant le coefficient.

Montant (€)	1	?	100	110
Montant (dh)	?	265	?	?

Calculer

x

y

z

Le tableau ci-dessous est de proportionnalité. Calcule x, y et z :

x	2,8	z+1	7
24	y	12	4

Lequel de ces graphiques ?

Lesquels de ces deux graphiques représentent une proportionnalité ?

Calculer

x

Ce tableau est de proportionnalité. Calcule x :

x−7	x−5
3	4

Calculer

a

b

c

Ce tableau est de proportionnalité et $\dfrac{a}{4} = 2$ . Calcule a, b et c :

a	15	c
4	b	9

Les machines

3 machines produisent 600 pièces en 4 jours. Combien de pièces produisent 2 de ces machines en 7 jours ?

La consommation de la voiture

Cette voiture consomme 4 L pour 100 km.

Quelle distance parcourt-elle avec : a) 1 L ? b) 18 L ?
Quelle quantité consomme-t-elle pour : a) 1 km ? b) 320 km ?

Avion ou voiture ?

Deux voyages, pour un trajet de 700 km, quel moyen de transport est le plus économique par personne ?

✈️ Avion

Distance : 8 000 km

Passagers : 320

Carburant : 76 800 L

CO₂ émis : 35,84 t

🚗 Voiture

Distance : 200 km

Passagers : 4

Carburant : 8,8 L

CO₂ émis : 28 kg

La proportionnalité · Mathématiques, 1ʳᵉ année collège, semestre 2.